浙江省寧波市柔石中學(xué)2021年高三數(shù)學(xué)理期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù)f（x）=的圖象上存在不同的兩點(diǎn)A、B，使得曲線y=f（x）在這兩點(diǎn)處的切線重合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A．（，+∞） B．（2，+∞） C．（﹣∞，2） D．（﹣1，）參考答案：A【考點(diǎn)】6H：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程．【分析】先根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫出函數(shù)f（x）在點(diǎn)A、B處的切線方程，再利用兩直線重合的充要條件：斜率相等且縱截距相等，列出關(guān)系式，從而得出a=（t4+2t2+8t+1），t＞0，由單調(diào)性可得出a的取值范圍．【解答】解：當(dāng)x＜0時，f（x）=x2+x+a的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=2x+1；當(dāng)x＞0時，f（x）=的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=﹣，設(shè)A（x1，f（x1）），B（x2，f（x2））為該函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且x1＜x2，當(dāng)x1＜x2＜0，或0＜x1＜x2時，f′（x1）≠f′（x2），故x1＜0＜x2，當(dāng)x1＜0時，函數(shù)f（x）在點(diǎn)A（x1，f（x1））處的切線方程為：y﹣（x12+x1+a）=（2x1+1）（x﹣x1）；當(dāng)x2＞0時，函數(shù)f（x）在點(diǎn)B（x2，f（x2））處的切線方程為y﹣=﹣（x﹣x2）．兩直線重合的充要條件是﹣=2x1+1①，=a﹣x12②，由x1＜0＜x2得0＜＜1，由①②令t=，則t＞0，且a=（t4+2t2+8t+1）在（0，+∞）為增函數(shù)，∴a＞，故選：A．2.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．2

B．

C.4

D．參考答案：B3.設(shè)函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)集上的奇函數(shù)，在區(qū)間[－1,0)上是增函數(shù)，且，則有（

）A. B.C. D.參考答案：A【分析】由題意可得，，再利用函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)可得答案.【詳解】解：為奇函數(shù)，，又，，又，且函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性比較函數(shù)值的大小，考查利用知識解決問題的能力.4.已知集合,集合,則A.

B.

C.

D.參考答案：C5.若，則=（

）A．2 B． C．32 D．參考答案：D略6.對任意的實(shí)數(shù)x都有f（x+2）﹣f（x）=2f（1），若y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于x=1對稱，且f（0）=2，則f（2015）+f（2016）=（）A．0 B．2 C．3 D．4參考答案：B【考點(diǎn)】抽象函數(shù)及其應(yīng)用．【分析】根據(jù)條件判斷函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，結(jié)合條件關(guān)系求出函數(shù)的周期，進(jìn)行轉(zhuǎn)化計算即可．【解答】解：y=f（x﹣1）的圖象關(guān)于x=1對稱，則函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于x=0對稱，即函數(shù)f（x）是偶函數(shù)，令x=﹣1，則f（﹣1+2）﹣f（﹣1）=2f（1），即f（1）﹣f（1）=2f（1）=0，即f（1）=0，則f（x+2）﹣f（x）=2f（1）=0，即f（x+2）=f（x），則函數(shù)的周期是2，又f（0）=2，則f（2015）+f（2016）=f（1）+f（0）=0+2=2，故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查函數(shù)值的計算，根據(jù)抽象函數(shù)關(guān)系判斷函數(shù)的周期性和奇偶性是解決本題的關(guān)鍵．7.2019年12月，湖北省武漢市發(fā)現(xiàn)多起病毒性肺炎病例．2020年1月12日，世界衛(wèi)生組織正式將造成此次肺炎疫情的病毒命名為“2019新型冠狀病毒”．2020年2月11日，世界衛(wèi)生組織將新型冠狀病毒感染的肺炎命名為COVID-19（新冠肺炎）?新冠肺炎患者癥狀是發(fā)熱?干咳?渾身乏力等外部表征?“某人表現(xiàn)為發(fā)熱?干咳?渾身乏力”是“新冠肺炎患者”的（

