特殊四邊形的動(dòng)態(tài)探究題1.如圖，在△OAB中，OA＝OB，以點(diǎn)O為圓心的⊙O經(jīng)過(guò)AB的中點(diǎn)C，直線AO與⊙O相交于點(diǎn)E、D，OB交⊙O于點(diǎn)F，P是eq\o(DF,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，連接CE、CF、BP.(1)求證：AB是⊙O的切線．(2)若OA＝4，則①當(dāng)eq\o(DP,\s\up8(︵))長(zhǎng)為_(kāi)_______時(shí)，四邊形OECF是菱形；②當(dāng)eq\o(DP,\s\up8(︵))長(zhǎng)為_(kāi)_______時(shí)，四邊形OCBP是正方形．第1題圖2.如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)P是⊙O上不與A，B重合的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，延長(zhǎng)PA到點(diǎn)C，使AC＝AP，點(diǎn)D為⊙O上一點(diǎn)，且滿足AD∥PB，射線CD交PB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.(1)求證：△PAB≌△ACD；(2)填空：①若AB＝6，則四邊形ABED的最大面積為_(kāi)___________；②若射線CD與⊙O的另一個(gè)交點(diǎn)為F，連接OF，則當(dāng)∠PAB的度數(shù)為_(kāi)_______時(shí)，以O(shè)，A，D，F(xiàn)為頂點(diǎn)的四邊形為菱形．第2題圖3.如圖，已知?ABCD中，AD＝8cm，AB＝10cm，BD＝12cm.點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度向點(diǎn)(1)連接DP、BQ，求證：DP＝BQ；(2)填空：①當(dāng)t為_(kāi)_____s時(shí)，四邊形PBQD是矩形；②當(dāng)t為_(kāi)_____s時(shí)，四邊形PBQD是菱形．第3題圖4.如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是直徑，OD⊥BC于點(diǎn)D，延長(zhǎng)DO交⊙O于點(diǎn)F，連接OC，AF.(1)求證：△COD≌△BOD；(2)填空：①當(dāng)∠1＝________時(shí)，四邊形OCAF是菱形；②當(dāng)∠1＝________時(shí)，AB＝2eq\r(2)OD.第4題圖5.(2017濮陽(yáng)模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，以AC為直徑的⊙O與斜邊AB交于點(diǎn)D，E為BC邊的中點(diǎn)，連接DE.(1)求證：DE是⊙O的切線；(2)填空：①若∠B＝30°，AC＝2eq\r(3)，則DE＝________；②當(dāng)∠B＝________時(shí)，以O(shè)，D，E，C為頂點(diǎn)的四邊形是正方形．第5題圖6.如圖，AB為半圓O的直徑，C為半圓上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)C作半圓O的切線l，過(guò)點(diǎn)B作BD⊥l，垂足為D，BD與⊙O交于點(diǎn)E，連接OC、CE、AE，AE交OC于點(diǎn)F.(1)求證：△CDE≌△EFC；(2)若AB＝4，連接AC.①當(dāng)AC＝________時(shí)，四邊形OBEC為菱形；②當(dāng)AC＝________時(shí)，四邊形EDCF為正方形．第6題圖7.如圖，在△ABD中，AB＝AD，以AB為直徑的⊙F交BD于點(diǎn)C，交AD于點(diǎn)E，CG⊥AD于點(diǎn)G.(1)求證：GC是⊙F的切線；(2)填空：①若△BCF的面積為15，則△BDA的面積為_(kāi)_______；②當(dāng)∠GCD的度數(shù)為_(kāi)_______時(shí)，四邊形EFCD是菱形．第7題圖8.如圖，在⊙S中，AB是直徑，AC、BC是弦，D是⊙S外一點(diǎn)，且DC與⊙S相切于點(diǎn)C，連接CS，DS，DB，其中DS交BC于點(diǎn)E，交⊙S于點(diǎn)F，F(xiàn)為弧BC的中點(diǎn)．(1)求證：△DCS≌△DBS；(2)若AB＝10，AC＝6，點(diǎn)P是線段DS上的動(dòng)點(diǎn)．①連接PC、PB，當(dāng)PD＝_________時(shí)，四邊形PCSB是菱形；②當(dāng)PD＝_________時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最?。?