課題6.2.3向量的數(shù)乘運算課型新授課一、內容及其解析1.內容向量的數(shù)乘運算．2.內容解析本節(jié)是高中數(shù)學人教A版必修2第六章第2節(jié)第三課時的內容——向量的數(shù)乘運算，是在學習了向量的加減法基礎上的進一步學習，可以理解為幾個特殊（相等）向量的加法，這種特殊的加法可以用一種更簡潔的形式來描述，其實也可以類比到實數(shù)的加法到乘法的學習過程。因此，實數(shù)與向量的乘積仍然是一個向量（因為本質上還是加法），要按大小和方向這兩個要素去理解。向量的數(shù)乘運算與向量的加減法運算一樣也有運算律，可以對向量數(shù)乘運算進行化簡。向量的加、減、數(shù)乘運算及它們的混合運算稱為向量的線性運算，也叫向量的初等運算，是進一步學習向量知識（平面向量的基本定理及坐標表示以及后續(xù)的空間向量內容）和運用向量知識解決問題的基礎。實數(shù)與向量的積的結果是向量，要按大小和方向這兩個要素去理解，特別是與已知向量是共線向量，進而引出共線向量定理。向量共線定理實際上就是由實數(shù)與向量的積的定義得到的，定理為解決三點共線和兩直線平行問題又提供了一種方法。特別注意的是向量的平行要與平面中直線的平行區(qū)別開來。理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運算律，能夠培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng).掌握向量共線定理，會判斷或證明兩個向量共線，進而培養(yǎng)學生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。二、目標及其解析1.目標（1）通過經歷向量數(shù)乘運算的探究過程，借助實數(shù)的乘法以及物理中的實例，掌握平面向量的數(shù)乘運算及運算律，理解其幾何意義，培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。（2）通過對向量數(shù)乘運算的進一步理解，感受實數(shù)與向量的積與原向量共線，并通過具體情況分析總結得出向量共線定理，利用向量共線定理判斷或證明兩個向量共線，進而培養(yǎng)學生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。2.目標解析達成上述目標的標志是：（1）學生能通過具體的一類共線向量的加法，類比數(shù)的乘法引出向量數(shù)乘的運算法則，借助有向線段表示向量數(shù)乘的幾何意義；能像了解實數(shù)的運算律一樣，通過具體實例了解向量線性運算的運算律，理解向量線性運算的一些運算性質，體會其幾何意義.（2）學生能夠理解：數(shù)乘向量的結果是與原向量共線的向量；反之，與一個非零向量共線的向量可以寫成是一個實數(shù)與這個非零向量的積，并且這個實數(shù)是唯一的，并能利用向量共線定理解決問題。三、教學問題診斷分析學生已經學習了向量的加減法運算，這些內容是學生學習向量數(shù)乘運算的基礎。向量的數(shù)乘運算與實數(shù)的乘法有些類似，是對加法的簡介表述，學生不難想像出向量長度之間的倍數(shù)關系，但是向量的方向之間的關系怎么描述對學生來說可能會有難度。第一，物理中許多有關矢量的合成、分解、力做的功等實例可以作為向量有關運算的模型，但這個從物理背景引出向量運算的過程對學生來說仍然存在困難．特別是向量既有大小，也有方向，在向量的數(shù)乘運算中，對于方向如何參與運算，學生沒有直接的經驗。因此需要與物理中的矢量對比，從大小和方向兩個角度分析.第二，向量的運算性質的探究過程是類比實數(shù)的運算性質。類比數(shù)的運算，學生能夠想到向量的線性運算可能會有一些類似的運算性質，雖然名稱相同，但運算的原理、方法、運算規(guī)律都有較大的區(qū)別，學生很容易帶著實數(shù)運算的思維定勢來理解平面向量運算，導致學生對向量的運算偏于形式化記憶，對于平面向量的線性運算概念、算理的理解不深刻。因此需要借助圖象加強理解，數(shù)形結合。四、教學重點與難點教學重點：理解并掌握兩向量共線的性質和判斷方法。教學難點：運用向量共線的性質和判斷方法處理有關向量共線問題。五、教學策略分析在教學設計中，采取問題引導方式來組織課堂教學．問題的設置給學生留有充分的思考空間，讓學生圍繞問題主線，通過自主探究達到突出教學重點，突破教學難點。在教學過程中，重視注重與實際的聯(lián)系，利用學生的生活經驗、其他學科的相關知識，創(chuàng)設豐富的情境.通過這些實例使學生了解向量內容的物理背景，理解向量內容.通過與數(shù)及其運算的類比，體會研究向量的基本思路。六、學習活動設計（一）向量的數(shù)乘引言：我們知道數(shù)和整式是可以做乘法運算的，乘法是將幾個相同的數(shù)加起來的簡潔方式，平面向量既有大小，又有方向，那么幾個相同平面向量相加可以用乘法表示嗎？問題1：已知非零向量a，作出a+a+a和(-a)+(-a)+(-a)，它們的長度與方向分別是怎樣的？（與非零向量的關系）師生活動：教師組織學生舉例子并畫圖嘗試計算，從形與數(shù)兩個角度表達自己的計算結果，在研究向量的關系時要研究大小和方向兩個維度。