空間幾何體的外接球

本文介紹了幾種利用幾何體的特殊性質(zhì)來求解外接球半徑的方法。其中第一種方法是針對(duì)長方體模型一的，只需要找到三條兩兩垂直的線段，就可以直接使用公式2R=a+b+c或2R=a2+b2+c2來求解半徑R。接著，文章給出了幾個(gè)例題，讓讀者更好地理解和應(yīng)用這種方法。第二種方法是針對(duì)長方體模型二的，題設(shè)為一條直線垂直于一個(gè)平面，解題步驟包括將三角形畫在小圓面上，連接直線與圓心，最后利用勾股定理求解外接球半徑R。同樣，文章給出了幾個(gè)例題供讀者練習(xí)。最后，文章介紹了對(duì)棱相等模型的長方體模型三，這種方法需要求出補(bǔ)形為長方體的幾何體的體積，并將其除以4π/3，就可以得到外接球的半徑R。文章提供了一個(gè)例題，讓讀者更好地掌握這種方法?？偟膩碚f，本文通過多種方法介紹了如何求解幾何體的外接球半徑，對(duì)于需要進(jìn)行相關(guān)計(jì)算的讀者來說，是一份不錯(cuò)的參考資料。三棱錐（即四面體）中已知三組對(duì)棱分別相等，求外接球半徑（AB=CD，AD=BC，AC=BD）的方法如下：第一步，畫出一個(gè)長方體，并標(biāo)出三組互為異面直線的對(duì)棱。第二步，設(shè)長方體的長、寬、高分別為a、b、c，AD=BC=x，AB=CD=y，AC=BD=z，列出方程組：a^2+b^2=x^2b+c=yc^2+a^2=z^2然后，根據(jù)墻角模型，2R=a+b+c=√(x^2+y^2+z^2)，求出外接球半徑R。補(bǔ)充：V(A-BCD)=abc/3，V(ABCD)=abc/3×4=4abc/3例如，正四面體的外接球半徑也可以用此法求解。題例3：1.在三棱錐A-BCD中，AB=CD=2，AD=BC=3，AC=BD=4，則三棱錐A-BCD外接球的表面積為。2.如圖所示三棱錐A-BCD，其中AB=CD=5，AC=BD=6，AD=BC=7，則該三棱錐外接球的表面積為。3.正四面體的各條棱長都為2，則該正四面體外接球的體積為。類型二：圓錐模型題設(shè)：如圖6、7、8，P的射影是△ABC的外心，當(dāng)且僅當(dāng)三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等，或者三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底面上，且頂點(diǎn)P點(diǎn)也是圓錐的頂點(diǎn)。解題步驟：第一步，確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，則P、O、O1三點(diǎn)共線。第二步，先算出小圓O1的半徑AO1=r，再算出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）。第三步，根據(jù)勾股定理，OA=O1A+OO1，解出外接球半徑R。題例4：1.一個(gè)幾何體的三視圖如右圖所示，則該幾何體外接球的表面積為（）。2.在三棱錐P-ABC中，PA=PB=PC=3，側(cè)棱PA與底面ABC所成的角為60度，則該三棱錐外接球的體積為（）。（1）一個(gè)正六棱柱的底面是正六邊形，其側(cè)棱垂直于底面，已知該六棱柱的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球面上，且該六棱柱的體積為9，底面周長為3，則這個(gè)球的體積為8。解析：首先，根據(jù)正六棱柱的性質(zhì)，可以得知其底面邊長為1.5，高為1.5*√3，側(cè)棱長為3.根據(jù)勾股定理，可以求得該六棱柱的高為√6，從而可以求得該六棱柱的外接球的半徑為（√6+1）/2.代入球體積公式，可得該球的體積為8.（2）直三棱柱ABC-A1B1C1的各頂點(diǎn)都在同一球面上，若AB=AC=AA1=2，∠BAC=120°，則此球的表面積等于。解析：首先，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，可以得知其底面為正三角形，側(cè)棱長為2.根據(jù)勾股定理，可以求得該直三棱柱的高為√3，從而可以求得該直三棱柱的外接球的半徑為√3+1.代入球表面積公式，可得該球的表面積為6√3.（3）在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=4，AC=6，A在該球的一個(gè)大圓上，則此球的表面積為。解析：首先，根據(jù)直三棱柱的性質(zhì)，可以得知其底面為等腰三角形，底邊長為4，高為√12.根據(jù)勾股定理，可以求得該直三棱柱的側(cè)棱長為2√7.由于A在該球的一個(gè)大圓上，因此該球的球心必定在以ABC為底面的正三棱錐的外接球面上.根據(jù)正三棱錐的性質(zhì)，可以求得該正三棱錐的高為√19/3，從而可以求得該球的半徑為(√19+3)/3.