2023年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文科）注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.設(shè)全集，集合，，則（）A.B.C.D.【分析】利用集合的交并補(bǔ)運(yùn)算即可得解.【解析】因?yàn)槿?，集合，所以，又，所?故選A.2.（）A.B.C.D.【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算求解即可.【解析】.故選C.3.已知向量，，則（）A.B.C.D.【分析】利用平面向量模與數(shù)量積的坐標(biāo)表示分別求得，從而利用平面向量余弦的運(yùn)算公式即可得解.【解析】因?yàn)?，所以，則，，所以.故選B.4.某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來自不同年級的概率為（）A.B.C.D.【分析】利用古典概型的概率公式，結(jié)合組合的知識即可得解.【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來自不同年級的基本事件有，所以這2名學(xué)生來自不同年級的概率為.故選D.5.記為等差數(shù)列的前項(xiàng)和．若，，則（）A.B.C.D.【分析】解法一：根據(jù)題意直接求出等差數(shù)列的公差和首項(xiàng)，再根據(jù)前項(xiàng)和公式即可解出；解法二：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)求出等差數(shù)列的公差，再根據(jù)前項(xiàng)和公式的性質(zhì)即可解出．【解析】解法一：設(shè)等差數(shù)列的公差為，首項(xiàng)為，依題意可得，，即，又，解得：，所以．故選C.解法二：，，所以，，從而，于是，所以．故選C.6.3.執(zhí)行下面的程序框圖，輸出的（）A.B.C.D.【分析】根據(jù)程序框圖模擬運(yùn)行，即可解出．

【解析】當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第一次執(zhí)行循環(huán)體，，，；

當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第二次執(zhí)行循環(huán)體，，，；

當(dāng)時(shí)，判斷框條件滿足，第三次執(zhí)行循環(huán)體，，，；當(dāng)時(shí)，判斷框條件不滿足，跳出循環(huán)體，輸出．

故選B.7.設(shè)為橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)在上，若，則（）A.B.C.D.【分析】解法一：根據(jù)焦點(diǎn)三角形面積公式求出的面積，即可解出；解法二：根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理即可解出．【解析】解法一：因?yàn)?，所以，從而，所以．故選B.解法二：因?yàn)?，所以，由橢圓方程可知，，所以，又，平方得：，所以．故選B.8.曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C.D.【分析】先由切點(diǎn)設(shè)切線方程，再求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，把切點(diǎn)的橫坐標(biāo)代入導(dǎo)數(shù)得到切線的斜率，代入所設(shè)方程即可求解.【解析】設(shè)曲線在點(diǎn)處的切線方程為，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.故選C.9.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【解析】由，則，解得.所以雙曲線的一條漸近線為，則圓心到漸近線的距離，所以弦長.故選D.10.在三棱錐中，是邊長為2等邊三角形，，，則該棱錐的體積為（）A.B.C.D.【分析】證明平面，分割三棱錐為共底面兩個(gè)小三棱錐，其高之和為AB得解.【解析】取中點(diǎn)，連接，如圖所示，

是邊長為2的等邊三角形，，所以，又平面，，所以平面，又，，故，即，所以，故選A.11.已知函數(shù).記，，，則（）A.B.C.D.【分析】利用作差法比較自變量的大小，再根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及二次函數(shù)的性質(zhì)判斷即可.【解析】令，則開口向下，對稱軸為，因?yàn)椋?，所以由二次函?shù)性質(zhì)知，因?yàn)椋?，即，所以，綜上，，又為增函數(shù)，故，即.故選A.12.已知為函數(shù)向左平移個(gè)單位所得函數(shù)，則與交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）A.B.C.3D.4【解析】因?yàn)楹瘮?shù)向左平移個(gè)單位可得而過與兩點(diǎn)，分別作出與的圖像如圖所示，考慮，即處與的大小關(guān)系，結(jié)合圖像可知有3個(gè)交點(diǎn).故選C.【評注】本題考查了三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)，畫出圖像，不難得到答案.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.記為等比數(shù)列的前項(xiàng)和．若，則的公比為.【分析】分或兩種情況考慮.當(dāng)，再由等比數(shù)列的前項(xiàng)和公式和平方差公式化簡即可求出公比.【解析】若，則由得，則，不合題意.所以.當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以，即，即，即，解?故答案為.14.若為偶函數(shù)，則.【分析】利用偶函數(shù)的性質(zhì)得到，從而求得，再檢驗(yàn)即可得解.

【解析】因?yàn)闉榕己瘮?shù)，定義域?yàn)椋?，即?/p>

則，故a=2，

此時(shí)，

所以，

又定義域?yàn)?，故為偶函?shù)，所以.

故答案為2.15.設(shè)滿足約束條件，則的最大值為.【分析】由約束條件作出可行域，根據(jù)線性規(guī)劃求最值即可.

【解析】作出可行域，如圖所示，由圖可知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)過點(diǎn)時(shí)，有最大值，

由可得，即，所以.

故答案為.16.在正方體中，，為的中點(diǎn)，若該正方體的棱與球的球面有公共點(diǎn)，則球的半徑的取值范圍是.【分析】當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)半徑最大，當(dāng)邊長為的正方形是球的大圓的內(nèi)接正方形時(shí)半徑達(dá)到最小.【解析】設(shè)球的半徑為.當(dāng)球是正方體的外接球時(shí)，恰好經(jīng)過正方體的每個(gè)頂點(diǎn)，所求的球的半徑最大，若半徑變得更大，球會(huì)包含正方體，導(dǎo)致球面和棱沒有交點(diǎn)，正方體的外接球直徑為體對角線長，即，故；

分別取側(cè)棱的中點(diǎn)，顯然四邊形是邊長為的正方形，且為正方形的對角線交點(diǎn)，連接，則，當(dāng)球的一個(gè)大圓恰好是四邊形的外接圓，球的半徑達(dá)到最小，即的最小值為.綜上，.故答案為.三、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）求.