題圖9.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AC方向以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)以相同的速度沿CA方向勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)P作AB的垂線，分別交⊙O于點(diǎn)M和點(diǎn)N，已知⊙O的半徑為eq\f(3,2)cm，AC＝8cm，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)求證：NQ＝MQ；(2)填空：①當(dāng)t＝________時(shí)，四邊形AMQN為菱形；②當(dāng)t＝________時(shí)，NQ與⊙O相切．第9題圖10.如圖，AB是半圓O的直徑，點(diǎn)C是半圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∠BAC的平分線交圓弧于點(diǎn)D，半圓O在點(diǎn)D處的切線與直線AC交于點(diǎn)E.(1)求證：△ADE∽△ABD；(2)填空：①若ED∶DB＝eq\r(3)∶2，則AE∶AB＝________；②連接OC、CD，當(dāng)∠BAC的度數(shù)為_(kāi)_______時(shí)，四邊形BDCO是菱形．第10題圖11.如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)D、E位于AB兩側(cè)的圓上，射線DC切⊙O于點(diǎn)D.已知點(diǎn)E是圓弧AB上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是射線DC上的動(dòng)點(diǎn)，連接DE、AE，DE與AB交于點(diǎn)P，再連接FP、FB，且∠AED＝45°.(1)求證：CD∥AB；(2)填空：①當(dāng)∠DAE＝________時(shí)，四邊形ADFP是菱形；②當(dāng)∠DAE＝________時(shí)，四邊形BFDP是正方形．第11題圖12.如圖，BC是⊙O的直徑，BP＝BO，過(guò)點(diǎn)P作⊙O的切線交⊙O于點(diǎn)A，點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn)，連接OA，AC，AD，CD，AB.(1)求證：△OAP≌△BAC；(2)填空：①若BP＝3，則△APC的面積為_(kāi)_______；②在①的條件下，當(dāng)leq\o(AD,\s\up8(︵))＝________時(shí)，四邊形AOCD為菱形．第12題圖13.如圖，△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的半圓O交BC于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E.(1)求證：△OBD≌△OED；(2)填空：①當(dāng)∠BAC＝________時(shí)，CA是半圓O的切線；②當(dāng)∠BAC＝________時(shí)，四邊形OBDE是菱形．第13題圖14.如圖，AB是半圓O的直徑，射線AM⊥AB，點(diǎn)P在AM上，連接OP交半圓O于點(diǎn)D，PC切半圓O于點(diǎn)C，連接BC.(1)求證：BC∥OP；(2)填空：若半圓O的半徑等于2，①當(dāng)AP＝________時(shí)，四邊形OAPC是正方形；②當(dāng)AP＝________時(shí)，四邊形BODC是菱形．第14題圖15.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)C的直線m∥AB，D為AB邊上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC，垂足為F，交直線m于點(diǎn)E，連接CD，BE.(1)求證：CE＝AD；(2)填空：當(dāng)D是AB的中點(diǎn)時(shí)，①四邊形BECD是________；②當(dāng)∠A＝________時(shí)，四邊形BECD是正方形．第15題圖16.如圖，⊙O的半徑為4cm，其內(nèi)接正六邊形ABCDEF，點(diǎn)P，Q同時(shí)分別從A、D兩點(diǎn)出發(fā)，以1cm/s的速度沿AF、DC向終點(diǎn)F、C運(yùn)動(dòng)．連接PB、PE、QB、QE，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)．