2.2

點(diǎn)的投影

2.3直線的投影2.4

平面的投影2.5平面上的點(diǎn)和線第二章點(diǎn)、直線、平面的投影2.1

投影的基本知識(shí)

§2.1投影的基本知識(shí)項(xiàng)目：支架三面投影的分析任務(wù)：分析支架的三面投影圖。能力目標(biāo)：能繪制簡(jiǎn)單的投影圖。知識(shí)目標(biāo)：1.了解三面投影圖的形成地面光線光源物體影子光線物體地面影子

§2.1投影的基本知識(shí)一、投影的概念和分類影子————只顯示物體的輪廓.物體在陽光或燈光等光線的照射下，就會(huì)在墻面或地面上投下影子，投影面投射線上底投影投影中心物體下底投影投射線斜投影物體投影面投影法————將投射線通過物體，向選定的平面投射，并在該平面上得到以線條顯示的圖形的方法稱為投影法,得到的圖形稱為投影.2.投影法的種類

中心投影法投影線交匯于一點(diǎn)的投影法稱為中心投影法，投影線的匯交點(diǎn)稱為投影中心。

中心投影法

投影面投射線上底投影投影中心平行投影法

物體下底投影投射線斜投影(2)平行投影法

投影線相互平行的投影法稱為平行投影法。在平行投影法中，又以投射線與投影面的相對(duì)位置不同分為正投影法和斜投影法。物體投影面1）斜投影法——投射線傾斜于投影面的平行投影法，由此法得到的投影圖稱為斜投影圖（正投影）。2）正投影法——投射線垂直于投影面的平行投影法，由此法得到的投影圖稱為正投影圖（正投影）。由于正投影法得到的正投影圖能真實(shí)地表達(dá)空間物體的形狀和大小，不僅度量性好，作圖也比較方便，故在機(jī)械工程中廣泛應(yīng)用。因此，本課程主要研究正投影法。今后除特別說明外，所述投影均指正投影。正投影投射線物體投影面三、三面投影