教師還可以組織學生舉一些類似的例子，并探究結論。如可以借助幾何畫板等信息技術手段作出12a等向量，與向量a進行比較，發(fā)現(xiàn)它們之間的關系。讓學生初步體會對于不同值，向量λa與a之間的關系，體會這種向量運算所蘊含的數(shù)與形的含義．最后教師引導學生類比數(shù)的乘法，給出向量數(shù)乘運算的概念．預設：a+a+a的方向與a的方向相同，長度是a的長度的3倍；(-a)+(-a)+(-a)的方向與a的方向相反，長度是a的長度的3倍．追問1：在整式運算中，我們可以將x+x+x用乘法簡寫為3x。對于非零向量a，a+a+a我們可以怎樣簡寫呢？預設：類比整式運算，我們可以用3a來表示a+a+a．追問2：同樣的，(-a)+(-a)+(-a)可以簡寫成什么呢？預設：可以簡寫成-3a．追問3：已知非零向量a，作出12a和-12預設：12a的方向與a的方向相同，長度是a的長度的1-12a的方向與a的方向相反，長度是a的長度的1追問4：已知非零向量a，λa的長度與方向分別是怎樣的？預設：λa的長度是a的長度的|λ|倍；當λ＞0時，λa的方向與a相同；當λ＜0時，λa的方向與a相同反．學生可能會想不到λ=0的情況，λ＞0和λ＜0的情況分析完就應該還有λ=0，如果λ=0，那么λa的長度是a的長度的0倍，即|λa|=0，但λa仍然是向量，因此當λ=0時，λa=0．師生總結：定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：①|λa|＝|λ||a|，②當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反．當λ取特殊值時，就會有特殊性的結論:當λ=1時，λa=a，相等向量；當λ=0時，λa=0，零向量，零乘任何向量的結果為零向量；當λ=-1時，(-1)a=-a，-1乘任何向量得到這個向量的相反向量．設計意圖：設計意圖：類比數(shù)的加法運算，用向量加法運算法則，計算3個向量a（或-a）的和，用簡約的方式表示計算的結果，進而提出向量數(shù)乘運算的概念，發(fā)展學生的運算素養(yǎng)，從向量數(shù)乘的角度看待特殊向量關系（相等向量、零向量和相反向量）．思考：如果把非零向量a的長度伸長到原來的3.5倍，方向不變，得到向量b該如何表示？向量a與向量b之間有什么關系？預設：符號表示：b=3.5a幾何表示：關系：a與b方向相同，|b|=3.5|a|．向量數(shù)乘的幾何意義：把向量b沿著向量a的方向或反方向長度放大或縮?。ǘ┫蛄康臄?shù)乘運算律問題2：在整式運算中，我們有3(2a)=(3×2)a，(2+3)a=2a+3a，2(a+b)=2a+2b，若把數(shù)a，b換成向量a、b，上式是否仍成立?（可以從哪些維度來驗證是否成立）試結合圖象說明你的結論．師生活動：學生類比數(shù)的運算律提出向量數(shù)乘運算的運算律，再借助向量數(shù)乘運算的定義，自主驗證向量數(shù)乘運算的三個運算律．對于有困難的學生可以組間交流，教師指導。另外，在教師引導下，將向量的加法、減法和數(shù)乘向量統(tǒng)稱為向量的線性運算，即定義線性運算．要給學生說明，有了向量的線性運算，平面中的點、線段（直線）就可以得到向量表示，這就為向量法解決幾何問題奠定了基礎．關于向量的線性運算的運算性質，也要讓學生加以了解．預設：結合圖像，可以發(fā)現(xiàn)，將實數(shù)a，b換成向量a、b后，上式仍成立．即：3(2a)=(3×2)a，(2+3)a=2a+3a，2(a+b)=2a+2b追問1：換一組實數(shù)，驗證上述三種形式的等式是否仍然成立？預設：結合圖像，可以發(fā)現(xiàn)，對于另一組實數(shù)的三個等式仍成立．追問2：你能試著總結平面向量數(shù)乘運算的運算律嗎？預設：學生總結：運算律：設λ，μ為實數(shù)，則(1)λ(μa)＝λμa；(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa；(3)λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．教師補充：①特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝λ(－a)，λ(a－b)＝λa－λb．②我們把向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱向量的線性運算，對于任意向量a，b，以及任意實數(shù)λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a＋λμ2b．解釋：向量的線性運算是向量數(shù)乘運算律（1）（3）的復合由運算律（3）得：λ(c＋d)＝λc＋λd；其中c=μ1a；d=μ2b，可得：λ(μ1a＋μ2b)＝λ(μ1a)＋λ(μ2b)再由運算律（1）得：λ(μ1a＋μ2b)＝λ(μ1a)＋λ(μ2b)=λμ1a＋λμ2b設計意圖：設計意圖：學生通過類比數(shù)的運算律自行猜想出向量數(shù)乘運算的運算律，并借助向量數(shù)乘運算的定義及其幾何意義加以驗證．