§5

簡(jiǎn)單的冪函數(shù)問題引航1.冪函數(shù)的概念是什么?2.常見的冪函數(shù)有哪些?它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系下的圖像如何畫?3.函數(shù)奇偶性的定義是什么?4.函數(shù)奇偶性的應(yīng)用有哪些方面?1.冪函數(shù)的定義如果一個(gè)函數(shù),_____是自變量x,_____是常量α,即_____,這樣的函數(shù)稱為冪函數(shù).底數(shù)指數(shù)y=xα2.奇、偶函數(shù)的定義對(duì)于函數(shù)y=f(x),x∈A-f(x)原點(diǎn)y軸f(x)奇偶性3.五種常見冪函數(shù)的圖像1.判一判：(正確的打“√”,錯(cuò)誤的打“×”)(1)函數(shù)y=x2+1是冪函數(shù).(

)(2)冪函數(shù)的圖像必過點(diǎn)(0,0)和(1,1).(

)(3)在函數(shù)y=f(x)中,若f(-3)=f(3),則y=f(x)是偶函數(shù).(

)2.做一做：(請(qǐng)把正確的答案寫在橫線上)(1)已知點(diǎn)在冪函數(shù)f(x)的圖像上,則f(x)的解析式為________.(2)在中，奇函數(shù)是________，偶函數(shù)是________.(3)對(duì)于函數(shù)y=f(x)，若有f(-x)+f(x)=0,則y=f(x)是_______函數(shù)(填“奇”或“偶”).【解析】1.(1)錯(cuò)誤.y=x2是冪函數(shù),y=x2+1不符合冪函數(shù)y=xα的特征.(2)錯(cuò)誤.如y=x-1不過(0,0).(3)錯(cuò)誤.若為偶函數(shù),要求對(duì)定義域內(nèi)任意x均有f(-x)=f(x).答案：(1)×

(2)×

(3)×2.(1)設(shè)冪函數(shù)的解析式為f(x)=xα,則3=,所以α=-2,所以f(x)=x-2.答案：f(x)=x-2(2)由它們的圖像知,奇函數(shù)有y=x,y=x-1,y=x3;偶函數(shù)有y=x2.答案：y=x,y=x-1,y=x3