1.單面投影

三個(gè)不同物體向同一投影面正投影后，所得的投影卻相同，由此說明，一面正投影是不能唯一確定物體的形狀和結(jié)構(gòu)的。為了唯一確定物體的結(jié)構(gòu)形狀，需采用多面正投影。1）設(shè)立三個(gè)互相垂直的平面V、H、W2、三面投影（1）三面投影體系的建立2）投影軸正面V水平面H側(cè)面WOX軸OZ軸OY軸原點(diǎn)OXZOYYVHWXZVHYW側(cè)面投影正面投影水平投影（2）三面投影的形成如圖所示，將物體正放在三投影面體系中，用正投影法向三個(gè)投影面投影，就得到了物體的三面投影。正面投影（3）三面投影的展開如圖所示，正面投影不動(dòng)將水平投影沿OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，將側(cè)面投影沿OY軸向右旋轉(zhuǎn)90°，就得到了展開后的三面投影圖。XZVHWYHYWO主視圖俯視圖左視圖XZVHOWYHYW主視圖俯視圖左視圖XZVHOWYHYWXZVHYW（４）三視圖之間的方位對(duì)應(yīng)關(guān)系后左右前O上下左右后上下前反映了前后左右反映左右、上下反映了前后、上下XZVHYW長(zhǎng)X高Z寬Y（５）三視圖的度量性物體有三個(gè)方向上的尺寸：長(zhǎng)、寬、高兩個(gè)視圖可表達(dá)物體的所有尺寸反映長(zhǎng)高反映高寬反映長(zhǎng)寬長(zhǎng)X高Z寬Y長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等高平齊長(zhǎng)對(duì)正寬相等寬相等（６）三視圖之間的投影關(guān)系主、俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正；主、左視圖——高平齊；俯、左視圖——寬相等1.三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系正面投影——X長(zhǎng)、Z高側(cè)面投影——Z高、Y寬水平投影——X長(zhǎng)、Y寬小結(jié)2.三視圖之間的投影關(guān)系長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等1）設(shè)立三個(gè)互相垂直的平面V、H、W2、三面投影（1）三面投影體系的建立2）投影軸正面V水平面H側(cè)面WOX軸OZ軸OY軸原點(diǎn)OXZOYYVHWXZVHYW側(cè)面投影正面投影水平投影（2）三面投影的形成如圖所示，將物體正放在三投影面體系中，用正投影法向三個(gè)投影面投影，就得到了物體的三面投影。O（3）三面投影的展開如圖所示，正面投影不動(dòng)將水平投影沿OX軸向下旋轉(zhuǎn)90°，將側(cè)面投影沿OY軸向右旋轉(zhuǎn)90°，就得到了展開后的三面投影圖。（４）三視圖之間的方位對(duì)應(yīng)關(guān)系后左右前XZVHO上下左右后上下前YW反映了前后左右反映左右、上下反映了前后、上下XZVHOYW高Z長(zhǎng)X寬Y長(zhǎng)X高Z長(zhǎng)X寬Y高Z寬Y（５）三視圖的度量性物體有三個(gè)方向上的尺寸：長(zhǎng)、寬、高兩個(gè)視圖可表達(dá)物體的所有尺寸反映長(zhǎng)高反映高寬反映長(zhǎng)寬長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等高平齊長(zhǎng)對(duì)正寬相等寬相等（６）三視圖之間的投影關(guān)系主、俯視圖——長(zhǎng)對(duì)正；主、左視圖——高平齊；俯、左視圖——寬相等1.三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系正面投影——X長(zhǎng)、Z高側(cè)面投影——Z高、Y寬水平投影——X長(zhǎng)、Y寬小結(jié)2.三視圖之間的投影關(guān)系長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等§2.2點(diǎn)的投影，項(xiàng)目2-2：六棱桿三面投影的分析，如圖2-9。任務(wù)：分析圖2-9六棱桿的頂點(diǎn)的空間位置。能力目標(biāo)：，能繪制點(diǎn)的投影圖，分析點(diǎn)的空間位置。知識(shí)目標(biāo)：1.掌握點(diǎn)的投影律；

2.了解點(diǎn)的空間位置關(guān)系。【教學(xué)重點(diǎn)】點(diǎn)的三面投影規(guī)律,已知點(diǎn)的兩面投影求第三投影【教學(xué)難點(diǎn)】點(diǎn)的位置關(guān)系【教學(xué)內(nèi)容】Aa§2.2點(diǎn)的投影，過空間點(diǎn)向投影面作垂直投射線，垂直投射線與投影面的交點(diǎn)，就是點(diǎn)在該投影面上的正投影。如圖從點(diǎn)A向投影面P作垂直投射線，垂足a就是A點(diǎn)在投影面P上的正投影，空間點(diǎn)用大寫字母來表示，投影用相應(yīng)的小寫字母來表示。一、點(diǎn)的投影形成ABDC從圖中可以看出：1.點(diǎn)的投影仍然是點(diǎn)。因?yàn)橹本€與平面只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，若投射方向和投影面是確定的，則空間點(diǎn)在投影面上的正投影是唯一確定的。2.反之投射方向和投影面是確定的，則在投影面上的點(diǎn)的正投影對(duì)應(yīng)的空間點(diǎn)不是唯一確定的,可以是過該投影的投射線上的任意點(diǎn),如圖中的A、B、C、D的正投影是同一點(diǎn)。a（b）（c）（d）二、點(diǎn)的投影特性Aa點(diǎn)A的水平投影a'點(diǎn)A的正面投影a點(diǎn)A的側(cè)面投影三、點(diǎn)的三面投影1.點(diǎn)的三面投影的形成XZOVHWYaaayazxaa2.點(diǎn)的三面投影圖的展開為使點(diǎn)A的三面投影a′、a、a″處在同一平面上仍要把三投影面體系展在同一平面內(nèi)，如圖所示。XZOVHWxaazayaaaYHYWayAXZOVHWYaaaayazxaXOVHWxaazayaaaYHYWayaz３.點(diǎn)的三面投影規(guī)律（１）a′a⊥OX軸、（２）a′a″⊥OZ軸（３）aａｘ＝ａ″aｚAXZOVHWYaaaayazxaK去掉各投影面邊框后的三面投影圖，如圖所示。XZOVHWＶxaazayYaaaAXZOVHWYXZOVHWxaazayaYHYWyzxyz

