第六章信號與系統(tǒng)的時域和頻域特性6.0

引言一個LTI系統(tǒng)既可通過時域特性來描述,也可利用系統(tǒng)頻率響應(yīng)的頻率特性來表示。由于時域中的微分方程和卷積運算在頻域都變成了代數(shù)運算，所以利用頻域來分析LTI系統(tǒng)就特別方便。然而，在系統(tǒng)設(shè)計中，對頻域和時域的要求一般都需要進行綜合考慮。因為在大量的應(yīng)用中，對于一個系統(tǒng)既從頻域，又從時域兩方面提出了或限定了一定的特性要求。而這些要求又往往是互相矛盾的。所以在系統(tǒng)設(shè)計和分析中將時域特性與頻域特性聯(lián)系起來并給以權(quán)衡考慮是很必要的。6.1

傅里葉變換的模和相位表示一般說來,傅里葉變換是復(fù)數(shù)值的。所以可用它的實部和虛部，或用它的模和相位來表示。連續(xù)時間傅里葉變換X

(j)的?！啾硎救缦拢篨

(

j)

X

(

j)

e

jX

(

j

)離散時間傅里葉變換X

(j)的模—相表示如下：jX

(e

j

)

X

(e

j

)

e

jX

(e

)模所描述的是一個信號的基本頻率含量，也即給出的是組成x(t)的各復(fù)指數(shù)信號相對振幅的信息。相位角X

(

j)

不影響各個頻率分量的大小，但是提供了有關(guān)這些復(fù)指數(shù)信號的相對相位信息。由

X

(

j)

所代表的相位關(guān)系對信號

x

(

t

)的本質(zhì)屬性有顯著的影響，因此，即使模函數(shù)不變，也能得出看上去很不同的信號。例如信號為1

2

32

3x(t)

1

1

cos(2

t

)

cos(4

t

)

2

cos(6

t

)選擇不同的1,2

,3

，就可給出不同的信號波形。參見圖6.16.2

LTI系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模和相位表示1、根據(jù)連續(xù)時間傅里葉變換的卷積性質(zhì),一個LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的傅里葉變換可表示為Y

(

j)

H

(

j)

X

(

j)2、在離散時間情況下,一個LTI系統(tǒng)的輸入和輸出的傅里葉變換可表示為Y

(e

j

)

H

(e

j

)

X

(e

j

)可見，一個LTI系統(tǒng)對輸入的作用就是改變信號中每一頻率分量的復(fù)振幅。利用?！啾硎緛砜催@個作用就能更詳細地明了這個作用的性質(zhì)。在連續(xù)時間情況下可表示為Y

(

j)

H

(

j)

X

(

j)Y

(

j)

H

(

j)

X

(

j)離散時間情況下可表示為Y

(e

j

)

H

(e

j

)

X

(e

j

)Y

(e

j

)

H

(e

j

)

X

(e

j

)H

(

e

j

)

1,

H

(

e

j

)

n06.2.1

線性與非線性相位1、線性相位——相移角與頻率

成線性關(guān)系。例如，在連續(xù)時間情況下若一個LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H

(

j

)

e

j

t

0H

(

j

)

1 ,

H

(

j

)

t

0具有這種頻率響應(yīng)特性的系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出就是輸入的時移，即y(t)

x(t

t0

)在離散時間情況下，當線性相位的斜率是一個整數(shù)時，其產(chǎn)生的效果與連續(xù)時間情況下是類似的。例如若一個LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H

(

e

j

)

e

j

n

0則具有這種頻率響應(yīng)特性的系統(tǒng)所產(chǎn)生的輸出就是輸入的時移，即y[n]

x[n

n0

]圖6.3表示了一個信號加到三個不同的系統(tǒng)上的情況.上述例子中考慮的系統(tǒng)具有單位增益,當輸入信號傅里葉變換的模通過這些系統(tǒng)時都沒有改變。為次,這樣的系統(tǒng)一般稱為全通系統(tǒng)。2、非線性相位——相移角與頻率

成非線性關(guān)系輸入信號波形具有線性響應(yīng)的系統(tǒng)響應(yīng)具有非線性相位特性的系統(tǒng)輸出（系統(tǒng)的增益為1）具有非線性相移系統(tǒng)的輸出（再附加一個線性相移項）6.2.2

