2021-2022學(xué)年湖南省張家界市廖家村中學(xué)高三數(shù)學(xué)理測(cè)試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.已知復(fù)數(shù)，則（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A略2.已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象如圖所示，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A．函數(shù)f（x）的最小正周期為2B．函數(shù)f（x）的值域?yàn)閇一4，4]C．函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于（，0）對(duì)稱D．函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后得到y(tǒng)=Asinωx的圖象參考答案：D【考點(diǎn)】函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換；由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)．【分析】由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ和A的值，可得函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的解析式；再利用y=Asin（ωx+φ）圖象變換規(guī)律得出結(jié)論．【解答】解：根據(jù)函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，﹣π＜φ＜0）的部分圖象，可得T=2（﹣）=2=，∴ω=π．∵f（）=Asin（π+φ）=0，﹣π＜φ＜0，可得φ=﹣，函數(shù)f（x）=Asin（πx﹣）．由f（0）=Asin（﹣）=﹣A=﹣2，∴A=4，∴f（x）=4sin（πx﹣）．故A、B、C正確，函數(shù)f（x）的圖象向左平移個(gè)單位后，不可能得到y(tǒng)=Asinωx的圖象，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求解析式，由周期求出ω，由特殊點(diǎn)的坐標(biāo)求出φ和A的值．還考查了函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，屬于基礎(chǔ)題．3.已知向量，滿足||=1，||=2，﹣=（，），則|+2|=（）A． B． C． D．參考答案：C【考點(diǎn)】平面向量數(shù)量積的運(yùn)算；向量的模．【分析】利用向量的數(shù)量積運(yùn)算即可得出．【解答】解：向量，滿足||=1，||=2，﹣=（，），可得|﹣|2=5，即||2+||2﹣2?=5，解得?=0．|+2|2=||2+4||2﹣4?=1+16=17．|+2|=．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】熟練掌握向量的數(shù)量積運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．4.已知集合,則=(

)A.

B.

C.

D.(－1,1]參考答案：B5.函數(shù)(a,b∈R)是奇函數(shù)，且圖像經(jīng)過點(diǎn)(ln3,)，則函數(shù)的值域?yàn)?

)A．(－1,1)

B．(－2,2)

C.(－3,3)

D．(－4,4)參考答案：A6.設(shè)x0為函數(shù)f（x）=sinπx的零點(diǎn)，且滿足|x0|+|f（x0+）|＜33，則這樣的零點(diǎn)有（）A．61個(gè) B．63個(gè) C．65個(gè) D．67個(gè)參考答案：【考點(diǎn)】函數(shù)零點(diǎn)的判定定理．【專題】計(jì)算題；函數(shù)思想；綜合法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．【分析】令f（x0）=0得x0=k，由f（x）的周期為2可得f（x0+）=±1，代入條件式得|k|＜32．【解答】解：f（x）的周期T==2，∵設(shè)x0為函數(shù)f（x）=sinπx的零點(diǎn)，∴x0=k（k∈Z），f（x0）=0，∴|f（x0+）|=1，∴|k|＜32．∴符合條件的k共有63個(gè)．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正弦函數(shù)的性質(zhì)，零點(diǎn)的定義，屬于基礎(chǔ)題．7.設(shè)i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)z滿足z?（1+i）=﹣i，則復(fù)數(shù)z的虛部等于（）A．﹣ B． C．2 D．﹣參考答案：A【考點(diǎn)】A5：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算．【分析】z?（1+i）=﹣i，可得z?（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），化簡(jiǎn)即可得出．【解答】解：z?（1+i）=﹣i，∴z?（1+i）（1﹣i）=﹣i（1﹣i），∴3z=﹣2﹣i，即z=﹣﹣i．則復(fù)數(shù)z的虛部等于﹣．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、虛部的定義、共軛復(fù)數(shù)的定義，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題．8.設(shè)直線x=k與函數(shù)

的圖像分別交于點(diǎn)M,N,則當(dāng)達(dá)到最小時(shí)k的值為

A．1

B．

C．

D．參考答案：D9.設(shè)為實(shí)數(shù)，若復(fù)數(shù)，則（

）A.

B.

C.

D.參考答案：A略10.若不等式對(duì)任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（

）

A.

B.

C.

D.參考答案：A二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知x,y滿足，則函數(shù)z=x+3y的最大值是________.參考答案：答案：7解析：畫出可行域，當(dāng)直線過點(diǎn)（1，2）時(shí)，12.設(shè)，是曲線與圍成的區(qū)域，若在區(qū)域上隨機(jī)投一點(diǎn)，則點(diǎn)落入?yún)^(qū)域的概率為.

參考答案：略13.計(jì)算定積分___________。參考答案：14.已知函數(shù)的最大值為1，則

.