4.點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系（1）x=oax=Aa"=A到W面的距離。（2）Y=oay=Aa'=A到V面的距離。（3）Z=oaz=Aa=A到H面的距離。xyzxaaaayazxaaa例2-1已知A點(diǎn)的坐標(biāo)值A(chǔ)(20，22，24)，求作A點(diǎn)的三面投影圖。XOZYHYW已知點(diǎn)A:X坐標(biāo)=20毫米；

Y坐標(biāo)=22毫米；

Z坐標(biāo)=24毫米。a″a′a20242222axaYHaYWazVazayXZOHWxaYaaa例題2-2：已知點(diǎn)A的兩個(gè)投影a,a,求第三投影a"解法１VazayXZOHWxaYaaa例題2：已知點(diǎn)A的兩個(gè)投影a,a,求第三投影a"解法2解法3VazayXZOHWxaYaaa５.特殊位置的點(diǎn)XC=ccXOVHA=aB=b

ba

bcadD=dd

XOccOab

ba

bcaddd

６.兩點(diǎn)的相對(duì)位置及重影點(diǎn)上下、前后、左右位置關(guān)系。判斷方法：x坐標(biāo)大的在左

y坐標(biāo)大的在前z坐標(biāo)大的在上baa

abb●●●●●●XYHYWZo（1）兩點(diǎn)的相對(duì)位置A點(diǎn)在B點(diǎn)之前、之右、之上。BAa'b'abb"a"()a(bb（2）重影點(diǎn)

空間兩點(diǎn)在某一投影面上的投影重合為一點(diǎn)時(shí)，則稱此兩點(diǎn)為該投影面的重影點(diǎn)?！瘛瘛馻ab被擋住的投影加()A、B為H面的重影點(diǎn)ZXYWOYH●●BAa'b'a(b)b"a"XVZWOHY例2-3已知直線AB端點(diǎn)坐標(biāo)為A（15，15，10）,B（35，30，25）的三面投影。求直線AB的三面投影。aa'a"bb'b"OXYHYWZa'abb"a"b'BA完成任務(wù)：分析圖2-18六棱桿的各頂點(diǎn)的空間位置討論：點(diǎn)A和點(diǎn)D、點(diǎn)C和點(diǎn)D的空間位置關(guān)系1.點(diǎn)的三面投影規(guī)律（１）a′a⊥OX軸、（２）aa′a″⊥OZ軸（３）Aａｘ＝ａ″aｚ2.點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系正面投影——X、Z側(cè)面投影——Z、Y水平投影——X、Y小結(jié)x坐標(biāo)大的在左

y坐標(biāo)大的在前z坐標(biāo)大的在上3.兩點(diǎn)的相對(duì)位置§2.3直線的投影【教學(xué)重點(diǎn)】直線的投影特性，直線相對(duì)于投

影面的位置關(guān)系

【教學(xué)難點(diǎn)】直線的投影特性

【教學(xué)內(nèi)容】項(xiàng)目2-2：六棱桿三面投影的分析，如圖2-9。任務(wù)：分析圖2-9六棱桿的棱線的類型能力目標(biāo)：能判斷直線的類型知識(shí)目標(biāo)：1.掌握線的投影律一、直線的投影：