群時延6.23

對數(shù)模和波特圖用極坐標形式來展現(xiàn)連續(xù)時間和離散時間傅里葉變換和系統(tǒng)頻率響應(yīng)時,對傅里葉變換的模往往采用對數(shù)尺度。主要原因是：一個LTI系統(tǒng)輸出的模和相位與輸入和頻率響應(yīng)的模和相位聯(lián)系在一起。即Y

(

j

)

H

(

j

)

X

(

j

)

Y

(

j

)

H

(

j

)

X

(

j

)可以看到：相位關(guān)系是相加的，而模的關(guān)系則涉及

H

(

j)

和

X

(

j)

的相乘。如果模是在一個對數(shù)尺度上展示的話，就會使相乘運算變?yōu)橄嗉舆\算。從而使運算得到簡化。一般采用的對數(shù)尺度是以20log

為單位的，稱為分貝(dB)。我們將20

log1010H

(

j)

和

H

(

j)

對

log10

(作)

的圖稱為波特圖。的偶函數(shù)，而應(yīng)該注意：如果

h(

t

)是實函數(shù)，那么

H

(

j)是H

(j)

是

的奇函數(shù)。由于這個原因，負

部分的圖就是多余的，它可以立即由正

部分的圖來得到。在離散時間情況下傅里葉變換和頻率響應(yīng)的模常常也是用dB來表示的。但在對數(shù)頻率坐標一般是不用的，因為這時要考慮的頻率范圍總是有限的。并且對微分方程所具有的優(yōu)點（也即線性漸近線）對差分方程不適用。注意：對實值的h[

n],僅需要畫出0

范圍的H(j).因為傅里葉變換的對稱性質(zhì)以為著利用H

(e

j

)

H

(e

j

)和H

(e

j

)

H

(e

j

)的關(guān)系,就能計算出

0

范圍內(nèi)的H(ej

)。再者，由于H(ej

)的周期性，勿需考慮

是的值。6.3

理想頻率選擇性濾波器的時域特性1、連續(xù)時間理想低通濾波器具有如下形式的頻率響應(yīng):c1 ,

H

(

j)

0 ,

c如圖6.10(a)所示ccH(

j)圖6.10

(a)(6.17)由傅里葉反變換可求得其沖激響應(yīng)為:cjtH

(

j)e

d

1

2

tch(t)

1

e

jt

d

sin

ct2h(t)如圖6.12(a)所示成正比,波形的主瓣持續(xù)時間由圖可見,沖激響應(yīng)的峰值c

/與截止頻率c2

/

c與c

成反比。對于理想低通濾波器，其沖激響應(yīng)的波形不同于激勵信號

(t)

的波形，而產(chǎn)生了嚴重失真。這是因為理想低通濾波器是通頻帶有限系統(tǒng)。c,

cH

(e

j

)

10,

(6.18)如圖6.10(b)所示,它對

是周期的2

c

c

2H(ej)cj

jn22

ncd

1

e

jnd

sin

cn2h[n]

1

H

(e

)e而沖激信號

(t)的頻帶寬度是無限的，當它通過低通濾波器時，高于

c

的頻率分量都衰減到零。2、離散時間理想低通濾波器的頻率響應(yīng)為（由圖可見,理想低通濾波器具有極好的頻率選擇性，并具有零相位特性。所以它們不會引入相位失真。）其沖激響應(yīng)為其波形如圖6.12(b)所示。這里

c

/

4注意：無論是在連續(xù)時間或是在離散時間情況下，濾波器的通帶寬度都是正比于。當濾波器的帶寬增加時，單位沖激響應(yīng)就變的愈來愈窄。c的，而單位沖激響應(yīng)的主瓣反比于c3、在通帶內(nèi)具有線性相位的理想濾波器，如圖6.11所示,相對于零相位的理想低通濾波器來說,僅引入一個單一的時移。即ccH(

j)kccH

(

j)

圖6.11c,

ke

jH

(

j)

0 ,

c其沖激響應(yīng)為ccjt

1

2

1

2

1

2ke

j

e

jt

dcch(t

)

H

(

j

)e d

ke

j

(t

)

d

k

[e

jc

(t

)

e

jc

(t

)

]2

j(t

)j

(t

)

j

(t

)

kc

[e

c

e

c

]

kc

c

(t

)2

j

sin

c

(t

)c

(t

)當取k

1

時，可畫出下圖由圖可見，沖激響應(yīng)出現(xiàn)的時刻

比激勵信號

(t)