參考答案：本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)與三角變換。=；又因?yàn)楹瘮?shù)的最大值為1，所以，解得。

15.不等式的解集為_____________．

參考答案：16.已知兩圓相交于兩點(diǎn)（1，3）和（m，1），且兩圓的圓心都在直線上，則m+c的值是

．參考答案：3【考點(diǎn)】相交弦所在直線的方程；直線的一般式方程與直線的垂直關(guān)系．【分析】?jī)蓤A的公共弦的方程與兩圓連心線垂直，求出公共弦的方程，然后求出m，利用中點(diǎn)在連心線上，求出c，即可求出結(jié)果．【解答】解：已知兩圓相交于兩點(diǎn)（1，3）和（m，1），且兩圓的圓心都在直線上，所以公共弦方程為：y﹣3=﹣1（x﹣1），所以x+y﹣4=0，因?yàn)椋╩，1）在公共弦上，m=3；中點(diǎn)在連心線上，即（2，2）在連心線上，所以c=0，所以m+c=3；故答案為：3．17.定義在上的函數(shù)滿足，且函數(shù)為奇函數(shù)，給出下列命題：①函數(shù)不是周期函數(shù);②函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；③函數(shù)的圖像關(guān)于軸對(duì)稱，其中真命題的序號(hào)為

.參考答案：②

③三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)f（x）=x3﹣﹣1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x），g（x）=emx+f′（x）．（Ⅰ）若f（2）=11，求曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程；（Ⅱ）證明函數(shù)g（x）在（﹣∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，+∞）上單調(diào)遞增；（Ⅲ）若對(duì)任意x1，x2∈[﹣1，1]，都有|g（x1）﹣g（x2）|≤e+1，求m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程；利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導(dǎo)數(shù)在最大值、最小值問題中的應(yīng)用．【專題】綜合題；轉(zhuǎn)化思想；分類法；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用．【分析】（Ⅰ）由f（2）=11，求得m=﹣2，求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，求得切線的斜率和切點(diǎn)，即可得到所求切線的方程；（Ⅱ）利用g′（x）≥0說(shuō)明函數(shù)為增函數(shù)，利用g′（x）≤0說(shuō)明函數(shù)為減函數(shù)．注意參數(shù)m的討論；（Ⅲ）由（Ⅱ）知，對(duì)任意的m，g（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，則恒成立問題轉(zhuǎn)化為最大值和最小值問題．從而求得m的取值范圍．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x3﹣﹣1的導(dǎo)函數(shù)為f′（x）=3x2﹣mx，f（2）=11，可得8﹣2m﹣1=11，解得m=﹣2，即f（x）=x3+x2﹣1導(dǎo)數(shù)為f′（x）=3x2+2x，在點(diǎn)（1，f（1））處的切線斜率為5，切點(diǎn)為（1，1），則在點(diǎn)（1，f（1））處的切線方程為y﹣1=5（x﹣1），即為5x﹣y﹣4=0；（Ⅱ）證明：g（x）=emx+f′（x）=emx+3x2﹣mx．g′（x）=m（emx﹣1）+6x．若m≥0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，emx﹣1≤0，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx﹣1≥0，g′（x）＞0．若m＜0，則當(dāng)x∈（﹣∞，0）時(shí)，emx﹣1＞0，g′（x）＜0；當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，emx﹣1＜0，g′（x）＞0．所以，g（x）在（﹣∞，0）時(shí)單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增；（Ⅲ）由（1）知，對(duì)任意的m，g（x）在[﹣1，0]單調(diào)遞減，在[0，1]單調(diào)遞增，故g（x）在x=0處取得最小值．所以對(duì)于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|g（x1）﹣g（x2）|≤e+1的充要條件是，即，即，設(shè)函數(shù)h（t）=et﹣t﹣e+1，則h′（t）=et﹣1．當(dāng)t＜0時(shí)，h′（t）＜0；當(dāng)t＞0時(shí)，h′（t）＞0．故h（t）在（﹣∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．又h（1）=0，h（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故當(dāng)t∈[﹣1，1]時(shí)，h（t）≤0．當(dāng)m∈[﹣1，1]時(shí)，h（m）≤0，h（﹣m）≤0，即合式成立；當(dāng)m＞1時(shí)，由h（t）的單調(diào)性，h（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．當(dāng)m＜﹣1時(shí)，h（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．綜上，m的取值范圍是[﹣1，1]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查導(dǎo)數(shù)在求單調(diào)函數(shù)中的應(yīng)用和恒成立在求參數(shù)中的應(yīng)用．屬于難題．19.甲、乙、丙三人進(jìn)行乒乓球練習(xí)賽，其中兩人比賽，另一人當(dāng)裁判，每局比賽結(jié)束時(shí)，負(fù)的一方在下一局當(dāng)裁判．設(shè)各局中雙方獲勝的概率均為，各局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立，第1局甲當(dāng)裁判．（Ⅰ）求第4局甲當(dāng)裁判的概率；（Ⅱ）用X表示前4局中乙當(dāng)裁判的次數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：【考點(diǎn)】離散型隨機(jī)變量的期望與方差；相互獨(dú)立事件的概率乘法公式．【專題】應(yīng)用題；概率與統(tǒng)計(jì)．【分析】（I）令A(yù)1表示第2局結(jié)果為甲獲勝，A2表示第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)，A表示第4局甲當(dāng)裁判，分析其可能情況，每局比賽的結(jié)果相互獨(dú)立且互斥，利用獨(dú)立事件、互斥事件的概率求解即可．（II）X的所有可能值為0，1，2．分別求出X取每一個(gè)值的概率，列出分布列后求出期望值即可．【解答】解：（I）令A(yù)1表示第2局結(jié)果為甲獲勝．A2表示第3局甲參加比賽時(shí)，結(jié)果為甲負(fù)．A表示第4局甲當(dāng)裁判．則A=A1?A2，P（A）=P（A1?A2）=P（A1）P（A2）=；（Ⅱ）X的所有可能值為0，1，2．令A(yù)3表示第3局乙和丙比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝．B1表示第1局結(jié)果為乙獲勝，B2表示第2局乙和甲比賽時(shí)，結(jié)果為乙勝，B3表示第3局乙參加比賽時(shí)，結(jié)果為乙負(fù)，則P（X=0）=P（B1B2）=P（B1）P（B2）P（）=．P（X=2）=P（B3）=P（）P（B3）=．P（X=1）=1﹣P（X=0）﹣P（X=2）=．故X的分布列為X012P從而EX=0×+1×+2×=．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥、獨(dú)立事件的概率，離散型隨機(jī)變量的分布列和期望等知識(shí)，同時(shí)考查利用概率知識(shí)解決問題的能力．20.（本小題滿分12分）在數(shù)列中，（Ⅰ）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（Ⅱ）若存在，使得成立，求實(shí)數(shù)的最小值.參考答案：19.（I）……①……②由①—②得：,當(dāng)時(shí)，也符合……③2……④又③—④得：