直線的投影一般為直線，可由直線上兩點(diǎn)的同面投影連線確定。XVZWOHYbb'b"aa'a"OXYHYWZb'baa"b"a'AB1、一般位置直線：與三個(gè)投影面都傾斜的投影面。XVZWOHYaa'a"bb'b"OXYHYWZa'abb"a"b'BA三個(gè)投影都傾斜于投影軸二、各種位置直線的投影特性直線的分類投影面的平行線投影面的垂直線一般位置直線反映線段的實(shí)長(zhǎng)2、投影面平行線(1)平行于投影面的直線的投影特性：直線的投影平行于直線,反映線段的實(shí)長(zhǎng).XVZWOHYaa'a"bb'b"1）、水平線：平行于H面，對(duì)V、W面傾斜正面投影ｃ'd'∥OX，側(cè)面投影ｃ"d"∥OYw均垂直于OZ軸OXYHYWZ水平投影ｃｄ=ＣＤ傾斜于X、Y軸a'abb"a"b'BA(1)投影面的平行線:平行于一個(gè)投影面而傾斜于另外兩個(gè)投影面的直線OXYHYWZXVZWOHYa'abb"a"b'BA2）、正平線：平行于V，對(duì)H、W傾斜aba'b'a"b"正面投影c'd'=CD水平投影cd∥OX側(cè)面投影c"d"∥OZ均垂直于OY軸OXYHYWZOXYHYWZXVZWOHYa'abb"a"b'BA側(cè)面投影c"d"=CD水平投影cd∥OY正面投影c'd'∥OZ均垂直于OX軸c"d"與OYW、OZ的夾角α、β等于CD對(duì)V、H面的傾角。3）、側(cè)平線：平行于W面，對(duì)V、H面傾斜aa'b'a"bd"b"正平線水平線側(cè)平線（4）投影面平行線的投影特性1、直線在所平行的投影面上的投影反映直線的實(shí)際長(zhǎng)度。2、直線在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于或平行于相應(yīng)的投影軸兩平兩軸(平面中軸)一斜影(平面影為一斜)積聚成一點(diǎn)FEe（f）3、投影面垂直線（1）垂直于投影面的直線的投影特性：直線的投影積聚一點(diǎn)。XVZWOHYOXYHYWZa（b）a'b'a"b"水平投影積聚為一點(diǎn)。a'b'=a"b"=ABa'b'⊥OX，a"b"⊥OYW均平行于OZ軸b"a'a"a(b)b'AB(1)投影面的垂直線:垂直于一個(gè)投影面而平行于另外兩個(gè)投影面的直線（1）、鉛垂線：直線⊥H面，∥V、W面。XVZWOHY（2）、正垂線：直線⊥V面，∥H、W面。OXYHYWZaba'(b')a"b"正面投影積聚為一點(diǎn)。cd=c"d"=CDcd⊥OX，c"d"⊥OZ均平行于OY軸aa"a'bb"(b')BAXVZWOHY（3）、側(cè)垂線：直線⊥W面，∥H、V面。OXYHYWZaba'b'a''（b"）側(cè)面投影積聚為一點(diǎn)。ef=e'f'=EFef⊥OYH，e‘f’⊥OZ。均平行于OX軸aa"a'b(b")b'AB鉛垂線正垂線側(cè)垂線（4）投影面垂直線的投影特性1、直線在所垂直的投影面上的投影積聚為一點(diǎn)。2、直線在另外兩個(gè)投影面上的投影垂直于或平行于相應(yīng)的投影軸，且反映實(shí)際長(zhǎng)度。兩垂兩軸(垂面中軸)一點(diǎn)垂面影為一點(diǎn)a完成任務(wù)：分析圖2-21六棱桿的棱線的類型。討論：六棱桿的棱線AB、BC、CD、DE的類型bacs

s(c)babacsbacsbacs

s(c)ba

SCBA完成任務(wù)二：判斷三棱錐的棱的類型bacs

s(c)ba(d)bacsddbacsdbacs(d)

s(c)bad

SCBAD三、直線上的點(diǎn)1、從屬性：點(diǎn)在直線上，點(diǎn)的各面投影必定在該直線的同面投影上；。OXYHYWZaa'a"bb'b"cc'c"小結(jié)1.投影面的平行線2.投影面的垂直線3.一般位置平線（1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)（2）其余兩投影分別平行于相應(yīng)的投影軸。（1）對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線。

