第25講怎樣解圓錐曲線與向量的綜合問題

一、知識概要

平面向量及其運(yùn)算特點是融數(shù)，形于一體，因為它具有代數(shù)形式和幾何形式的雙重身份，是中學(xué)數(shù)

學(xué)知識的一個重要交匯點，平面向量的運(yùn)算法則,特別是坐標(biāo)運(yùn)算可將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題,

而解析幾何的學(xué)科特點正是運(yùn)用代數(shù)的方法研究平面圖形的性質(zhì)，兩者是何等一致!比如,以向量

為工具，求解解析幾何中的平行，垂直，共線，夾角等問題.所以它們的結(jié)合或者說運(yùn)用平面向量來解

決解析幾何問題是一件十分自然的事情,可謂是“墻外桃花三兩枝，春江水暖鴨先知”了！平面向

量與解析幾何的交叉滲透，使數(shù)學(xué)問題的情景新穎別致,使解答過程自然流暢，使數(shù)學(xué)之美充分展

現(xiàn)，信不信?讓我們用例題來展示.

二、例題精析

[例1]

⑴已知點在圓/+丁=1上運(yùn)動且/山，8。，若點/＞的坐標(biāo)為(2,0)，則

|上4+28+。。|的最大值為()

A.6

B.7

C.8

D.9

⑵在平面直角坐標(biāo)系中，。為原點，A(-1,0),5(0,V3),C(3,0)，動點。滿足ICO|=1,則

\OA+OB+OD\的最大值為

【策略點擊】

本例兩小題均為圓方程與平面向量的綜合.第⑴問，利用轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想,把向量模的最

值問題轉(zhuǎn)化為點與圓上點的距離的最值問題.第⑵問的題設(shè)是3個定點AB,C和一個動點。易

知動點。的軌跡是以定點C為圓心，半徑為1的圓，求1。4+。8+。。|的最大值.解題思路有多

種.一種是代數(shù)的方法，構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，可以引入圓的參數(shù)方程,將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為某一個角的三角

函數(shù)求解;也可以引入坐標(biāo)變量O(x,y),求出以+。8+。。的坐標(biāo),求模再求最大值.另一種是

利用向量的幾何意義，運(yùn)用向量的幾何性質(zhì)或不等式性質(zhì)整體求解.本小題動靜兼顧，是動態(tài)向量

模的最值問題，其解題策略具有普遍性.

【解】

⑴由題意可得AC為圓的直徑,故可設(shè)〃),C(-利B(x,y).

:.PA+PB+PC=(x-6,y)

.'.IPA+PB+PC\=yl(x-6)2+y2的最大值是圓x2+y2=\上的動點到點(6,0)距離的最大

值,從而有《c時,1尸4+28+「。|的最大值為7,故選8.

y=0

⑵【解法一】

(引入圓的參數(shù)方程轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的最值問題)由I。。1=1可知，點。在以點C(3,0)為圓心,1

為半徑的圓上，

設(shè)￡)(3+cos。,sin6),[0,2萬)，則OA+OB+OC=(2+cos6,G+sin0)

故|OA+08+例=J(2+cos6)2+(K+sin6)2

=Vs+4cos^+2\/3sin^=小8+2V7sin(6+夕)，其中tan9=~~

,V21

sine=-----,

^\\OA+OB+OD\?78+277=J7+1,其中，當(dāng)＜’L時等號成立.

2V7

cos(p=.7

【解法二】

(引入坐標(biāo)變量D(x,y)，求模再求最值)由IC。1=1可知，點。在以點C(3,0)為圓心,1為半徑的

圓上，設(shè)。(羽y).則。4+。8+。。=(x-1,6+y),

故|QA+OB+。。|=?x-iy+(y+⑻2，它表示圓c上的點到點(1,-73)的距離.

\OA+OB+OD\mm=J(3T)2+(0+g)2+1=嶼+1.

【解法三】

(利用向量的幾何意義，數(shù)形結(jié)合求解)由已知得。A+OB=(-1,G),如圖2-75所示，記

￡(1,73).