y=x2(3)因?yàn)閒(-x)+f(x)=0,所以f(-x)=-f(x),所以y=f(x)是奇函數(shù).答案：奇【要點(diǎn)探究】知識(shí)點(diǎn)1冪函數(shù)的有關(guān)概念1.冪函數(shù)解析式的三個(gè)特征(1)指數(shù)為常數(shù)α.(2)底數(shù)是自變量,自變量的系數(shù)為1.(3)只有一項(xiàng),且xα的系數(shù)為1.2.冪函數(shù)圖像的特點(diǎn)(1)冪函數(shù)的圖像隨著常數(shù)α的取值不同所在象限的圖像也不盡相同.(2)冪函數(shù)的圖像一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限,一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限,是否出現(xiàn)在第二、三象限,要看函數(shù)的奇偶性.(3)冪函數(shù)的圖像最多只能出現(xiàn)在兩個(gè)象限內(nèi).(4)如果冪函數(shù)的圖像與坐標(biāo)軸相交,則交點(diǎn)一定是原點(diǎn).【知識(shí)拓展】?jī)绾瘮?shù)的性質(zhì)所有的冪函數(shù)在(0,+∞)上都有定義,且圖像都過(1,1)點(diǎn).當(dāng)α為奇數(shù)時(shí),冪函數(shù)為奇函數(shù);當(dāng)α為偶數(shù)時(shí),冪函數(shù)為偶函數(shù).一般,當(dāng)α>0時(shí),冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：(1)圖像都過(1,1)點(diǎn).(2)在第一象限內(nèi)函數(shù)值隨x的增大而增大.(3)在第一象限內(nèi),當(dāng)α>1時(shí),圖像是向下凸的;當(dāng)0<α<1時(shí),圖像是向上凸的.(4)在第一象限內(nèi),過點(diǎn)(1,1)后圖像向右上方無限伸展.當(dāng)α<0時(shí),冪函數(shù)y=xα有下列性質(zhì)：(1)圖像都過(1,1)點(diǎn).(2)在第一象限內(nèi),函數(shù)值隨x的增大而減小.(3)在第一象限內(nèi),圖像向上與y軸無限接近,向右與x軸無限接近.【微思考】(1)為什么冪函數(shù)的圖像不會(huì)出現(xiàn)在第四象限?提示：因?yàn)樵趛=xα中,x≥0恒有意義,且y>0,在第一象限內(nèi)有定義,根據(jù)函數(shù)的定義可知,在第四象限內(nèi)必沒有圖像.(2)函數(shù)y=x0是冪函數(shù)嗎?提示：是冪函數(shù).符合冪函數(shù)的特征.【即時(shí)練】1.函數(shù)y=(a2-3)xa是冪函數(shù)，則a=________.2.冪函數(shù)的定義域?yàn)開_______，在定義域內(nèi)是________(填“增加的”或“減少的”).【解析】(1)因?yàn)閥=(a2-3)xa是冪函數(shù),所以a2-3=1,所以a=±2.答案：±2(2)因?yàn)橛蓌3≥0得x≥0,所以定義域?yàn)椋?，+∞),又所以在定義域內(nèi)是增加的.答案：［0，+∞)增加的知識(shí)點(diǎn)2函數(shù)的奇偶性1.函數(shù)具有奇偶性需具備的首要條件從函數(shù)奇偶性的定義來看,奇、偶函數(shù)的定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,否則此函數(shù)是非奇非偶函數(shù).所以若一個(gè)函數(shù)具有奇偶性,則其定義域一定關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.2.奇偶函數(shù)的性質(zhì)(1)若圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱?y=f(x)是奇函數(shù).(2)若圖像關(guān)于y軸對(duì)稱?y=f(x)是偶函數(shù).3.函數(shù)奇偶性的分類(1)奇函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=-f(x).(2)偶函數(shù)：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,且f(-x)=f(x).(3)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)：如果對(duì)于函數(shù)定義域內(nèi)任一個(gè)x,f(-x)=f(x)與f(-x)=-f(x)同時(shí)成立,那么函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù).既是奇函數(shù)且是偶函數(shù)的表達(dá)式是唯一的：f(x)=0,x∈A,定義域A是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的非空數(shù)集.(4)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)：定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱或定義域雖關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,但f(-x)≠-f(x)且f(-x)≠f(x).【微思考】在y=f(x),x∈R中,滿足f(-x)=-f(x),則f(0)的值是多少,為什么?提示：f(0)=0.因?yàn)閒(-0)=-f(0),即f(0)+f(0)=0,所以f(0)=0.【即時(shí)練】1.函數(shù)y=f(x)是偶函數(shù)，圖像上有一點(diǎn)為(a,f(a)),則圖像必過點(diǎn)()A.(a,f(-a))B.(-a,f(a))C.(-a,-f(a))D.2.(2014·黃岡高一檢測(cè))函數(shù)f(x)=x+a2-1是定義在區(qū)間(-a2,2a+3)上的奇函數(shù)，則a2

015=________.【解析】1.選B.因?yàn)榕己瘮?shù)的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，(a,f(a))關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)是(-a,f(a)),故選B.2.因?yàn)閒(x)=x+a2-1是奇函數(shù)，且x∈(-a2,2a+3),所以即a=-1,所以a2

015=(-1)2

015=-1.答案：-1【題型示范】類型一冪函數(shù)的定義、性質(zhì)及應(yīng)用【典例1】(1)(2014·西安高一檢測(cè))下面的函數(shù)中是冪函數(shù)的是()A.①⑤B.①②③