延遲了一段時間

，它正是低通濾波器相頻特性的斜率，如果截止頻率c

增大，則h(t)峰值增加，主瓣寬度壓縮。當c

時，系統(tǒng)將失去低通濾波器特性而變成一個無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)。由于沖激響應(yīng)在t<0

時已存在，因此為非因果系統(tǒng)，在物理上是無法實現(xiàn)的。4、連續(xù)時間和離散時間理想低通濾波器的階躍響應(yīng)階躍響應(yīng)就是單位沖激響應(yīng)的積分或求和，即tnh

[

m

]h

(

)d

s

(

t

)

s

[

n

]

m

下面以連續(xù)時間情況下理想低通濾波器的階躍響應(yīng)為例。t

tkc

sin

c

(

)

ds(t)

h(

)d

c

(

)為了方便，令

c

(

)

x

,則

d

dx

/

c

,上式可寫成0000ccydxxsin

xxsin

xdxxk

sin

xk

sin

x

k

x

(t

)

(t

)sin

x

sin

x

s(t)

dx

dx

Si(y)

dx

0

dx

x

x

2其中第一項積分第二項積分——稱為正弦積分。所以，理想低通濾波器的階躍響應(yīng)可寫成c2

s(t)

k

k

Si[

(t

)]當

k

1,

0

時，s(t)的波形如圖6.14(a)所示。圖(b)為離散時間理想低通濾波器的階躍響應(yīng)因為理想濾波器的單位沖激響應(yīng)所以階躍響應(yīng)就在這個時間間隔內(nèi)其值受到最顯著的變化。階躍響應(yīng)的上升時間反比于濾波器的帶寬。其主瓣是從

/c

/

，c6.4

非理想濾波器的時域和頻域特性討論理想濾波器的特性在實際中不一定總是所要求的：1、要分離的信號不總是位于完全分開的頻帶上，此時寧肯希望有一個從通帶到阻帶具有漸漸過渡特性的濾波器。2、由階躍響應(yīng)圖可知，在跳變點附近呈現(xiàn)過沖和振蕩，這是不希望的。3、由單位沖激響應(yīng)圖可知，理想低通濾波器是非因果系統(tǒng)這在實際中是無法實現(xiàn)的?；谏鲜鲈颍抢硐霝V波器具有很大的實際意義。它們的特性常用幾個參數(shù)來給予標定:由于理想頻率選擇性濾波器的模特性是不能實現(xiàn)的，因此更可取的是濾波器

的通帶和阻帶特性上允許有某些靈活性。例如，在低通濾波器情況下，通帶內(nèi)在單位增益上可以有某些偏離（稱通帶起伏或波紋）；阻帶內(nèi)在零增益上也可以有某些偏離（稱阻帶起伏或波紋）；以及在通帶邊緣和阻帶邊緣之間允許有一個過渡帶存在。為了控制時域特性，一般都將指標要求放在一個濾波器的階躍響應(yīng)上（如圖6.17所示）。、tr、3）、r4）、ts——上升時間。指階躍響應(yīng)上升到它的終值所需要的時間?！俊Ｖ赋^階躍響應(yīng)終值的量?！袷庮l率?！r間。指階躍響應(yīng)位于其終值

內(nèi)所需要的時間。6.5

一階與二階連續(xù)時間系統(tǒng)在實際中許多物理系統(tǒng)都可以用線性常微分方程來建模,并且這類型式的系統(tǒng)往往又很容易實現(xiàn)。高階系統(tǒng)又常常由一階和二階系統(tǒng)以級聯(lián)或并聯(lián)的型式來給予實現(xiàn)或表示的。因此，一階和二階系統(tǒng)的性質(zhì)在分析、設(shè)計和理解高階系統(tǒng)的時域和頻域特性方面起著重要的作用。6.5.1

一階連續(xù)時間系統(tǒng)一階系統(tǒng)的微分方程可表示為dt

dy

(t

)

y

(t

)

x

(t

)其中

——稱為系統(tǒng)的時間常數(shù)（控制著系統(tǒng)響應(yīng)的快慢）。（6.21)H

(

j)

1j

1一階系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為其單位沖激響應(yīng)為1a

j1

et

/

u(t)F

1/

1

1

j1

jeatu(t)F

即得h(t)

1

et

/

u(t)(6.22)系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為jjs(t)

h(t)

u(t)

F

S

(

j)

H

(

j)U

(

j)1j

1u(t)