幫助學生積累從運算的定義出發(fā)，發(fā)現(xiàn)數(shù)學運算的一些性質的學習經驗.（三）共線向量定理問題3：引入向量數(shù)乘運算后，你能發(fā)現(xiàn)實數(shù)與向量的積與原向量之間的位置關系嗎？師生活動：學生獨立思考的基礎上，小組交流．從正反兩個方面討論共線向量的數(shù)乘運算表達．引導學生概括共線向量定理，并關注學生對定理中有關充要條件以及對λ的唯一性的理解．這里可以借助信息技術手段加以演示，讓學生直觀感知共線向量定理．預設：實數(shù)與向量的積與原向量共線．追問1：對于向量a，b，如果有一個實數(shù)λ，使b＝λa(a≠0)，那么a與b共線嗎？預設：由向量數(shù)乘的定義，λa的方向與a的方向相同或者相反，符合共線向量的定義，因此λa與a共線，即a與b共線．追問2：如果向量b與非零向量a共線，其中的一個向量一定是另一個向量的數(shù)乘向量？即b＝λa成立嗎？此時的λ是否唯一？預設：如果向量b與非零向量a共線，那么向量b的長度與非零向量a的長度之間存在μ倍的關系，且μ唯一，即|b|＝|μ||a|，那么當a與b同方向時，有b=μa；那么當a與b反方向時，有b=-μa。因此，存在唯一λ，使b＝λa成立．追問3：為什么要強調a≠0？預設：當a＝0，不論λ取何值，|λa|都為0，此時如果|b|＝0，λ有無數(shù)個值；如果|b|≠0，λ無解．此時就無法說明λ的存在且唯一的特點．因此將a=0單獨拿出來說．其實我們在研究向量的時候經常都是把零向量單獨來說的．師生總結：向量共線定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b＝λa．讓學生通過探討共線向量與向量數(shù)乘運算的關系得出共線向量定理．設計意圖：讓學生通過探討共線向量與向量數(shù)乘運算的關系得出共線向量定理，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).設計意圖：讓學生通過探討共線向量與向量數(shù)乘運算的關系得出共線向量定理，培養(yǎng)數(shù)學抽象的核心素養(yǎng).（四）典例示范例1計算：(1)(2)(3)總結：向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，實數(shù)運算中去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在向量線性運算中也可以使用，但是在這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)看作是向量的系數(shù)．例2如圖，平行四邊形的兩條對角線相交于點M且，，用向量表示總結：用已知向量表示其他向量的方法：（1）直接法：（2）方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程．例3如圖，已知任意兩個非零向量，試作，，你能判斷A、B、C三點之間的位置關系，并證明你的猜想。總結：1.若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行．2.若b＝λa(a≠0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩條直線重合．例如，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λeq\o(AC,\s\up6(→))，則eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))共線，又eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法．例4已知是兩個不共線的向量，向量共線，求實數(shù)t的值。解：由a、b不共線，易知向量為非零向量．由向量共線，可知存在實數(shù)λ，使得，即．由a、b不共線，必有．否則，不妨設，則．由兩個向量共線的充要條件知，a、b共線，與已知矛盾．由，解得因此，當向量共線時，設計意圖：讓學生熟練向量數(shù)乘運算的相關計算，運用共線向量定理解決數(shù)學問題，體會知識間的聯(lián)系設計意圖：讓學生熟練向量數(shù)乘運算的相關計算，運用共線向量定理解決數(shù)學問題，體會知識間的聯(lián)系．（五）課堂總結師生活動：教師引導學生回顧本節(jié)課的學習內容。設計意圖：師生共同回顧總結：引領學生感悟數(shù)學認知的過程，體會數(shù)學核心素養(yǎng)．設計意圖：師生共同回顧總結：引領學生感悟數(shù)學認知的過程，體會數(shù)學核心素養(yǎng)．（六）布置作業(yè)教材15頁——練習教材16頁——練習教材23頁——習題6.2復習鞏固5，8，9．七、目標檢測設計1．下列各式中不表示向量的是()A．0·aB．a＋3bC．|3a|D．eq\f(1,x－y)e(x，y∈R，且x≠y)2．下列計算正確的個數(shù)是()①(－3)·2a＝－6a；②2(a＋b)－(2b－a)＝3a；③(a＋2b)－(2b＋a)＝0.A．0B．1C．2D