機械可靠性設計第二章概率統(tǒng)計基礎知識§2.1事件、概率與概率運算規(guī)則§2.2幾種常用的概率分布§2.3分布代數(shù)和正態(tài)分布代數(shù)一、隨機事件、頻率與概率§2.1事件、概率與概率運算規(guī)則必然現(xiàn)象自然/社會現(xiàn)象隨機現(xiàn)象

單次試驗結果不確定，大量試驗結果具有某種規(guī)律性確定性現(xiàn)象不可能現(xiàn)象隨機試驗樣本空間樣本點可以在相同條件下重復進行每次試驗的可能結果不止一個，并且能事先明確試驗的所有可能結果進行一次試驗之前不能確定哪一種結果會出現(xiàn)具有上述三個特點的試驗稱為隨機試驗隨機試驗E所有可能結果組成的集合稱為E的樣本空間記為Ω樣本空間中的元素，即試驗的每個結果，稱為樣本點隨機事件基本事件

隨機試驗E的樣本空間Ω的子集稱為E的隨機事件，簡稱事件每次試驗中，當且僅當這一子集中的一個樣本點出現(xiàn)時，稱為這一事件發(fā)生。隨機試驗中最簡單的、不能再分的隨機事件，即只包含一個樣本點的單點集稱為該隨機試驗的基本事件(2.1)如何描述事件A出現(xiàn)的可能性的大??？定義:設A是某試驗下的一個事件，將此試驗在相同的條件下重復進行n次，若其中事件A出現(xiàn)nA次，稱nA為A發(fā)生的頻數(shù);稱fn(A)為事件A在n次試驗中出現(xiàn)的頻率，頻率與概率有50個球，其中紅球5個，黃球45個，從中任取5個球，問:(1)全是黃球的概率是多少?(2)恰有一個紅球的概率是多少?大量實驗證實，重復試驗的次數(shù)n逐漸增大時，頻率fn(A)逐漸穩(wěn)定于某個常數(shù)，我們將頻率fn(A)的穩(wěn)定值p定義為P(A)，并將它稱為事件A概率，頻率與概率頻率具有以下基本性質3.若是兩兩不相容的事件(2.2)1.2.頻率與概率（2）（規(guī)范性）P(Ω)=1（3）（可列可加性）若A1，A2…為Ω中兩兩不相容事件，則：由頻率的性質可推得統(tǒng)計概率的定義，且具有如下基本性質：（有限可加）若A1，A2…，An為Ω中兩兩不相容事件，則。（1）（非負性）P(A)≥0，對任意A∈

Ω二、概率運算規(guī)則(1)互補定理：(2.3)(2)加法定理：對任意兩事件A、B，有(2.4)該公式可推廣到任意n個事件的情形；有100個零件，其中正品為96個，次品為4個，現(xiàn)從中任取5個，求取到次品的概率?(4)條件概率，全概率公式與貝葉斯公式條件概率

在實際問題中，除了考慮事件A發(fā)生的概率，有時還需考慮在“事件B已發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。由于增加了新的條件“事件B已發(fā)生”，所以后者的概率一般來說不同于前者，我們稱之為事件B發(fā)生的條件下A事件發(fā)生的條件概率。概率運算規(guī)則對于一般古典概型問題，基本事件總數(shù)為n，B所包含的基本事件數(shù)為m，AB所包含的基本事件數(shù)為k記為：有100個零件，其中一級品有70個，二級品有25個，次品有5個。規(guī)定一、二級品都為合格品，現(xiàn)從合格品中任取一個，求這個零件是一級品的概率。(3)乘法定理：兩事件A、B

獨立(2.5)(2.6)對任意兩事件A、B（非互相獨立），有概率運算規(guī)則某設備由各自獨立的裝置1和裝置2組成，兩裝置各自失效概率分別為PA1=0.02,PA2=0.01，試分別計算以下兩種情況時設備不發(fā)生失效的概率。(1)兩裝置必須同時工作才能保證設備正常運轉;(2)兩裝置之一能正常工作就能保證設備正常運轉。全概率公式式(2.7)就稱為全概率公式。設A1，…,An是Ω的一個劃分，且則對任何事件BΩ有

當直接計算P(B)較困難，若求得其在各子事件的概率可以求出P(B).例2-1.市場上有甲、乙、丙三家工廠生產的同一品牌產品，已知三家工廠的市場占有率分別為1/4、1/4、1/2，且三家工廠的次品率分別為2％、1％、3％，試求市場上該品牌產品的次品率。解：設B表示買到一件次品A1