F

1

()

s(t)

F

()]

1

[

1j

1

j1

()(

j

1)

jj

1

()

()1(

j

1)

jA1

A2(

j

1)

j

()

[

1

()]

1(

j

1)

j1(

j

1/

)

h(t)

F

H

(

j)

s(t)

u(t)

et

/

u(t)

[1

et

/

]u(t)見圖6.19 (a)為單位沖激響應(yīng);

(b)為階躍響應(yīng).當

t

時,沖激響應(yīng)衰減到t

=0

時的

1/

e

倍.當

t

時,階躍響應(yīng)則離終值1還有

1/

e由(6.22)式可得2101020

log

H

(

j)

10

log

[(

)

1]1、當

1

時 ，對數(shù)模近似為零；即20

log10

H

(

j)

0 ,

1/2、當

1

時，對數(shù)模就近似為log10

()的線性函數(shù)。即20

log10H

(

j)

20

log10

(

)

20

log10

()

20

log10

(

) ,

1/換句話說，一階系統(tǒng)的對數(shù)特性在低頻和高頻域的漸近線都是直線。低頻漸近線是一條0

dB線；而高頻漸近線是一條每隔10倍頻程有20dB衰減的直線（直線的斜率。3、當1/

時，20

log10H

(

j)

10

log10

(2)

3B圖6.20為一個連續(xù)時間一階系統(tǒng)的波特圖.由圖可見,直線近似的波特圖僅在折轉(zhuǎn)頻率附近有明顯的誤差.對H

(j)也能求得一個有用的直線近似式為100

(

/

4)[log

(

)

1]

/

2,

0.1/,

0.1/

10

/,

10

/H

(

j)

tan1

(

)可見,這條近似特性線,在0.1

10

范圍內(nèi)是線性下降的(從0

/2)。H

(

j)1）當

1

/

時，

H

(

j

)

的準確漸近值是零；的準確漸近值是

/2

。2）當

1

/

3）當

1/時，時，

H

(

j)

/

4從這個一階系統(tǒng),可以再一次看到時間和頻率之間的相反關(guān)系。即當

減小時，,

h(t)

et

/

u(t)H

(

j)

1j

1

h(t)

1

et

/

u(t)就加速了系統(tǒng)的時間響應(yīng)[h

(t)更加向原點壓縮]；與次同時，折轉(zhuǎn)頻率升高[即H

(j)

1

的頻率范圍更寬。這一點也可從

h(t)和H(j)之間的關(guān)系中看出的函數(shù)。因此，從這一點可以看可見，

h(t)

是

1/的函數(shù)；H(

j)

是

出，改變

，實質(zhì)上是改變時間和頻率軸上的尺度。6.5.2

二階連續(xù)時間系統(tǒng)二階系統(tǒng)的線性常系數(shù)微分方程的一般形式為2

2d

2

y(t)

dy(t)dt

2

dt

2n

n

y(t)

n

x(t)（6.31)例如,RLC串聯(lián)電路,可列出描述它的微分方程為e(t)2211cnnn

cnd

2

u

(t

)R

du

(t

)

1e(t

)dt

2L

dtLCLCCLC2

Ld

2

u

(t

)du

(t

)u

(t

)dt

2

dt

c

c

u

(t

)

,

R

c

2

c

2

e(t

)令得即,RLC串聯(lián)電路,就是一個二階系統(tǒng)。由(6.31)式可得2221

2nn2

n

nn2

2

2H

(

j)

(

j)

2n

(

j)

n(

j

c

)(

j

c

)c1

n

1c

1其中二、1、若

1,

則

c1

c2

,經(jīng)部分分式展開后得[ec1t

n

2H

(

j

)

M

M

j

c1

j

c2M

2

1h

(t

)

M

[ec1t

ec2

t

]u

(t

)

n

ec2

t

]u

(t

)2

2

1b22ab

4acx

其中單位沖激響應(yīng)為(6.37)(6.34)(6.35)(6.36)（6.33),這時有2、如果

1,則c1

c2

n22nnH

(

j)

(

j

)由表4.2(P234頁)可知,這時的單位沖激響應(yīng)為nnte

u(t)2

th(t)

1eatu(t)F(a

j)2(6.39)由(6.37)、(6.39)式可見,h(t)/n是

nt的函數(shù)。另外,(6.33)式還可寫成21nnH

(

j)

(

j

/

)

2

(

j

/

)

