線性代數(shù)教案第1頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月本節(jié)主要內(nèi)容1.向量的定義；2.向量的運算； 加法運算 數(shù)乘運算 運算律3.向量的線性關(guān)系； 線性組合（線性表示） 線性相關(guān) 線性無關(guān)第2頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月兩種主要的同解變形：（1）用一個非零數(shù)乘以方程的兩端；（2）兩個方程相加。相當(dāng)于對數(shù)組進行相應(yīng)的運算。由以前解線性方程組的經(jīng)驗知道，對于方程組第3頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月向量(Vector)的定義定義：由n個數(shù)組成的有序數(shù)組稱為一個n維行向量，簡稱向量；n稱為向量的維數(shù)；稱為向量的分量（或坐標(biāo)）。向量一般用小寫希臘字母表示定義：一切n維行向量所構(gòu)成的集合用表示，稱為n維向量空間，即分量都是零的向量稱為零向量，記為0，即0=(0,0,…,0).向量稱為的負向量，記為第4頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的運算設(shè)有數(shù)λ及n維向量向量相等：向量加法：向量減法：向量數(shù)乘：向量的加法及數(shù)乘兩種運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.由于向量可以看成是行矩陣，所以向量的加法與數(shù)乘運算與矩陣是一致的.第5頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的運算律加法運算律：數(shù)乘運算律：第6頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月方程的個數(shù)與未知數(shù)的個數(shù)的大小關(guān)系決定方程組解的個數(shù)：當(dāng)方程的個數(shù)大于未知數(shù)的個數(shù)：無解；當(dāng)方程的個數(shù)等于未知數(shù)的個數(shù)：有惟一解；當(dāng)方程的個數(shù)小于未知數(shù)的個數(shù)：有無窮多解.因此確定方程的個數(shù)非常重要。要知道某個方程能不能由其他方程經(jīng)過同解變換得到，只要知道這個方程相應(yīng)的向量能不能用其他方程對應(yīng)的向量線性表示出來就行了。由以前解線性方程組的經(jīng)驗知道，對于方程組第7頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的線性關(guān)系定義：設(shè)，如果存在一組數(shù)使得則稱向量可以由向量組線性表示，或者稱向量是向量組的線性組合.由定義知：零向量是任意向量組的線性組合.定義：設(shè)，若存在不全為零的數(shù)使得則稱向量組線性相關(guān)；否則稱它們線性無關(guān).第8頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論1：向量組線性相關(guān)等價于以為未知量的方程有非零解；結(jié)論2：向量組線性相關(guān)等價于不止一組解；結(jié)論3：向量組線性無關(guān)等價于結(jié)論4：向量組線性無關(guān)則線性無關(guān).正是由于有結(jié)論2和結(jié)論3，在討論向量組的線性相關(guān)性的時候，經(jīng)常討論方程的解的情況：有惟一解時線性無關(guān)；解不惟一時線性相關(guān).小結(jié)第9頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例題1討論n維向量組的線性相關(guān)性.解：設(shè)有一組數(shù)，使得即所以由此可知線性無關(guān).由于任何一個n維向量都可以用線性表示出來，所以稱向量組為n維單位坐標(biāo)向量組.小結(jié)第10頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例題2（練習(xí)）：討論下列向量組的線性相關(guān)性.解設(shè)有一組數(shù)使得即由于該方程組系數(shù)行列式從而方程組有惟一一組解，即只有零解.因此向量組線性無關(guān).第11頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月例題3若向量組線性無關(guān)，證明向量組線性無關(guān).第12頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月定理若向量組線性無關(guān)，而向量組線性相關(guān)，則向量可以由線性表示.定理向量組線性相關(guān)的充要條件是該向量組中至少有一個是其余向量的線性組合.推論向量組線性無關(guān)的充要條件是向量組中任何一個向量都不能由其余向量線性表示.小結(jié)定理線性相關(guān)向量組添加向量后仍然線性相關(guān)；線性無關(guān)向量組去掉向量后仍然線性無關(guān)；線性無關(guān)向量組中每個向量擴大相同的維數(shù)仍然線性無關(guān)；線性相關(guān)向量組中每個向量縮小相同的維數(shù)仍然線性相關(guān)。第13頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月向量的線性相關(guān)性與線性方程組的關(guān)系對于線性方程組： 未知量個數(shù)等于方程個數(shù)方程組有惟一解； 未知量個數(shù)多于方程個數(shù)方程組有無窮組解； 未知量個數(shù)少于方程個數(shù)方程組無解.考慮n個未知量n個方程（可能有多余的方程）的線性方程組，每個方程都對應(yīng)一個n＋1維的向量：（1）線性方程組的系數(shù)行列式不等于零方程組有惟一解方程組沒有多余的方程任何一個方程都不能由其余方程經(jīng)過同解變換得到任何一個向量都不能由其余向量線性表示這個方程組對應(yīng)的n個向量線性無關(guān)；（2）線性方程組的系數(shù)行列式等于零<=方程組有一組以上解方程組有多余的方程某個方程可以由其余方程經(jīng)過同解變換得到某個向量可以由其余向量線性表示這個方程組對應(yīng)的n個向量線性相關(guān).小結(jié)第14頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月練習(xí)課本P63習(xí)題二2.12（1）（2）2.13（1）（3）第15頁，課件共17頁，創(chuàng)作于2023年2月小結(jié)本節(jié)要求掌握內(nèi)容：1.線性相關(guān)