……6分(II)由得令單調(diào)遞增，從而因此實(shí)數(shù)的最小值為

……12分

略21.已知a，b，c均為正數(shù)．（1）若a+b=1，求的最小值；（2）若a+b+c=m，求證：≥m．參考答案：【考點(diǎn)】基本不等式．【分析】（1）根據(jù)基本不等式即可求出最小值，（2）因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，方法一，根據(jù)柯西不等式即可證明，方法二，根據(jù)均值不等式即可證明．【解答】解：（1）=（）（a+b）=1+4++≥5+2=5+4=9．當(dāng)且僅當(dāng)b=2a=時(shí)，等號(hào)成立，即當(dāng)且僅當(dāng)a=，b=時(shí)，+有最小值9；（2）證法一：證明：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，由柯西不等式得（b+c+a）（++）≥（a+b+c）2，化簡(jiǎn)可得++≥a+b+c．即++≥m，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=時(shí)取等號(hào)．

證法二：證明：因?yàn)閍、b、c為正實(shí)數(shù)，且a+b+c=m，所以+++（b+c+a）=（+b）+（+c）+（+a）≥2+2+2=2（a+b+c），所以++≥a+b+c=m當(dāng)且僅當(dāng)a+b+c=m時(shí)取等號(hào)．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了均值不等式和柯西不等式的應(yīng)用，屬于中檔題22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ADC=∠BCD=90°，BC=2，，PD=4，∠PDA=60°，且平面PAD⊥平面ABCD．（Ⅰ）求證：AD⊥PB；（Ⅱ）在線段PA上是否存在一點(diǎn)M，使二面角M﹣BC﹣D的大小為，若存在，求的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系．【分析】（I）過B作BO∥CD，交AD于O，連接OP，則AD⊥OB，由勾股定理得出AD⊥OP，故而AD⊥平面OPB，于是AD⊥PB；（II）以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系，設(shè)M（m，0，n），求出平面BCM的平面ABCD的法向量，令|cos＜＞|=cos解出n，從而得出的值．【解答】證明：（I）過B作BO∥CD，交AD于O，連接OP．∵AD∥BC，∠ADC=∠BCD=90°，CD∥OB∴四邊形OBCD是矩形，∴OB⊥AD．OD=BC=2，∵PD=4，∠PDA=60°，∴OP==2．∴OP2+OD2=PD2，∴OP⊥OD．又OP?平面OPB，OB?平面OPB，OP∩OB=O，∴AD⊥平面OPB，∵PB?平面OPB，∴A