）．A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件參考答案：A【分析】根據(jù)充分必要的定義，即可得出結(jié)論.【詳解】表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳、渾身乏力者不一定是感染新型冠狀病毒，或者只是普通感冒等；而新型冠狀病毒感染者早期癥狀表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳渾身乏力等外部表征．因而“某人表現(xiàn)為發(fā)熱、干咳、渾身乏力”是“該人患得新型冠狀病毒”的必要不充分條件．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查必要不充分條件的判定，屬于基礎(chǔ)題.8.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的圖象是

(

)參考答案：D略9.已知命題，命題，則(

)A.命題是假命題

B.命題是真命題C.命題是真命題

D.命題是假命題參考答案：C10.已知點(diǎn)是的重心，若，，則的最小值是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.運(yùn)行右面的程序框圖，如果輸入的的值在區(qū)間內(nèi)，那么輸出的的取值范圍是

參考答案：12.設(shè)i、j、n∈N*，i≠j，集合Mn={（i，j）|4?3n＜3i+3j＜4?3n+1}，則集合Mn中元素的個數(shù)為個．參考答案：2n【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用．【分析】對j或者i討論，不妨設(shè)i=j=t，可得4?3n＜2?3t＜4?3n+1，兩邊取對數(shù)，ln2+nln3＜tln3＜ln2+（n+1）ln3，求解t即可得到集合Mn中元素的個數(shù)【解答】解：由題意，不妨設(shè)i=j=t，可得4?3n＜2?3t＜4?3n+1，即2?3n＜3t＜2?3n+1，兩邊取對數(shù)，ln2+nln3＜tln3＜ln2+（n+1）ln3，可得：t≤n+1．那么：i+j=2（n+1）=2n+2個．∵i≠j，∴集合Mn中元素的個數(shù)為2n個．故答案為2n．【點(diǎn)評】本題主要考查集合的證明和運(yùn)算，轉(zhuǎn)化的思想，屬于中檔題．13.已知兩點(diǎn)，，若拋物線上存在點(diǎn)使為等邊三角形，則＝_________．參考答案：14.已知數(shù)列滿足（）且，則

．參考答案：201215.函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間為

▲

參考答案：略16.設(shè)向量，滿足，，且與的方向相反，則的坐標(biāo)為

。參考答案：(-4,-2)17.在區(qū)間[－3,5]上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)a，則使函數(shù)無零點(diǎn)的概率為