C.②④

D.②③⑤(2)(2014·宜春高一檢測(cè))已知冪函數(shù)f(x)=(m2-m-1)x3-2m在區(qū)間(0,+∞)上是減少的.①求函數(shù)f(x)的解析式.②若函數(shù)的定義域和值域均為［1,b］，求b的值.【解題探究】1.題(1)中判斷所給函數(shù)是否是冪函數(shù)的依據(jù)是什么?2.題(2)中已知的冪函數(shù)在(0,+∞)上是減少的,則應(yīng)滿足什么條件?【探究提示】1.依據(jù)冪函數(shù)的一般形式y(tǒng)=xα.2.滿足的條件是m2-m-1=1,3-2m<0.【自主解答】(1)選C.冪函數(shù)的一般形式為y=xα,底數(shù)為x,指數(shù)為常數(shù)α,只有一項(xiàng)xα,且xα的系數(shù)為1，符合條件的有②④.(2)①因?yàn)閮绾瘮?shù)f(x)在(0,+∞)上是減少的，所以所以所以m=2,所以f(x)=x-1.②又因?yàn)閎>1,所以g(x)在［1,b］上是減少的,所以即所以b=2.故b的值為2.【延伸探究】在(2)中“若f(x)在區(qū)間(0,+∞)上是增加的”,則①求f(x)的解析式.②試畫出y=f(x)的圖像.【解析】①由本例(2)知,m=-1,所以f(x)=x5.②列表：x…-2-1012…y…-32-10132…描點(diǎn),連線：【方法技巧】1.冪函數(shù)解析式的求法一般使用待定系數(shù)法,即根據(jù)冪函數(shù)的定義,只要求出指數(shù)α的值即可.2.冪函數(shù)y=xα在第一象限內(nèi)圖像的畫法(1)當(dāng)α<0時(shí),其圖像可以類似y=x-1畫出.(2)當(dāng)0<α<1時(shí),其圖像可以類似畫出.(3)當(dāng)α>1時(shí),其圖像可以類似y=x2畫出.【變式訓(xùn)練】1.下列函數(shù)是冪函數(shù)的為()2.函數(shù)的圖像是()【解析】1.選D.y=xx的指數(shù)不是常數(shù);中的系數(shù)不是1;中不是只有這一項(xiàng).2.選B.函數(shù)y=是冪函數(shù),冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖像恒過定點(diǎn)(1,1),排除A,D.當(dāng)x>1時(shí),x>,故冪函數(shù)y=的圖像在直線y=x的下方,排除C.【補(bǔ)償訓(xùn)練】如果冪函數(shù)y=(m2-3m+3)xm-2的圖像不過原點(diǎn),求m的值.【解析】由冪函數(shù)的定義,得m2-3m+3=1,解得m=1或m=2.又圖像不過原點(diǎn),所以m-2≤0,解得m≤2.經(jīng)檢驗(yàn)m=1或m=2皆適合,故m=1或m=2.類型二函數(shù)奇偶性的判定【典例2】(1)下列表示具有奇偶性的函數(shù)圖像可能是(