1,實質(zhì)上是就是一個時間和可見,頻率響應(yīng)

H(

j)是

/

n頻率的尺度變換。的函數(shù),因此改變n參數(shù)

——稱阻尼系數(shù)；n

——稱無阻尼自然頻率。(6.38)3、由(6.34)式可知,

當

0

1時，c1

和

c2

都是復(fù)數(shù)。因此可將(6.37)式寫成nn

nnn

e[sin(

tne

n

th(t)

1

2

)t

]

exp[

j(exp[

j(

1

2

)t

]u(t

)2

j

1

21

2

)t]u(t

)1

2,二階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)是一個衰減的振蕩。這時系衰減的指數(shù)之差。即由上式可見,對于0

1統(tǒng)稱為欠阻尼。4、若

1

，則

c1

和

c2

都是實數(shù)，并且是負的，單位沖激響應(yīng)就是兩個1

2c

t c

t]u

(t

)n

2h(t

)

M

[ec1t

ec2t

]u

(t

)[e

e2

1，這時系統(tǒng)稱為臨界阻尼。圖6.22(a)為不同阻尼系數(shù)下,二階系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)。這時系統(tǒng)稱為過阻尼；5、當

1時，c1

c2

n三、二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)ec1t

ec2

t

s(t

)

h(t

)

u

(t

)

1

M

[

c

c

]

u

(t

)

1

2

若

1,

二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可由（6.37)式算出,其表達式為,二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng)可由（6.37)式得出若

1s(t)

h(t)

u(t)

[1

ent

tent

]u(t)n圖6.22本(b)為在不同阻尼系數(shù)

值下,二階系統(tǒng)的階躍響應(yīng).由圖可見：在欠阻尼時，階躍響應(yīng)既有超量，又呈現(xiàn)出振蕩。當

1時，階躍響應(yīng)沒有超量，響應(yīng)最快。當阻尼大于1

時，響應(yīng)愈來愈慢。單位沖激響應(yīng)階躍響應(yīng)222222

222

222101)nn1nnnnnnnn

/

/

)

](

j)

2

(

j)

(

/

)

j2

/

111

(

/

)

j2

H

(

j)

[1

(

(2

/

)20log

H

(

j)

10log

1()

]

4

(10

[n

由（6.33)式可得H

(j)得從上式可導(dǎo)出高、低頻率兩條線性漸近線為10020log10

10

nnH(

j)

40log

40log

,

n,

(6.43)四、二階系統(tǒng)的波特圖——以系統(tǒng)頻率響應(yīng)模的對數(shù)和相位大小關(guān)于對數(shù)尺度頻率所作出的頻率特性曲線稱波特圖。20lg

H(j)

lgH(

j)

lg幅度波特圖相位波特圖因此，對數(shù)模特性的低頻漸近線是0dB,而高頻漸近線則為40dB

/10

倍頻的斜線。這兩條線在

n

處相交。為此稱n

為二階系統(tǒng)的折轉(zhuǎn)頻率。H

(j)

的準確表達式也可由(6.33)式得到,即2n1

(

/

)H

(

j)

tan1[

2

(

/

n

)

]100,[log

(nnn

2

0.1nH

(j)的近似式是)

1]

,

0.1

10

,

10nH

(

j

)

注意到：(6.44)和(6.46)式所示漸近線與無關(guān),而實際上和附近有一個如圖6.23(b)所示.在折轉(zhuǎn)頻率

n

上,近似值和真真值相等,且為2H

(j

)

H

(

j)H

(

j)藹

肯定是與

有關(guān)的。因此，漸近線在

n

附近無法體現(xiàn)出精確的特性圖。這個差別在

值小時最為明顯。因為真正對數(shù)模特性在

n峰值。事實上，利用(6.43)式,即2

2221020log)nH

(

j)

10log)

]

4

(10

[1

(22

0.707時,H

(

j)maxn在

n

1

2

2通過計算可以證明,當

處有一個最大峰值,即max1H

(

j

)

2

1

2而且,系統(tǒng)的阻尼系數(shù)愈小,峰值就愈尖銳。對于RLC電路來說，峰值的出現(xiàn)表明發(fā)生了諧振，此時系統(tǒng)呈現(xiàn)帶通特性可用于作選頻放大器。這種電路用品質(zhì)因數(shù)Q來衡量峰值的尖銳程度。對于由（6.31)式描述的二階電路,Q通常取作12Q