．參考答案：∵函數(shù)無零點(diǎn)∴，即∵在區(qū)間上隨機(jī)取一個實(shí)數(shù)，且區(qū)間的長度為∴概率為故答案為.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3+kx2+k（k∈R）．（1）若曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線的斜率為12，求函數(shù)f（x）的極值；（2）設(shè)k＜0，g（x）=f′（x），求F（x）=g（x2）在區(qū)間（0，）上的最小值．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值．【專題】函數(shù)思想；分類法；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率，解方程可得k=4，由導(dǎo)數(shù)大于0，可得增區(qū)間；導(dǎo)數(shù)小于0可得減區(qū)間，進(jìn)而得到極值；（2）求出g（x）和F（x）的解析式，令t=x2∈（0，2]，可得F（x）=h（t）=t2+kt=（t+）2﹣，k＜0，t=﹣＞0，討論對稱軸和區(qū)間的關(guān)系，結(jié)合單調(diào)性，即可得到所求最小值．【解答】解：（1）函數(shù)f（x）=x3+kx2+k的導(dǎo)數(shù)為f′（x）=x2+kx，由題意可得f′（2）=4+2k=12，解得k=4，即有f（x）=x3+2x2+4，f′（x）=x2+4x，當(dāng)x＞0或x＜﹣4時，f′（x）＞0，f（x）遞增；當(dāng)﹣4＜x＜0時，f′（x）＜0，f（x）遞減．可得f（x）的極小值為f（0）=4；f（x）的極大值為f（﹣4）=；（2）F（x）=x4+kx2，t=x2∈（0，2]，可得F（x）=h（t）=t2+kt=（t+）2﹣，k＜0，t=﹣＞0，①當(dāng)﹣4＜k＜0時，﹣∈（0，2），h（t）min=h（﹣）=﹣；②當(dāng)k≤﹣4時，﹣∈[2，+∞），h（t）在（0，2）遞減，h（t）min=h（2）=4+2k．綜上可得，h（t）min=．【點(diǎn)評】本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：求切線的斜率和單調(diào)區(qū)間、極值，考查可化為二次函數(shù)的最值的求法，注意運(yùn)用換元法和分類討論的思想方法，屬于中檔題．19.已知函數(shù)(其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，k∈R)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)函數(shù)有兩個零點(diǎn)時，證明：．參考答案：（1）解：因?yàn)?，?分）當(dāng)時，令，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；（3分）當(dāng)時，恒成立，故此時函數(shù)在R上單調(diào)遞增.（5分）（2）證明：當(dāng)時，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個零點(diǎn)，所以，設(shè)函數(shù)的兩個零點(diǎn)為，則，設(shè)，解得，所以，（8分）欲證，只需證明，設(shè)設(shè)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故成立．（12分）20.某校學(xué)生參加了“鉛球”和“立定跳遠(yuǎn)”兩個科目的體能測試，每個科目的成績分為A，B，C，D，E五個等級，分別對應(yīng)5分，4分，3分，2分，1分，該校某班學(xué)生兩科目測試成績的數(shù)據(jù)統(tǒng)計如圖所示，其中“鉛球”科目的成績?yōu)镋的學(xué)生有8人．（Ⅰ）求該班學(xué)生中“立定跳遠(yuǎn)”科目中成績?yōu)锳的人數(shù)；（Ⅱ）若該班共有10人的兩科成績得分之和大于7分，其中有2人10分，2人9分，6人8分．從這10人中隨機(jī)抽取兩人，求兩人成績之和ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；離散型隨機(jī)變量及其分布列．【專題】概率與統(tǒng)計．【分析】（I）利用數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖求出該班有40人，由此能求出該班學(xué)生中“立定跳遠(yuǎn)”科目中成績等級為A的人數(shù)．（II）設(shè)兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出兩人成績之和ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．【解答】解：（I）因?yàn)椤般U球”科目中成績等級為E的考生有8人，所以該班有8÷0.2=40人，所以該班學(xué)生中“立定跳遠(yuǎn)”科目中成績等級為A的人數(shù)為40×（1﹣0.375﹣0.375﹣0.15﹣0.025）=40×0.075=3．…（4分）（II）設(shè)兩人成績之和為ξ，則ξ的值可以為16，17，18，19，20

…（6分），，，，…（10分）所以ξ的分布列為X1617181920P所以．所以ξ的數(shù)學(xué)期望為．…（12分）【點(diǎn)評】本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意數(shù)據(jù)統(tǒng)計圖的合理運(yùn)用．21.（12分）如圖，在直三棱柱A1B1C1﹣ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）求異面直線A1B與C1D所成角的余弦值；（2）求平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．參考答案：考點(diǎn)： 與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；異面直線及其所成的角．專題： 空間位置關(guān)系與距離．分析： （1）以{}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，利用向量法能求出異面直線A1B與C1D所成角的余弦值．（2）分別求出平面ABA1的法向量和平面ADC1的法向量，利用向量法能求出平面ADC1與ABA1所成二面角的余弦值，再由三角函數(shù)知識能求出平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值．解答： 解：（1）以{}為單位正交基底建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)﹣xyz，則由題意知A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），A1（0，0，4），D（1，1，0），C1（0，2，4），∴，=（1，﹣1，﹣4），∴cos＜＞===，∴異面直線A1B與C1D所成角的余弦值為．（2）是平面ABA1的一個法向量，設(shè)平面ADC1的法向量為，∵，∴，取z=1，得y=﹣2，x=2，∴平面ADC1的法向量為，設(shè)平面ADC1與ABA1所成二面角為θ，∴cosθ=|cos＜＞|=||=，∴sinθ==．∴平面ADC1與ABA1所成二面角的正弦值為．點(diǎn)評： 本題考查兩條異面直線所成角的余弦值的求法，考查平面與平面所成角的正弦值的求法，解題時要注意向量法的合理運(yùn)用．22.（本小題滿分13分）已知橢圓，，過上第一象限上一點(diǎn)P作的切線，交于A,B兩點(diǎn)。（1）已知圓上一點(diǎn)P，則過點(diǎn)P的切線方程為，類比此結(jié)論，寫出橢圓在其上一點(diǎn)P的切線方程，并證明.（2）求證：|AP|=|BP|.參考答案：【知識點(diǎn)】橢圓的性質(zhì)；根與系數(shù)的關(guān)系.H5H8