貝IJ|04+0B+。。|=|0D-0E\=\ED\

圖2-75

【解法四】

(利用向量的三角不等式求解)已知4-l,0),B(0,g),C(3,0)

故。4+。8+。。=(2,揚(yáng),|。4+。8+。。|="

\0A+0B+0D\=\0A+0B+0C+CD\?\OA+OB+OC\+\CD\=41+\

當(dāng)且僅當(dāng)。4+03+OC與同向時等號成立.

故|。4+。8+。。|的最大值為近+1.

[例2]

(1)已知M(%為)是雙曲線C：5一y=1上的一點,白，居是C的兩個焦點，若M%MF2<0,

則用的取值范圍是().

(2722忖

C.-,

33

\7

(2g2行

D.,-----------------

I33J

22

⑵過雙曲線二一七=1(4>o,b>0)的左焦點F(-c,0)(c>0)作傾斜角為j的直線FE交該

ab6

雙曲線右支于點P.若OE=3(。尸+OP)，且OE?E尸=0,則雙曲線的離心率為().

B.,^3+1

Vio

c.---

D.V2

【策略點擊】

第⑴問，把向量的數(shù)量積用坐標(biāo)表示出來是解本小題的關(guān)鍵.之后就是解不等式求X)的取值范圍.

1

第(2)問，由。后=2(。尸+。D)知點石是尸尸的中點,又?！?防=0,則?！阓1上尸,即點。在

線段"的垂直平分線上，因此可用數(shù)形結(jié)合思想求解.

y

圖2-76

【解】⑴由題意，知耳(-6,0),6(G,o).

=(->/3-x0,-y0),MF2-xn,-y^:.MFy-MF2=x：+y；-3<()

又點M在曲線C上,則，一巾=1,即片=2(1+巾)，代入⑴式，得3y；-1<0,解得

--y<為,故選A.

(2)如圖2—76所示,?.OE=^(OF+OP)

；.E是FP的中點，又OEEF=0,.'.OE1EF，連接尸尸‘廁PF'LFP.

APFO=^,OF=c,\FP\i+|"1=4c2,

(c+2a)2+c2=4c2.;.c2-2a2-2ac=0.:.e?-2e-2=0,;.e=百+1(負(fù)值舍去),故選B

[例3]

⑴已知F是拋物線丁=x的焦點，點A3在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè),。A=2(其中

。為坐標(biāo)原點)，則&ABO與_AFO面積之和的最小值是().

A.2

B.3

17A/2

C.----

8

D.V10

⑵如圖2—77所示，設(shè)拋物線C:y=x2的焦點為F，動點P在直線hx-y-2=0上運(yùn)動，過P

作拋物線C的兩條切線PA,PB，切點分別為A,B.求證:ZAFP=ZBFP.

y

圖2-77

【策略點擊】

第⑴問是典型的圓錐曲線雙動點問題，但這兩個動點是有約束關(guān)系的，一方面受曲線的方程的約

束，另一方面受條件0403=2的約束，可以想辦法用坐標(biāo)表示三角形面積，再結(jié)合基本不等式

或函數(shù)思想方法求解.三角形面積的向量公式為：若AB=（x?yi）,AC=（x2,y2），則

S.ABC=-左2乂h用此公式便于建立目標(biāo)函數(shù)求最值，若題中涉及直線方程的選擇,為避免

對斜率存在性的討論，可將經(jīng)過定點（機(jī),0）的動直線設(shè)為x=）+m的形式，為計算求解帶來方

便.由于A3是拋物線的點，設(shè)A（1,加）向〃2,〃）也是一種不錯的選擇，在加，〃中消去一個字

母從而出現(xiàn)單變量函數(shù)，可用基本不等式求最小值.第（2）問，題中并沒有提供向量的信息,但涉及

解決角有關(guān)的一類問題，可從數(shù)量積入手，把幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為數(shù)量關(guān)系通過“計算”得出所要的結(jié)

果.這就需要解題者通過構(gòu)造向量來實現(xiàn).