（2）它的各面投影均不反映實(shí)長(zhǎng)，

也不具有積聚性。

（3）不直接反映該直線與投影面的傾角。（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為點(diǎn)；

（2）其余兩投影分別平行于相應(yīng)的投影軸兩平兩軸(平面中軸)一斜平面影為一斜兩垂兩軸(垂面中軸)一點(diǎn)垂面影為一點(diǎn)

§2.4平面的投影平面的投影一般為類似圖形。類似性abcBCA項(xiàng)目2-2：六棱桿三面投影的分析，如圖2-9。任務(wù)5：分析圖2-9六棱桿的棱面的類型。能力目標(biāo)：能判斷面的類型。知識(shí)目標(biāo)：1.掌握面的投影律。bacs

s(c)babacsbacsbacs

s(c)ba

SCBA項(xiàng)目：三棱錐任務(wù)三：判斷三棱錐的棱面的類型能力目標(biāo)三：能判斷平面的類型

平面圖形傾斜于投影面，它們?cè)谕队懊嫔系耐队笆且粋€(gè)比實(shí)形小、但形狀相近，邊數(shù)相等的類似圖形。類似性abcBCA1、一般位置平面一、各種位置平面的投影投影面垂直面投影面平行面一般位置平面XVZWOHY（1）它的各面投影均不反映實(shí)形，也不具有

積聚性。

（2）不直接反映該平面與投影面的傾角。XYWYHZOcc'ab"a'bc"a"b'CBAcb'ab"a'bc"c'a"積聚一直線b（c）aBCA2、投影面垂直面（1）垂直于投影面的平面的投影特性：平面的投影積聚一條直線。（２）投影面的垂直面：垂直于某一個(gè)投影面，而傾斜于其余兩個(gè)投影面的平面為投影面垂直面。XVZWOHYXYHZYWOa(d)a"b"a'b'd'c'd"c"b(c)1）鉛垂面——

垂直于水平面而傾斜于正面和側(cè)面的平面a'b'c'd'a"b"c"d"a(d)b(c)ABCDXVZWOHYaa"bb"ZXYWYHOc"d"ca'(d')b'(c')d2）正垂面——

垂直于正面而傾斜于水平面和側(cè)面的平面abcda"b"c"d"a'(d')b'(c')ABCDXVZWOHYa"(d")XYWOYHZaba'b'c'd'cdb"(c")3）側(cè)垂面——

垂直于側(cè)面而傾斜于正面和水平面的平面abcda

'b'c

'd

'a"(d")b"(c")ABCD鉛垂面正垂面?zhèn)却姑嫱队懊娲怪泵娴耐队疤匦裕浩矫嬖谒怪钡耐队懊嫔系耐队胺e聚為直線；

其余兩投影面仍為原形的類似形，但比實(shí)形?。?/p>

線斜則垂（１）平行于投影面的平面的投影特性，投影反映實(shí)行形。反映平面的實(shí)形實(shí)形性3、投影面平行面XYWYHZa（d）b(c)O（1）正平面——

平行于正面的平面a（d）b(c)c'b'a"(b")a'b'c'd'a"(b")d"(c")d'd"(c")a'CBAD平行于某一個(gè)投影面的平面稱為投影面平行面，該平面必然垂直于其余兩個(gè)投影面。XYWYHZOb'b"（2）側(cè)平面——

平行于側(cè)面的平面b"c"a'(b')b(c)a"d"b"a"c"d"b(c)a(d)d'(c')a'(b')a(d)d'(c')CBADXYWYHZOd'（3）水平面——

平行于水平面的平面bcb'(c')d"(c")dd"(c")a"(b")b'(c')a'(d')a'(d')aa"(b")cabdCBAD正平面水平面?zhèn)绕矫妫?）投影特性