（2）若，求面積.【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可解出；（2）由（1）可知，只需求出即可得到三角形面積，對等式恒等變換，即可解出．【解析】（1）因?yàn)?，所以，解得．?）由正弦定理可得，變形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面積為．18.在三棱柱中，底面，.（1）求證：平面；（2）設(shè)，，求四棱錐的高.【分析】(1)由平面得，又因?yàn)椋勺C平面，從而證得平面平面；(2)過點(diǎn)作，可證四棱錐的高為，由三角形全等可證，從而證得為中點(diǎn)，設(shè)，由勾股定理可求出，再由勾股定理即可求.【解析】（1）證明：因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又因?yàn)?，即，平面，，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）如圖所示，

過點(diǎn)作，垂足為.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，所以四棱錐的高為.因?yàn)槠矫妫矫?，所以，，又因?yàn)?，為公共邊，所以與全等，所以.則，所以為中點(diǎn)，又，所以，即四棱錐的高為．19.一項(xiàng)試驗(yàn)旨在研究臭氧效應(yīng)，試驗(yàn)方案如下：選只小白鼠，隨機(jī)地將其中只分配到試驗(yàn)組，另外只分配到對照組，試驗(yàn)組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境，對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境，一段時(shí)間后統(tǒng)計(jì)每只小白鼠體重的增加量(單位：)．試驗(yàn)結(jié)果如下：

對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?5.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗(yàn)組的小白鼠體重的增加量從小到大排序?yàn)?.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5 （1）計(jì)算試驗(yàn)組的樣本平均數(shù)；

（2）（=1\*romani）求只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)，再分別統(tǒng)計(jì)兩樣本中小于與不小于的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)，完成如下列聯(lián)表對照組試驗(yàn)組（=2\*romanii）根據(jù)(i)中的列聯(lián)表，能否有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異？附：0.1000.0500.0102.7063.8416.635【分析】（1）直接根據(jù)均值定義求解；（2）（i）根據(jù)中位數(shù)的定義即可求得，從而求得列聯(lián)表；（ii）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)的卡方計(jì)算進(jìn)行檢驗(yàn)，即可得解.【解析】（1）試驗(yàn)組樣本平均數(shù)為：.（2）（i）依題意，可知這40只小鼠體重的中位數(shù)是將兩組數(shù)據(jù)合在一起，從小到大排后第20位與第21位數(shù)據(jù)的平均數(shù)，由原數(shù)據(jù)可得第11位數(shù)據(jù)為，后續(xù)依次為，故第位為，第位數(shù)據(jù)為，

所以，

故列聯(lián)表為：合計(jì)對照組61420試驗(yàn)組14620合計(jì)202040(ii)由(i)可得，，

所以能有的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.20.已知函數(shù).（1）若，討論的單調(diào)性；（2）若，求的取值范圍.【分析】（1）代入后，再對求導(dǎo)，同時(shí)利用三角函數(shù)的平方關(guān)系化簡，再利用換元法判斷得其分子與分母的正負(fù)情況，從而得解；（2）解法一：構(gòu)造函數(shù)，從而得到，注意到，從而得到，進(jìn)而得到，再分類討論與兩種情況即可得解；解法二：先化簡并判斷得恒成立，再分類討論，與三種情況，利用零點(diǎn)存在定理與隱零點(diǎn)的知識判斷得時(shí)不滿足題意，從而得解.【解析】（1）因?yàn)?，所以，則，令，由于，所以，所以，因?yàn)?，，，所以在上恒成立，所以在上單調(diào)遞減.（2）解法一：構(gòu)造，則，若，且，則，解得.（必要條件）當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，又，所以，，則，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；綜上所述：若，等價(jià)于，所以的取值范圍為.解法二：因?yàn)椋驗(yàn)?，所以，，故在上恒成立，所以?dāng)時(shí)，，滿足題意；當(dāng)時(shí)，由于，顯然，所以，滿足題意；當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋?，則，注意到，若，，則在上單調(diào)遞增，注意到，所以，即，不滿足題意；若，，則，所以在上最靠近處必存在零點(diǎn)，使得，此時(shí)在上有，所以在上單調(diào)遞增；則在上有，即，不滿足題意；綜上：.【評注】本題解法二第2小問討論這種情況的關(guān)鍵是，注意到，從而分類討論在上的正負(fù)情況，得到總存在靠近處的一個(gè)區(qū)間，使得，從而推得存在，由此得解.21.設(shè)拋物線，直線與交于兩點(diǎn)，且.（1）求；（2）設(shè)的焦點(diǎn)為，為拋物線上的兩點(diǎn)，，求面積的最小值.【解析】設(shè)，，聯(lián)立直線與拋物線的方程，消得，即，，，解得，（舍）.所以.（2）解法一：由（1）知，拋物線的方程為，，設(shè)，，，，又得，即.又，又，得，因此，即或，得或（這一步至關(guān)重要）,或.設(shè).又或，則（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)取最小值）.解法二（極坐標(biāo)）：如圖所示，設(shè)與軸正半軸的夾角為，則有，從而有.其中，顯然當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.

22.【選修4-4】

已知點(diǎn)，直線（為參數(shù)），為的傾斜角，與軸，軸正半軸交于兩點(diǎn)，且.

（1）求的值；

（2）以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求的極坐標(biāo)方程.【分析】(1)根據(jù)的幾何意義即可解出；

(2)求出直線的普通方程，再根據(jù)直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)互化公式即可解出．

【解析】(1)因?yàn)榕c軸，軸正半軸交于兩點(diǎn)，所以，

令