)(2)判斷下列函數(shù)的奇偶性：【解題探究】1.題(1)中函數(shù)的圖像具有什么特征才具有奇偶性?2.題(2)中判斷函數(shù)的奇偶性首先判斷什么,再驗(yàn)證什么?【探究提示】1.函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)或y軸對(duì)稱才具有奇偶性.2.判斷函數(shù)的奇偶性首先判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,再驗(yàn)證f(-x)與f(x)的關(guān)系.【自主解答】(1)選B.只有B項(xiàng)的圖像具有關(guān)于y軸對(duì)稱的特點(diǎn).(2)①f(x)的定義域?yàn)閧2},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以函數(shù)f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).②f(x)的定義域?yàn)閧-1,1},且f(x)=0,f(-1)=0,f(1)=0,所以f(-1)=-f(1),且f(-1)=f(1),所以函數(shù)f(x)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù).③f(x)的定義域?yàn)椋?1,0)∪(0,1］,則所以f(x)是奇函數(shù).④方法一：作出函數(shù)的圖像，如圖所示.又函數(shù)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以f(x)是奇函數(shù).方法二：f(x)的定義域?yàn)?-∞,0)∪(0,+∞)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,當(dāng)x＞0時(shí)，-x＜0，f(-x)=-(-x)2-1=當(dāng)x＜0時(shí)，-x＞0,f(-x)=(-x)2+1=x2+1=綜上所述，對(duì)于任意x∈(-∞,0)∪(0,+∞)都有f(-x)=-f(x)，所以f(x)為奇函數(shù).【方法技巧】1.判斷函數(shù)奇偶性的常用方法(1)定義法：若函數(shù)的定義域不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域，則立即可判斷該函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)；若函數(shù)的定義域是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)域，再判斷f(-x)是否等于±f(x),或判斷f(x)±f(-x)是否等于零、是否等于±1等.(2)圖像法：函數(shù)是奇(偶)函數(shù)的充要條件是它的圖像關(guān)于原點(diǎn)(或y軸)對(duì)稱.(3)性質(zhì)法：兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的和仍為偶函數(shù)；兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；兩個(gè)偶函數(shù)的積是偶函數(shù)；一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù).提醒：上面所說的函數(shù)都定義在同一個(gè)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的區(qū)間上.2.用定義判斷函數(shù)奇偶性的步驟【變式訓(xùn)練】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=2-|x|.(3)f(x)=(x-2)2.(4)f(x)=【解析】(1)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域是{x|x≠0},關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又所以f(x)為奇函數(shù).(2)因?yàn)楹瘮?shù)f(x)的定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又f(-x)=2-|-x|=2-|x|=f(x),所以f(x)為偶函數(shù).(3)f(x)的定義域是R,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,f(-x)=(-x-2)2=(x+2)2,所以f(-x)≠f(x),f(-x)≠-f(x),因此函數(shù)f(x)是非奇非偶函數(shù).(4)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閧x|x≠1},顯然不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)是非奇非偶函數(shù).【補(bǔ)償訓(xùn)練】判斷下列函數(shù)的奇偶性：(1)f(x)=(2)f(x)=x3-2x.(3)f(x)=(4)f(x)=|x+1|-|x-1|.【解析】(1)函數(shù)的定義域?yàn)閧x|x≠-1},不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以f(x)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).(2)函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(-x)=(-x)3-2(-x)=2x-x3=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).(3)函數(shù)的定義域?yàn)镽,所以f(x)是偶函數(shù).(4)函數(shù)的定義域?yàn)镽,f(-x)=|-x+1|-|-x-1|=|x-1|-|x+1|=-f(x),所以f(x)是奇函數(shù).類型三奇偶性的應(yīng)用【典例3】(1)(2014·西安高一檢測(cè))設(shè)f(x)是R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時(shí)，f(x)=x2+2012x,則當(dāng)x<0時(shí)，f(x)=______.(2)(2014·北京高一檢測(cè))已知函數(shù)是定義域?yàn)椋?1,1］的奇函數(shù)，且f(1)=①求f(x)的解析式.②證明f(x)在［-1,1］上是增加的.③若實(shí)數(shù)t滿足f(2t-1)+f(t-1)<0,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.【解題探究】1.表示出f(-x)的表達(dá)式后,如何求f(x)?2.對(duì)于定義域?yàn)閇-1,1]的奇函數(shù)f(x),f(0)的值是多少?【探究提示】1.利用奇函數(shù)的定義f(-x)=-f(x)求解.2.f(0)的值為0.【自主解答】(1)設(shè)x<0,則-x>0,所以f(-x)=(-x)2+2012(-x)=x2-2012x.又f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-2012x,所以f(x)=-x2+2012x.答案：-x2+2012x(2)①因?yàn)閒(-x)=-f(x),所以f(0)=0,所以b=0.又所以a=1,所以②設(shè)x1,x2∈［0,1］且x1<x2,則f(x2)-f(x1)==因?yàn)閤1<x2,所以x2-x1>0.又x1,x2∈［0,1］,所以1-x1x2>0,所以f(x2)>f(x1),所以y=f(x)在［0,1］上是增加的.又f(-x)=-f(x),所以y=f(x)在［-1,0］上也是增加的，所以y=f(x)在［-1,1］上是增加的.③因?yàn)閒(2t-1)+f(t-1)<0,所以f(2t-1)<-f(t-1)=f(1-t),所以即所以【方法技巧】1.利用函數(shù)奇偶性求函數(shù)解析式的方法(1)“求誰設(shè)誰”，即在哪個(gè)區(qū)間求解析式，x就設(shè)在哪個(gè)區(qū)間內(nèi)．(2)要利用已知區(qū)間的解析式進(jìn)行代入．(3)利用函數(shù)f(x)的奇偶性寫出f(－x)與f(x)的關(guān)系，從而解出f(x).2.函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的