然而,對于

0.707

,

H

(

j)

從

0

開始,隨

的增加而單調(diào)衰減.圖6.23畫出了由(6.33)式給出的頻率響應(yīng)對于幾個不同的

值下的波特圖。40dB

/10倍頻22n

n

j

j

H1

(

j)

1

jH

(

j)

1

2

()

(

)和的波特圖就能很快得到。因為(6.22)式為6.5.3

有理型頻率響應(yīng)的波特圖用一階和二階系統(tǒng)作為基本單元可構(gòu)成更為復(fù)雜的、具有有理型頻率響應(yīng)的

LTI系統(tǒng)。上面所給出的波特圖提供了為構(gòu)成任何一個有理型頻率響應(yīng)的波特圖所需要的全部信息。例如，1、對于具有以下頻率響應(yīng)形式（6.49)(6.50)1H1

(

j)

j

1

H

(

j)所以(6.49)式可寫成10

11020

log1H

(

j)H

(

j)

20

log11H

(

j)H

(

j)

則有1H

(

j)

j

1同樣,因為（6.33)式為21nnH

(

j)

(

j

/

)

2

(

j

/

)

1所以(6.50)式可寫成10

21020

log1H

(

j)H

(

j)

20

log即21H

(

j)H

(

j)

21H

(

j)H

(

j)

2、對于系統(tǒng)函數(shù)為恒定增益的系統(tǒng)，即H

(

j

)

K因為，當K>0

時，K

K

ej0

;當K時0，K

K

ej所以101020

log

H

(

j)

20

log

K,

K

0K

0H

(

j)

03、因為一個有理型頻率響應(yīng)可以被因式分解成一個恒定增益和一階、二階項的乘積，所以它的波特圖就能由乘積中每一項的波特圖相加得到。的波特圖。例6.4

求頻率響應(yīng)為

H

(

j

)

(

j

)

22

104

100

j

104解：因為2()

2100

100jjH

(

j

)

(

j

)22

104

100

j

104

1所以H

(

j)

2H(

j)這里 H(

j)

就是由(6.33)式所給出的標準二階頻率響應(yīng)的形式,于是有20

log10

H

(

j)

20

log10

2

20

log

H(

j)將H(j)與(6.33)式的頻率響應(yīng)作一比較,可得n

100,

1/2

。1、利用（6.44）式，就可對

20

log10

H(

j)

標定漸近線：1010020

log40

log

80H(

j)

,

100,

1002、而20

log10

2

6dB

為一個恒定值。H

(

j)所以20

log10為上兩項的合成。如圖6.24(a)所示虛線為

20

log10

2

6dB實線為20

log10H

(

j)因為0,

10,

10

1000,

1000H(

j)

H(

j)

(

/

2)[log10(

/100)

1]虛線為漸近線實線為真實線例6.5

求如下頻率響應(yīng)的波特圖。

H

(

j)

100(1

j)

(10

j)(100

j)1

1)(解：將上式寫成如下因式的形式H

(j

)

100(1

j)

(10

j

)(100

j

)

1

()(1

j

)10 1

j

/10 1

j

/100因為，上式第一個因式是一個常數(shù)，第二、第三這兩個因式有與一階頻率響應(yīng)相同的標準形式；第四個因式為一階標準形式的倒數(shù)。的波特圖，就是相應(yīng)于每個因式的波特圖之見圖6.25(a)所示。因此，20

log10和。即H

(

j

)101010120

log10H

(

j

)

20

log (

1

)

20

log10

1

j

/

10

20

log

20

log

(1

j

)110

1

j

/

100120

log1010

20dB20

log10

(1

j)10120

log

()1

j

/1010120

log

()1

j

/1001002[log

,

0.1H

(

j)

6.6

一階與二階離散時間系統(tǒng)對一個LTI系統(tǒng)而言,其輸出y[n]和輸入x[n]間的線性常系數(shù)差分方程一般具有以下形式:FkMFkkNkkMka

eY

(e

)b

eX

(e

)a

eb

eX

(e

)b

ea

ejjjjY

(e

j

)jk

0

k

0

jkk

0M

jkk

0M

jk

jkk

0

jkk

0x[n]F

X

(e

j

) ,

y[n]F

Y

(e

j

)N

Na

y[n

k]b

x[n

k]Y

(e

)

H

(e

)