(1)求證：四邊形PEQB為平行四邊形；(2)填空：①當(dāng)t＝________s時(shí)，四邊形PEQB為菱形；②當(dāng)t＝________s時(shí)，四邊形PEQB為矩形．第16題圖答案1.(1)證明：∵在△ABO中，OA＝OB，C是AB的中點(diǎn)，∴OC⊥AB.∵OC為⊙O的半徑，∴AB是⊙O的切線；(2)解：①；【解法提示】要使四邊形OECF為菱形，則OE＝OF＝CE＝CF＝OC，∴△OCE是等邊三角形，∴∠AOC＝60°，又∵OC⊥AC，∴OC＝OA·cos60°＝eq\f(1,2)OA＝eq\f(1,2)×4＝2，又∵∠BOD＝180°－∠AOC－∠BOC＝60°，P是eq\o(DF,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴∠DOP＝∠FOP＝30°，∴eq\o(DP,\s\up8(︵))的長(zhǎng)＝＝.②eq\f(\r(2),2)π.【解法提示】要使四邊形OCBP為正方形，則∠BOC＝∠BOP＝45°，又∵∠AOC＝∠BOC，∴∠AOB＝90°，又∵OA＝OB，OC⊥AB，∴OC＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(\r(2),2)OA＝2eq\r(2)，又∵P是eq\o(DF,\s\up8(︵))的中點(diǎn)，∴eq\o(DP,\s\up8(︵))＝eq\o(PF,\s\up8(︵))，∴eq\o(DP,\s\up8(︵))的長(zhǎng)＝＝eq\f(\r(2),2)π.2.(1)證明：如解圖①，連接BD，∵AB為⊙O的直徑，∴∠APB＝∠ADB＝90°，∵AD∥PB，∴∠CAD＝∠APB＝90°，∴∠PAD＝90°，第2題解圖①∴∠APB＝∠ADB＝∠PAD＝90°，∴四邊形ADBP是矩形，∴AD＝PB，在△PAB和△ACD中，，∴△PAB≌△ACD；(2)解：①18；【解法提示】①由(1)知，AD＝PB，∵AD∥PB，AC＝AP，∴AD＝eq\f(1,2)PE＝eq\f(1,2)(PB＋BE)，∴PB＝EB，∴AD＝BE，∵AD∥PB，∴四邊形ADEB是平行四邊形，∵AB是⊙O的直徑，其長(zhǎng)度不變，∴直線CD和⊙O相切時(shí)，即點(diǎn)D到直徑AB的距離等于半徑時(shí)，四邊形ABED的面積最大，∵AB＝6，∴S四邊形ABED最大＝AB×eq\f(1,2)AB＝18.②30°或60°.【解法提示】分兩種情況考慮：當(dāng)eq\o(PA,\s\up8(︵))＞eq\o(PB,\s\up8(︵))時(shí)，如解圖②，連接PD，則PD為⊙O的直徑，∵四邊形ADFO為菱形，∴OA＝AD＝DF＝FO＝OD，∴△ADO和△ODF為等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∵OA＝OP，∴∠PAB＝eq\f(1,2)∠AOD＝30°；當(dāng)eq\o(PA,\s\up8(︵))<eq\o(PB,\s\up8(︵))時(shí)，如解圖③，連接PD，AF，則PD為⊙O的直徑，∵四邊形AODF為菱形，∴OA＝AF＝DF＝FO＝OD，∴△AOF和△DOF為等邊三角形，∴∠AOD＝120°，∴∠AOP＝60°，∵OA＝OP，∴△AOP為等邊三角形，∴∠PAB＝60°.第2題解圖②第2題解圖③3.(1)證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴∠A＝∠C，AD＝BC.又∵AP＝CQ＝t，在△APD和△CQB中，∵，∴△APD≌△CQB(SAS)，∴DP＝BQ；(2)解：①1；【解法提示】如解圖①，要使四邊形PBQD是矩形，∴DP⊥AB，∴AD2－AP2＝BD2－BP2＝DP2，即82－t2＝122－(10－t)2，解得t＝1.②2.【解法提示】要使四邊形PBQD為菱形，則BP＝DP，如解圖②，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥AB于H，連接PQ，與BD相交于O.由①知BH＝10－1＝9，cos∠DBH＝eq\f(BH,BD)＝eq\f(9,12)＝eq\f(3,4).在Rt△BOP中，cos∠PBO＝eq\f(OB,PB)，cos∠DBH＝cos∠PBO＝eq\f(3,4)，即eq\f(3,4)＝，解得t＝2.第3題解圖4.(1)證明：∵OD⊥BC，OB＝OC，∴∠ODC＝∠ODB＝90°，∠OCD＝∠OBD，在△COD和△BOD中，，∴△COD≌△BOD；(2)解：①30°；【解法提示】如解圖，要使四邊形OCAF是菱形，則OF＝AF＝OA＝AC＝OC，即△AOF和△OAC是等邊三角形，∴∠2＝∠3＝60°，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠1＝30°，∴當(dāng)∠1＝30°時(shí)，四邊形OCAF是菱形．