表示買到一件甲廠的產品A2

表示買到一件乙廠的產品A3

表示買到一件丙廠的產品B貝葉斯公式：

式(2.8)就稱為貝葉斯公式。設A1，…,An是Ω的一個劃分，且P(Ai)>0,(i＝1，…，n)，則對任何事件BΩ

，有例2-3某帶式運輸機由電動機、減速器、工作機（卷筒）三部分組成。這三部分中任何一部分發(fā)生故障，將使整個系統(tǒng)發(fā)生故障。已知它們的可靠度依次為0.98、0.94、0.92。試問如果系統(tǒng)發(fā)生故障，哪一部分出故障的引起的可能性最大？用事件A表示整個系統(tǒng)發(fā)生故障；用E1、E2、E3分別表示電動機、減速器、工作機發(fā)生故障。解：由題意知，這三部分出故障的事前概率依次為事件E1、E2、E3只要發(fā)生一個，事件A必然發(fā)生。故由貝耶斯公式，可分別求得在系統(tǒng)發(fā)生故障時，事件E1、E2、E3發(fā)生的條件概率隨機變量§2.2幾種常用分布

為了全面地研究隨機試驗的結果，揭示隨機現(xiàn)象的統(tǒng)計規(guī)律性，有必要引入隨機變量的概念。

設E為隨機試驗，其樣本空間為Ω={e}是基本事件的集合，若對每一個基本事件或樣本點eΩ

有一個實數(shù)X(e)與之對應，這樣就得到一個定義在Ω

上的單值實函數(shù)X(e)，稱X(e)為隨機變量，簡記為X。

引入隨機變量后，任何隨機事件均可通過隨機變量來表示。隨機變量

建立隨機變量的概念后，就可以把一個個孤立的隨機試驗結果（事件）通過隨機變量聯(lián)系起來，去研究它們的概率分布及隨機試驗的全部結果，就可能用數(shù)學分析的方法來研究整個隨機試驗。隨機變量的分布函數(shù)定義：設X是一個隨機變量，x是任意實數(shù)，函數(shù)稱為X的分布函數(shù)。對于任意實數(shù)x1，x2（x1<x2

）,有

若已知X的分布函數(shù)，就可以知道X落在區(qū)間（x1，x2]上的概率，從這個意義上來說，分布函數(shù)完整地描述了隨機變量的統(tǒng)計規(guī)律。

分布函數(shù)是普通函數(shù)，正是通過它我們能用數(shù)學分析的方法來研究隨機變量。分布函數(shù)的性質1.分布函數(shù)是不減函數(shù)對任意實數(shù)x1，x2（x1<x2

）2.3.分布函數(shù)是右連續(xù)的隨機變量的概率密度定義：如果對于隨機變量X

的分布函數(shù)F(x)，存在非負函數(shù)f(x)，使得對于任意實數(shù)x有則稱X為連續(xù)型隨機變量，函數(shù)f(x)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱概率密度概率密度的性質1.2.3.對任意實數(shù)x1，x2

x1<x2

）4.若f(x)在x

點連續(xù)，則有隨機變量的概率密度隨機變量的數(shù)字特征1.數(shù)學期望(代表值)對于離散型隨機變量其定義來自于加權平均的概念對于連續(xù)型隨機變量2.方差與標準差（分散度）3.變異系數(shù)（變差系數(shù)）當均值一定時，標準差是實驗數(shù)據(jù)分散度的度量標準。標準差的計算是以均值為基準的，因此僅僅根據(jù)標準差還不能充分說明分散度的大小。當標準差相同而均值不同時，其相對分散度是不同的。在統(tǒng)計分析中，常采用復合的特征數(shù)—變異系數(shù)C測得5個元件的使用壽命分別為12年、7.5年、13年、9.5年、8.5年，試求它們壽命的均值和標準差，若已知其壽命分布密度函數(shù)為，其中t為時間，t>0，求其壽命的均值和標準差。1.均勻分布則稱X在(a,b)內服從均勻分布。記作X~U(a,b)對任意實數(shù)c,d(a<c<d<b)，都有§2.2幾種常用分布f(x)0ab

若2.指數(shù)分布則稱X服從參數(shù)為>0的指數(shù)分布。其分布函數(shù)為若若產品的失效概率密度為指數(shù)分布，則即代表其失效率f(x)x0例.機械零件的壽命X(年）服從參數(shù)為3的指數(shù)分布(1)求該機械零件壽命超過2年的概率。(2)已知該機械零件已使用了1.5年，求它還能使用2年的概率為多少？解：(1)(2)某儀器的壽命T服從指數(shù)分布，其平均無故障連續(xù)工作時間MTBF為25h，試求其失效率為多少?若要求可靠性為90%，問應如何選擇連續(xù)工作時間?正態(tài)分布也稱為高斯(Gauss)分布正態(tài)分布是實踐中應用最為廣泛，在理論上研究最多的分布之一，故它在概率統(tǒng)計中占有特別重要的地位。3.正態(tài)分布A，B間真實距離為，測量值為X。X的概率密度應該是什么形態(tài)？AB其中為實數(shù)，