【解】

⑴【解法一】

為了解題方便，先推導(dǎo)三角形面積的向量公式：

設(shè)A（5，X）,3（巧,％）廁S皿加=3歸%-工2%|,證明如下：

22

設(shè)ZAOB二"則SAOB=g|Q41|081sin8=5^（1OA\\OB|）-（|OA||OB|cos6?）

=^（\OA\-\OB\）2-（OAOBy=；+y；）（x；+貨）一（辦々+M%）?

=;府亭%川

于是依題意，不妨設(shè)點A（XQJ,8（孫%），其中，又04。8=2得

玉々+X%=（y%）2+乂%=2，由此解得X%=-2..ABO與^AFO面積之和等于

：歸%-工2%|+；*：乂=義忻上一

=；x2（y-乂）+卜?=京+（-y2）..21J-^yly2=3

93

當(dāng)且僅當(dāng)三%=一乂=三時取等號.

o2

因此一A3。與jAFO面積之和的最小值是3,故選B.

【解法二】

設(shè)直線A8的方程為x=(y+機(jī),點A(x,y),3(%,%),X%〈①

x-ty+m、

由《，得曠_)一加=0.弘%=一見又OAOB=2,

[y

因此引龍2+,%=(%%)一+Y%=2,zn2-?72-2=0,

解得,〃=2或〃7=-1.又％%=一加＜0，

因此=-m=-2,m=2，直線AB-.x^ty+2過定點(2,0),

SABO=；x2x|y一%|=

5枷+5.。=，+9+扣卜：血+2|-2,|加司=3.

a7

當(dāng)且僅當(dāng)”=.，即帆1=3時取等號.

因此.ABO與乙AFO面積之和的最小值是3,故選B.

【解法三】

圖2-78

如圖2-78所示設(shè)A仙

點C為直線43與x軸的交點，其中心0,“<0,則OA="M，OB=（/,〃）

22

OAOB=mn+mn=2，解得mn=1（舍）或mn=-21

岫：（M—）（y—〃）=（加一〃）（x—叫,即⑴+及）（y—〃）=%一,令y=°1

解得工=一3=2....。（2,0）.

^,ABCAOC+^BCC=-x2xm+—x2x(-n)=m-?,

1]1192

S=—x—x/%=一機(jī).則S+S=m-n+-m=—m+—..2=3.

A"248AnRAnP88m

974

當(dāng)且僅當(dāng)一機(jī)=一，即加=一時等號成立，故_ABO與^AFO面積之和的最小值為3,故選B.

8tn3

（2）【證明】

設(shè)切點A,B的坐標(biāo)分別為（毛,無；）和（%,工：）（王工飛）

可得切線AP的方程為2xox-y-x；=0;

切線族的方程為2七x—y—x；=0.

解得點P的坐標(biāo)為Xp=%；"L,%=x(}xt.

則E4=(%,片一;),PP=-FB=(玉,X：-；

由于點P在拋物線外，即IF戶隹0.

綜上可知NAEP=N5EP.

方法提煉

向量在解析幾何中的作用巨大，主要體現(xiàn)在以下3方面.

1載體作用

向量在解析幾何問題中出現(xiàn)，多用于“包裝”，使問題更有“新意”，兩類知識通過圖形交匯又顯得

非常自然，解決此類問題的關(guān)鍵是利用向量的意義，運(yùn)算脫去“向量外衣”，導(dǎo)出曲線上點的坐標(biāo)之

間的關(guān)系，從而解決有關(guān)距離，斜率，夾角，軌跡，最值等問題，這也是高考命題的一個重要指向，所以

應(yīng)加強(qiáng)向量的應(yīng)用意識，自覺地用向量的思想和方法去思考問題，考慮問題要全面.

2工具作用

平面向量既有形的特征,又可以像數(shù)一樣運(yùn)算，并可以利用坐標(biāo)表示.因此在解決平面向量與解析

幾何的綜合題時,以向量為工具，求解解析幾何中的平行，垂直，共線，夾角等問題，以下知識在解題

中經(jīng)常用到.