X

(e

j

)N

Mak

y[n

k]

bkx[n

k]

kk

0k

0k

0

kN

jkk

0若則可得因此有和連續(xù)時間情況一樣,具有頻率響應(yīng)為e

j

的兩個多項式之比的任何系統(tǒng)

(即由線性常系數(shù)差分方程描述的任何離散時間LTI系統(tǒng))都能夠?qū)懗梢浑A和二階系統(tǒng)的乘積或和。6.6.1

一階離散時間系統(tǒng)描述一階因果LTI系統(tǒng)的差分方程為y[n]

ay[n

1]

x[n]a

1其中1H

(e

j

)

1

ae

j(6.51)上式兩邊應(yīng)用傅里葉變換得Y

(e

j

)[1

ae

j

]

X

(e

j

)1、 則該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為2、查P278頁表5.2可知其單位脈沖響應(yīng)為h[n]

anu[n]對于不同的a

值,其h[n]如圖6.26所示.（6.52)(6.53)3、該系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為u[n]1

an1s[n]

h[n]

u[n]

1

a圖6.27為不同a時的階躍響應(yīng).(6.54)由圖可見,參數(shù)a

所起的作用類似于連續(xù)時間一階系統(tǒng)中的時間常數(shù)

的作用,它決定了離散時間一階系統(tǒng)時域響應(yīng)的速率。由(6.53)和(6.54)式可以看到,h

[n]和s

[n]收斂于終值的速率就是a

n

收斂于0

的速率。1、因此對與小的a

值,單位脈沖響應(yīng)急劇衰減,而階躍響應(yīng)則很快地建立起來.2、當

a

1時，這些響應(yīng)都比較慢。3、當a

0時，階躍響應(yīng)既呈現(xiàn)超量，又呈現(xiàn)出振蕩特性。一階系統(tǒng)頻率響應(yīng)的模和相位分別是1H

(e

j

)

(1

a

2

2a

cos

)1/

2H

(e

j

)

tan1[

a

sin

]1

a

cos

圖6.28(a)為a>0的幾個值時頻率響應(yīng)的對數(shù)模和相位特性。此時系統(tǒng)呈高頻衰減的特性。圖6.28(b)為a<0時的情況。此時，系統(tǒng)對高頻分量放大，而對低頻分量衰減。數(shù)值上逐漸靠近，因此，變化相對平坦。注意：1、對于小的a

值：H(ej)的最大值1/(1

a)和最小值1/(1

a)在2、當

a

接近

1

時，這兩個值相差很大，H(ej)

呈現(xiàn)出更為陡峭的峰值。這就膸在一個較窄的頻帶內(nèi)提供了具有良好選擇想的濾波和放大。6.6.2

二階離散時間系統(tǒng)一個二階因果LTI系統(tǒng),其差分方程為y[n]

2r

cos

y[n

1]

r

2

y[n

2]

x[n]0

r

1,

0

式中該系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為H

(e

j

)

11

2

r

cos

e

j

r

2

e

j

2

1[1

(re

j

)e

j

][1

(re

j

)e

j

]1、當

0

或

時，利用部分分式展開就可得Ae

j2

j

sin

e

j2

j

sin

H

(e

j

)

1

(re

j

)e

j

B1

(re

j

)e

jA,

B

其中系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)為(re

)

]u[n]u[n]2

jj

ne

j2

j

sin

e

j2

j

sin

j

nh[n]

[

A(re

j

)n

B

(re

j

)n

]u[n]

[(re

)

r

n

e

j

(1

n

)

e

j

(1

n

)sin

r

n

sin[(1

n)

]

u[n]sin

12、若

0

時，H

(e

j

)1

2

r

cos

e

j1

r

2

e

j

2[1

(re

j

)e

j

][1

(re

j

)e

j

]1(1

re

j

)

2h[n

]

(n

1)r

nu[n

]則有3、當

時H

(e

j

)

11

2

r

cos

e

j

r

2

e

j

21[1

(re

j

)e

j

][1

(re

j

)e

j

]1(1

re

j

)

2h[n

]

(1

n

)(

r

)

n

u[n

]則有由圖可見：1）r影響h

[n]的收斂速度，r越小，h

[n]

收斂的越快（即r

愈接近1

，h

[n]衰減的愈慢）；圖6.29為不同r

和

值時，二階系統(tǒng)的脈沖響應(yīng)。2）

值決定振蕩頻率。當

0

，在h

[n]中就沒有振蕩；當

>0

時，有振蕩，