>0，則稱X服從參數(shù)為(

,2)的正態(tài)分布,記為N(,2)，可表為X～N(,2).若隨機變量f(x)0x(1)單峰對稱密度曲線關于直線x=對稱；正態(tài)分布有兩個特性：f(x)0x(2)的大小直接影響概率的分布

越大，曲線越平坦，

越小，曲線越陡峻，f(x)μ0x0.50.40.30.20.1-2246N(3,4/5)N(3,1)N(3,5/4)4.標準正態(tài)分布參數(shù)＝0，2＝1的正態(tài)分布稱為標準正態(tài)分布，記作X~N(0,1)。f(x)μ0x0.40.30.20.1-224-4分布函數(shù)表示為其密度函數(shù)表示為有100個某種材料的試件進行抗拉強度試驗，現(xiàn)測得試件材料的強度均值=600MPa，標準差=50MPa。求:(1)試件強度=600MPa時的存活率、失效概率和失效試件數(shù);(2)強度落在(550-450)MPa區(qū)間內的失效概率和失效試件數(shù);(3)失效概率為0.05(存活率為0.95)時材料的強度值。若X為隨機變量，且隨機變量Y=lnX服從正態(tài)分布N(μ,σ2),即5對數(shù)正態(tài)分布則稱X是一個對數(shù)正態(tài)分布變量，X=eY服從對數(shù)正態(tài)分布，其概率密度函數(shù)為：正態(tài)分布的密度元為將y=lnx，dy=dx/x代入上式σ=1.6σ=0.5σ=0.2f(x)0x21340.81.6對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線（μ=0）對數(shù)正態(tài)分布的密度函數(shù)曲線是單峰的且是偏態(tài)的對數(shù)正態(tài)分布的分布函 數(shù)同樣，可令可將上式轉化為標準正態(tài)分布μ

和σ既不是對數(shù)正態(tài)分布的位置參數(shù)和尺度參數(shù)，也不是其均值和標準差，而是它的“對數(shù)均值”和“對數(shù)標準差”。對數(shù)正態(tài)分布的數(shù)字特征對數(shù)正態(tài)分布的可靠度函數(shù)該種分布常用于零件的壽命、材料的疲勞強度等情況。

由瑞典人Weibull構造的分布函數(shù)。凡屬于局部失效而導致整體機能失效的模型(串聯(lián)系統(tǒng))，一般都能采用這種分布函數(shù)描述。若隨機變量X在[0,∞)上取值，具有概率密度函數(shù)則稱X服從三參數(shù)為(m,η,γ)的威布爾分布，記為X~W(m,η,γ)M（β）形狀參數(shù)η尺度參數(shù)γ位置參數(shù)6威布爾（Weibull）分布三參數(shù)威布爾分布的分布函數(shù)Y=0時；Y=0時，為指數(shù)分布實際使用中，γ

=0情況居多，此時三參數(shù)威布爾分布轉化為二參數(shù)威布爾分布，具有概率密度函數(shù)若令α

=(1/η)m，m=β

，則：其分布函數(shù)為特別：若β=1，則X服從參數(shù)為α的指數(shù)分布典型的Weibull分布(Matlab)離散型分布1二項分布二項分布適用于描述只有兩種狀態(tài)的事物。設一系統(tǒng)由A和B兩臺設備組成，兩臺設備正常工作的概率(可靠度)和失效概率分別為R(A),R(B)和F(A)、F(B)。系統(tǒng)正常工作和故障的可能組合有4種:(1)A和B都正常工作(3)A正常工作B失效(2)A和B都失效;(4)A失效B正常工作。以上每一種情況發(fā)生的概率的總和等于1，即:某種零件的失效率的平均值為入=0.010/1000h。現(xiàn)只有兩個備件，且半年內不能再進備件，實際工作需保證設備運轉50000h，問這種情況設備能夠正常

工作的概率為多大?Ααalpha['AlfE]

Ββbeta['bi:tE,'beitE]

Γγgamma['gAmE]

Δδdelta['deltE]

Εεepsilon[ep'sailEn,'epsilEn]

Ζζzeta['zi:tE]

Ηηeta['i:tE,'eitE]

Θθtheta['Wi:tE]

Ιιiota[ai'outE]

Κκkappa['kApE]

Λλlambda['lAmdE]

Μμmu[mju:]

Ννnu[nju:]

Ξξxi[gzai,ksai,zai]

Οοomicron[ou'maikrEn]

Ππpi[pai]

Ρρrho[rou]

Σσsigma['sigmE]

Ττtau[tR:]

Υυupsilon[ju:p'sailEn,'ju:psilEn]

Φφphi[fai]

Χχchi[kai]

Ψψpsi[psai]

Ωωomega['