設(shè)a=(X],yJ,b=(工2，%)，。力的夾角為<1.

<=>%?〃=0<^>xlx2+yly2=0.

(2)a//〃<=>。=勸=%%一馬凹二0(2GR).

ab七超十,力

⑶cosa=

⑷聞后壽后T

3結(jié)論轉(zhuǎn)化作用

結(jié)論轉(zhuǎn)化作用，即向量中的某些結(jié)論立即可以轉(zhuǎn)化為解析幾何中的相應(yīng)結(jié)論.

n

⑴若直線的方向向量”=(1次)或〃=(利,〃)，則直線斜率為攵或一(〃7H0).

m

(2)若。4+OB與AB相交廁。4+08過AB的中點.

⑶若PM+PN=O廁P是MN的中點.

⑷若AP+AQ=A(BP+PQ\則p,Q與A3的中點三點共線.

⑸若AB//AC,則A,B,C三點共線；

若存在實數(shù)X使AB=2ACJIJA,B,C三點共線；

若存在實數(shù)%/且a+4=1,使。C=aQ4+(3OB廁A,B,C三點共線.

三、易錯警示

網(wǎng)

已知兩點M(-1,O),N(l,0)，且點P使MP?MN,PM-PN,NM-NP成公差小于零的等差數(shù)歹(

則點P的軌跡是什么曲線？

【錯解】

設(shè)P(x,y),則MP=(x+1,y\PM=(-xMN=(2,0),

NP=(x-\,y),PN=(l-x,-y)

MPMN,PMPN,NM?NP成等差數(shù)列,2PM-PN=MPMN+NM-NP

即2(—x—1,—y)-(1-x,-y)=(x+1,y)-(2,0)+(—2,0)-(x—1,y).

即2,+V-1)=2(1+x)+2(1-x),.-.點P的軌跡方程為X2+/=3.

因此，點P的軌跡是以原點為圓心以百為半徑的圓.

【評析及正解】

上述解法中，有一個細(xì)節(jié)沒有注意到，即公差小于零.因為公差小于零，所以

NMNP—MPMN<。，即2(1—x)—2(l+x)<0，所以x>0，點P的軌跡方程為

x1+y2=3(x>0).

因此，點P的軌跡是以原占為圓心，以6為半徑的圓的右半部分(不包括端點)，可見上述的錯解

實質(zhì)是考慮不全面，或者識解題過程不完整,軌跡的范圍限定是一個容易疏忽的“細(xì)節(jié)”,而“細(xì)節(jié)”

往往決定成敗，務(wù)必需要引起注意.

四、難題攻略

【例】

3

以。為原點的坐標(biāo)平面內(nèi)有4點匕鳥,鳥,辦滿足條件?！?+。匕+1=5?！浮?〃=2,3),試回

答以下問題：

⑴若點鼻￡在曲線肛=1上,求證點巴不在該曲線上；

⑵若點匕鳥,《在圓Y+V=1上，求證:點乙也在該圓上.

【破難析疑】

第⑴問，證明點A(x,y)不在該曲線上，由于％8在曲線上，利用條件，把8的坐標(biāo)用鼻￡的坐

標(biāo)表示，探究刈的值是否等于1,若不等，則證得鳥不在曲線盯上.第⑵問，點片,￡,巴在圓

2

x+/=1上廁設(shè)Pn=OP“(〃=1,2,3,4),|OP||=|OP2|=|?？?1.證明］。叫=1即得結(jié)論.

【證明】

⑴設(shè)，￡（，，；，呂（羽》）.

(3tY393/3s,133(s

孫=|---5---------|=------------------F1-----------+-

■(2)\2tsJ42sIt421/s)

133113

當(dāng)st>0時，孫,，-----*2=—；當(dāng)st<0時，町>一.

4244

總有點A不在曲線盯=1上.

(2)設(shè)pn=OPn(n=\,2,3,4)，則

，|+，3=(〃2,①