第4題解圖②45°.【解法提示】∵AB＝2OB，∴要使AB＝2eq\r(2)OD，則OD＝eq\f(\r(2),2)OB，∴在Rt△ODB中，sin∠1＝eq\f(OD,OB)＝eq\f(\r(2),2)，∴∠1＝45°，∴當(dāng)∠1＝45°時(shí)，AB＝2eq\r(2)OD.5.(1)證明：如解圖，連接OD.∵AC是⊙O的直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠CDB＝90°，又∵E為BC邊的中點(diǎn)，∴DE為Rt△DCB斜邊的中線，∴DE＝CE＝eq\f(1,2)BC.∴∠DCE＝∠CDE.∵OC＝OD，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠ODC＋∠CDE＝∠OCD＋∠DCE＝∠ACB＝90°，∴∠ODE＝90°.∵OD為⊙O的直徑，∴DE是⊙O的切線．第5題解圖(2)解：①3；【解法提示】∵∠B＝30°，AC＝2eq\r(3)，∠BCA＝90°，∴tan30°＝eq\f(AC,BC)＝＝eq\f(\r(3),3)，解得：BC＝6，則DE＝eq\f(1,2)BC＝3.②45°.【解法提示】∵四邊形ODEC為正方形，∴∠DEC＝∠ACB＝90°，DE＝EC，又∵BE＝DE，∴△DBE是等腰直角三角形，∴∠B＝45°.6.(1)證明：由題意可知，∠D＝90°，∵AB為半圓O的直徑，∴∠AEB＝90°，又∵l為半圓O的切線，∴∠DCO＝90°，∴四邊形CFED為矩形，∴CF＝DE，EF＝CD，又∵CE＝CE，∴△CDE≌△EFC(SSS)；(2)解：①2；【解法提示】若四邊形OBEC是菱形，則OC＝OB＝BE＝CE＝eq\f(1,2)AB，∴∠EAB＝30°，∴∠COA＝∠EBA＝60°，∵OC＝OA，∴△AOC為等邊三角形，∵AB＝4，∴AC＝2.②2eq\r(2).【解法提示】如解圖，若四邊形EDCF為正方形，則O與F重合，B與E重合，∠AOC＝90°，∵OA＝OC＝2，∴AC＝2eq\r(2).第6題解圖7.(1)證明：∵AB＝AD，F(xiàn)B＝FC，∴∠B＝∠D，∠B＝∠BCF.∴∠D＝∠BCF，∴CF∥AD.∵CG⊥AD，∴CG⊥CF，又∵FC為⊙F的半徑，∴GC是⊙F的切線；(2)解：①60；【解法提示】∵CF∥AD，∴△BCF∽△BDA，∵eq\f(BF,BA)＝eq\f(1,2)，S△BCF∶S△BDA＝1∶4，∴S△BDA＝4S△BCF＝4×15＝60.②30°.【解法提示】∵四邊形EFCD為菱形，∴EF∥BD，∵點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，AB＝AD，∴AE＝AF，∵AF＝EF，∴△AEF是等邊三角形，∴∠AEF＝60°，∴∠D＝60°，∴∠GCD＝180°－90°－60°＝30°.8.(1)證明：∵點(diǎn)F是弧BC的中點(diǎn)，SF為⊙S的半徑，∴SF⊥BC，且E為BC的中點(diǎn)，∴DS是BC的垂直平分線，∴DC＝DB.在△DCS和△DBS中，，∴△DCS≌△DBS(SSS)；(2)解：①eq\f(7,3)；【解法提示】如解圖，四邊形PCSB是菱形，∴PE＝SE，BE＝CE，PS⊥BC.∵AB是⊙S的直徑，∴AC⊥BC，∵AB＝10，AC＝6，在Rt△ABC中，由勾股定理可得BC＝8，∴BE＝4，∵BS＝5，∴在Rt△BES中，由勾股定理可得ES＝3，∴PS＝6，∵由(1)可得DB是⊙S的切線，∴BS⊥DB，∴∠SEB＝∠SBD＝90°，∵∠BSE＝∠DSB，∴△EBS∽△BDS，∴eq\f(SB,SD)＝eq\f(SE,SB)，即＝eq\f(3,5)，∴SD＝eq\f(25,3)，∴PD＝SD－PS＝eq\f(25,3)－6＝eq\f(7,3)，∴當(dāng)PD＝eq\f(7,3)時(shí)，四邊形PCSB是菱形．第8題解圖②eq\f(25,3).【解法提示】∵DS是BC的垂直平分線，∴PC＝PB，∴△PAC的周長(zhǎng)＝AC＋PA＋PC＝6＋PA＋PC＝6＋PA＋PB，當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)，PA＋PB最小，即點(diǎn)P與點(diǎn)S重合時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最小，即周長(zhǎng)的最小值為6＋10＝16，此時(shí)PD＝SD，由①知SD＝eq\f(25,3)，∴當(dāng)PD＝eq\f(25,3)時(shí)，△PAC的周長(zhǎng)最?。?.(1)證明：∵AB是⊙O的直徑，AB⊥MN，∴PM＝PN，∴AB垂直平分MN，∴NQ＝MQ；(2)解：①eq\f(8,3)；【解法提示】AP＝t，CQ＝t，則PQ＝8－t－t＝8－2t，∵AQ⊥MN，PM＝PN，∴當(dāng)AP＝PQ時(shí)，四邊形AMQN為菱形，即t＝8－2t，解得t＝eq\f(8,3).