平面在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；

其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應(yīng)的投影軸。線平則平完成任務(wù)：分析圖2-9六棱桿的棱面的類型討論：圖2-26六棱桿的棱面ABCF、AMKGEF、CDEF的類型。判斷棱面的類型bacs

s(c)babacsbacsbacs

s(c)ba

SCBAbacs

s(c)ba(d)bacsddbacsdbacs(d)

s(c)bad

SCBAD小結(jié)1.投影面的平行面2.投影面的垂直面3.一般位置平面（1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（2）其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應(yīng)的投影軸。（1）對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面。

（2）它的各面投影均不反映實(shí)形，

也不具有積聚性。

（3）不直接反映該平面與投影面的傾角。（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。（2）其余兩投影面為比原形小的類似形，二、平面上的點(diǎn)和直線1、平面上的點(diǎn)和直線定理一：若直線過平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。定理二：若一直線過平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面內(nèi)點(diǎn)在平面上的一條直線上，則點(diǎn)就在平面內(nèi)

OXaa'bb'cc'd'de'e二、點(diǎn)與平面上的位置關(guān)系OXaa'bb'cc'd'de'e例2-6如圖2-23（a）所示，已知△ABC平面內(nèi)點(diǎn)E的V面投影e′，求作E的H面投影。解OXaa'bb'cc'd'de'e例2-7已知五邊形ABCDE的V面投影及AB、BC的H面投影，完成H面投影。解OXaa'bb'cc'd'dm'mnn'e'e例2-8、在△ABC內(nèi)取一點(diǎn)M，使點(diǎn)M距V面9mm，距H面14mm。OXaa'bb'cc'解：149122'1'33'44'mm'小結(jié)：

1.線上取點(diǎn)：將點(diǎn)的投影按點(diǎn)的三面投影規(guī)律引到直線的投影上。

2.面上取線：在面的已知線上取兩點(diǎn)

3.面上取點(diǎn)：先面上取線，在線上取點(diǎn)1.三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系正面投影——X長(zhǎng)、Z高側(cè)面投影——Z高、Y寬水平投影——X長(zhǎng)、Y寬單元小結(jié)2.三視圖之間的投影關(guān)系長(zhǎng)對(duì)正高平齊寬相等1.點(diǎn)的三面投影規(guī)律（１）a′a⊥OX軸、（２）aa′a″⊥OZ軸（３）Aａｘ＝ａ″aｚ2.點(diǎn)的三面投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系正面投影——X、Z側(cè)面投影——Z、Y水平投影——X、Y點(diǎn)x坐標(biāo)大的在左

y坐標(biāo)大的在前z坐標(biāo)大的在上3.兩點(diǎn)的相對(duì)位置線1.投影面的平行線2.投影面的垂直線3.一般位置平線（1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)長(zhǎng)；與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。（2）其余兩投影分別平行于相應(yīng)的投影軸。（1）對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的直線。

（2）它的各面投影均不反映實(shí)長(zhǎng)，

也不具有積聚性。

（3）不直接反映該直線與投影面的傾角。（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為點(diǎn)；

（2）其余兩投影分別平行于相應(yīng)的投影軸面1.投影面的平行面2.投影面的垂直面3.一般位置平面（1）在所平行的投影面上的投影反映實(shí)形；（2）其余兩投影積聚為直線，并分別平行于相應(yīng)的投影軸。（1）對(duì)三個(gè)投影面都傾斜的平面。

（2）它的各面投影均不反映實(shí)形，

也不具有積聚性。

（3）不直接反映該平面與投影面的傾角。（1）在所垂直的投影面上的投影積聚為直線；與投影軸的夾角，分別反映平面與相應(yīng)投影面的傾角。（2）其余兩投影面為比原形小的類似形，點(diǎn)線面的關(guān)系：

1.線上取點(diǎn)：將點(diǎn)的投影按點(diǎn)的三面投影規(guī)律引到直線的投影上。

2.面上取線：在面的已知線上取兩點(diǎn)

3.面上取點(diǎn)：先面上取線，在線上取點(diǎn)bacs

s(c)babacsbacsbacs

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SCBAXYHZYWObacs

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