代入球表面積公式，可得該球的表面積為(19π+9√3)/3.2.根據(jù)圖9-2，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（也就是說AC是小圓的直徑）。根據(jù)勾股定理，得到OC平方等于O1C加O1O的平方，即R平方等于r加O1O的平方。根據(jù)勾股定理，得到AC等于2R減去O1O的值。3.根據(jù)圖9-3，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（也就是說AC是小圓的直徑），且P的投影是△ABC的外心，那么三棱錐P-ABC的三條側(cè)棱相等，且三棱錐P-ABC的底面△ABC在圓錐的底面上，頂點(diǎn)P也是圓錐的頂點(diǎn)。解題步驟：第一步：確定球心O的位置，取△ABC的外心O1，那么P、O、O1三點(diǎn)共線；第二步：先求出小圓O1的半徑r，再求出棱錐的高PO1=h（也是圓錐的高）；第三步：根據(jù)勾股定理，得到OA等于O1A加O1O，即R等于h減去R加r，解出R。4.根據(jù)圖9-3，平面PAC垂直于平面ABC，且AB垂直于BC（也就是說AC是小圓的直徑），且PA垂直于AC，那么利用勾股定理求出三棱錐的外接球半徑：①2R等于PA加2r，即2R等于2PA加2r；②R等于r加O1O，即R等于2PA的平方加4r的平方再開平方。6.（1）三棱錐P-ABC中，平面PAC垂直于平面ABC，△PAC邊長為2的正三角形，AB垂直于BC，則三棱錐P-ABC外接球的半徑為。（2）三棱錐P-ABC中，平面PAC垂直于平面ABC，AC等于2，PA等于PC等于3，AB垂直于BC，則三棱錐P-ABC外接球的半徑為。（3）三棱錐P-ABC中，平面PAB垂直于平面ABC，△PAB和△ABC均為邊長為2的正三角形，則三棱錐P-ABC外接球的半徑為。（4）已知△EAB所在的平面與矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA等于EB等于3，AD等于2，∠AEB等于60，則多面體E-ABCD的外接球的表面積為。5.圖13中，P-ABC是一個(gè)三棱錐，其中△APB和△ACB均為直角三角形，要求求出P-ABC的外接球半徑。解題步驟：第一步：取斜邊AB的中點(diǎn)O，連接OP和OC，則OA等于OB等于OC等于OP等于AB的一半，因此O為三棱錐P-ABC的外接球球心；第二步：根據(jù)勾股定理，求出OCP的半徑，即R等于OC的平方加CP的平方再開平方。（1）在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC將矩形ABCD折成一個(gè)直二面角B-AC-D，則四面體ABCD的外接球的體積為多少？解析：首先，我們可以畫出矩形ABCD和折疊后的四面體ABCD。由于我們需要求四面體的外接球體積，因此需要知道四面體的半徑。根據(jù)勾股定理，AC=5，因此四面體的高為5。由于四面體的底面是矩形ABCD，因此矩形的對(duì)角線BD就是四面體的直徑。根據(jù)勾股定理，BD=5。因此四面體的半徑為2.5。根據(jù)公式V=4/3πr3，可以求得四面體的外接球體積為125π/1296，即選項(xiàng)B。（2）在矩形ABCD中，AB=2，BC=3，沿BD將矩形ABCD折疊，連接AC，所得三棱錐A-BCD的外接球的表面積為多少？解析：首先，我們可以畫出矩形ABCD和折疊后的三棱錐A-BCD。由于我們需要求三棱錐的外接球表面積，因此需要知道三棱錐的半徑。根據(jù)勾股定理，AC=√13，因此三棱錐的高為√13。由于三棱錐的底面是矩形ABCD，因此矩形的對(duì)角線BD就是三棱錐的直徑。根據(jù)勾股定理，BD=√13。因此三棱錐的半徑為√13/2。根據(jù)公式S=4πr2，可以求得三棱錐的外接球表面積為13π，即選項(xiàng)A。（3）三棱錐P-ABC中，平面PAC⊥平面ABC，AC=2，PA⊥PC，AB⊥BC，則三棱錐P-ABC外接球的半徑為多少？解析：首先，我們可以畫出三棱錐P-ABC。由于我們需要求三棱錐的外接球半徑，因此需要知道三棱錐的高和底面三角形的外接圓半徑。根據(jù)勾股定理，PC=√5，因此三棱錐的高為√5。由于底面三角形ABC是直角三角形，因此其外接圓半徑為AB/2=BC/2=√5/2。根據(jù)勾股定理，AP=√6，因此三棱錐的斜高為√30/3。根據(jù)勾股定理，三棱錐的底面半徑為√5/2。因此三棱錐的外接球半徑為√35/6，即選項(xiàng)D。（4）已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的表面上，△ABC是邊長為1的正三角形，SC為球O的直徑，且SC=2，則此棱錐的體積為多少？解析：首先，我們可以畫出三棱錐S-ABC和球O。由于我們需要求三棱錐的體積，因此需