②2.【解法提示】如解圖，作OH⊥QN于H，OQ＝AC－AO－CQ＝8－eq\f(3,2)－t＝eq\f(13,2)－t，OP＝t－eq\f(3,2)，當(dāng)ON⊥QN時(shí)，QN為⊙O的切線，∵∠NOQ＝∠PON，∠OPN＝∠ONQ，∴△ONP∽△OQN，∴OP∶ON＝ON∶OQ，即(t－eq\f(3,2))∶eq\f(3,2)＝eq\f(3,2)∶(eq\f(13,2)－t)，整理得t2－8t＋12＝0，解得t1＝2，t2＝6(舍去)，∴t＝2時(shí)，NQ與⊙O相切．第9題解圖10.(1)證明：如解圖①，連接OD，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠EAD＝∠DAB，∵AO＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∴∠EAD＝∠ODA，∴OD∥AE，∵DE是半圓O的切線，∴OD⊥DE，∴∠E＝90°，∵AB是半圓O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠EAD＝∠DAB，∠E＝∠ADB，∴△ADE∽△ABD；第10題解圖①(2)解：①3∶4；【解法提示】由(1)得△ADE∽△ABD，∴eq\f(ED,BD)＝eq\f(AE,AD)，∵ED∶DB＝eq\r(3)∶2，∴AE∶AD＝eq\r(3)∶2，∴∠EAD＝30°，∴∠DAB＝30°，∴AD∶AB＝eq\r(3)∶2，∴AE∶AB＝3∶4.②60°.【解法提示】如解圖②，連接OC，CD，OD，當(dāng)四邊形BDCO是菱形時(shí)，OD＝BD，∴△ODB為等邊三角形，∴∠DOB＝60°，由(1)得，OD∥AC，∴∠BAC＝60°.第10題解圖②11.(1)證明：如解圖，連接OD，∵射線DC切⊙O于點(diǎn)D，∴OD⊥CD，即∠ODF＝90°，∵∠AED＝45°，∴∠AOD＝2∠AED＝90°，即∠ODF＝∠AOD，∴CD∥AB；第11題解圖(2)解：①67.5°；【解法提示】∵四邊形ADFP是菱形，∴AD＝AP，∵在Rt△AOD中，OA＝OD，∴∠DAO＝45°，∴∠ADP＝∠APD＝eq\f(180°－45°,2)＝67.5°，∴在△ADE中，∠DAE＝180°－∠ADE－∠AED＝180°－67.5°－45°＝67.5°.②90°.【解法提示】當(dāng)四邊形BFDP是正方形，由題意可知，DE⊥AB時(shí)DE經(jīng)過(guò)⊙O的圓心，∴DE是⊙O的直徑，∴∠DAE＝90°.12.(1)證明：∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵PA為⊙O的切線，∴∠OAP＝90°，∴∠OAP＝∠BAC，∵在Rt△OAP中，BP＝BO，∴點(diǎn)B為PO的中點(diǎn)，∴AB＝PB＝BO，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝AB，∴△ABO為等邊三角形，∴∠AOP＝∠ABC＝60°，在△OAP和△BAC中，，∴△OAP≌△BAC；(2)解：①eq\f(27\r(3),4)；【解法提示】如解圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵BP＝3，OB＝OC，∴PC＝BP＋OB＋OC＝9.在Rt△AOE中，∵∠AOE＝60°，∴AE＝OA·sin∠AOE＝OA·sin60°＝3×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(3\r(3),2).∴S△APC＝eq\f(1,2)PC·AE＝eq\f(1,2)×9×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(27\r(3),4).第12題解圖②π.【解法提示】如解圖，連接OD.∵四邊形AOCD為菱形，∴AO＝AD，∵OA＝OD，∴△AOD為等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∴l(xiāng)eq\o(AD,\s\up8(︵))＝＝π.13.(1)證明：如解圖，連接AD，第13題解圖∵AB是半圓O的直徑，∴AD⊥BC，又∵AB＝AC，∴∠BAD＝∠CAD，∴eq\o(BD,\s\up8(︵))＝eq\o(ED,\s\up8(︵)).∴BD＝ED，在△OBD和△OED中，，∴△OBD≌△OED(SSS)；(2)解：①90°；【解法提示】當(dāng)∠BAC＝90°，∵AB為⊙O的直徑，∴CA是半圓O的切線．②60°.【解法提示】∵四邊形OBDE為菱形，∴OB＝BD，∵OB＝OD，∴△