條件概率與事件的獨立性數(shù)學(xué) RB（理）§12.5第十二章 概率與統(tǒng)計基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)難點正本 疑點清源要點梳理1．條件概率及其性質(zhì)1.“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別與“聯(lián)互系斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關(guān)系．“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時發(fā)生，“相互獨立”強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．“互斥”的兩個事件可以獨立，“獨立”的兩個事件也可以互斥．條件概率的定義條件概率公式對于任何兩個事件A

和B，在已知

事件A發(fā)生

的條件下，事件

B發(fā)生的概率叫做條件概率，用符號“P(B|A)”表示P(A∩B)P(B|A)＝

P(A)

，其中P(A)>0，A∩B稱為事件A

與B

的交(或積).基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)難點正本 疑點清源要點梳理1.“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別與“聯(lián)互系斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關(guān)系．“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時發(fā)生，“相互獨立”強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．“互斥”的兩個事件可以獨立，“獨立”的兩個事件也可以互斥．事件的獨立性相互獨立的定義：事件

A

是否發(fā)生對事件

B

發(fā)生的概率沒有影響，即

P(B|A)＝P(B)

．這時，稱兩個事件A，B相互獨立，并把這兩個事件叫做相互獨立事件．(2)概率公式：基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)難點正本 疑點清源要點梳理1.“互斥事件”與“相互獨立事件”的區(qū)別與“聯(lián)互系斥”與“相互獨立”都是描述的兩個事件間的關(guān)系．“互斥”強(qiáng)調(diào)不可能同時發(fā)生，“相互獨立”強(qiáng)調(diào)一個事件的發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響．“互斥”的兩個事件可以獨立，“獨立”的兩個事件也可以互斥．條件公式A，B

相互獨立P(A∩B)＝

P(A)×P(B)A1，A2，…

，

AnP(A1∩A2∩…∩An)＝相互獨P(A1)×P(A2)×…×P(An)立那么一般就稱它們?yōu)?/p>

n

次獨立重復(fù)試驗．②概率公式：在一次試驗中事件

A

發(fā)生的概率為

p，則

n

次獨立重復(fù)試驗中，事件

A

恰好發(fā)生

k

次的概率為

Pn(k)基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)要點梳理P(A)，P(A)>0；(2)若n(C)表示試驗中事件C

包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝n(AB)n(A).難點正本 疑點清源計算條件概率有兩種方法利用定義P(B|A)＝3．獨立重復(fù)試驗與二項分布

(1)獨立重復(fù)試驗：①定義：在相同的

條件下，重復(fù)地

做n

次試驗，各次試驗的結(jié)果相互獨立

，P(AB)＝

n

(k＝0,1,2，…，n)．C

p

(1－p)—k

k

n

k基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)難點正本 疑點清源要點梳理(2)二項分布：在n

次獨立重復(fù)試驗中，事件A

發(fā)生的次數(shù)設(shè)為X，事件A

不發(fā)生的概率為q＝1－p，則n

次獨立重復(fù)試驗中事件A

恰好發(fā)生k

次的概率是P(X＝k)＝

n

，其中

k＝0,1,2，…，n.于是

X

的分布列：C

p

q—k

k

n

kP(A)，P(A)>0；(2)若n(C)表示試驗中事件C

包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝n(AB)n(A).計算條件概率有兩種方法利用定義P(B|A)＝P(AB)基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)難點正本 疑點清源要點梳理P(A)，P(A)>0；(2)若n(C)表示試驗中事件C

包含的基本事件的個數(shù)，則P(B|A)＝n(AB)n(A).計算條件概率有兩種方法利用定義P(B|A)＝P(AB)X01…k…nPC0p0qnnC1pqn－1n…Ckpkqn－kn…Cnpnq0n此時稱離散型隨機(jī)變量

X

服從參數(shù)為n，p

的二項分布，記作

X～B(n，p)

．基礎(chǔ)知識·自主學(xué)習(xí)基礎(chǔ)自測題號答案解析11820.1283384A5D理解事件之間的關(guān)系，設(shè)“a

閉合”為事件A，“b

閉合”為事件B，“c

閉合”為事件C，則燈亮應(yīng)為事件AC

B

，2且A，C，B

之間彼此獨立，且P(A)＝P(B

)＝P(C)＝1.返回1所以P(AB

C)＝P(A)P(B

)P(C)＝8.依題意可知，該選手的第二個問題必答錯，第三、四個問題必答對，故該選手恰好回答了

4

個問題就晉級下一輪的概率

P＝1×0.2×0.8×0.8＝0.128.返回設(shè)元件

1,2,3

的使用壽命超過

1 000

小時的事件分別記為1A，B，C，顯然P(A)＝P(B)＝P(C)＝2，∴該部件的使用壽命超過

1 000

小時的事件為(AB

＋

A

B＋AB)C，∴該部件的使用壽命超過1

000

小時的概率1

11

1

1

1

1

32

2

2

2

2

2

2

8P＝

×

＋

×

＋

×

×

＝

.返回返回P(B|A)＝P(AB)P(A)＝1＝2214

1.4

43

13312∵P(X＝3)＝C15

，4

44

14

311P(X＝4)＝C15

·

，5

15310P(X＝5)＝C15

，4

4從而易知P(X＝3)＝P(X＝4)>P(X＝5)．返回題型分類·深度剖析題型一

條件概率【例1】在100

件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為

．思維啟迪 解析

答案 探究提高題型分類·深度剖析題型一

條件概率【例1】在100

件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為

．思維啟迪 解析

答案 探究提高直接利用條件概率公式進(jìn)行計算或利用古典概型．件合格品，5

件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的概率為________．題型分類·深度剖析題型一

條件概率【例

1】

在

100

件產(chǎn)品中有

95思維啟迪 解析答案 探究提高解析

方法一

設(shè)

A＝{第一次取到不合格品}，C2C2100B＝{第二次取到不合格品}，則

P(AB)＝ 5

，所以P(B|A)＝P(AB)P(A)＝

5×4

5

99100100×99

4＝

.方法二

第一次取到不合格品后還剩余

99

件產(chǎn)品，其中有

4件不合格品，99故第二次取到不合格品的概率為4

.

4

概率為

99

．題型分類·深度剖析題型一

條件概率【例1】在100

件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的思維啟迪 解析

答案 探究提高

4

概率為

99

．題型分類·深度剖析題型一

條件概率【例1】在100

件產(chǎn)品中有95件合格品，5件不合格品．現(xiàn)從中不放回地取兩次，每次任取一件，則在第一次取到不合格品后，第二次再次取到不合格品的條件概率的求法：(1)利用定義，分別求P(A)和P(AB)P(AB)，得P(B|A)＝

P(A).這是通用的求條件概率的方法．(2)借助古典概型概率公式，先求事件A

包含的基本事件數(shù)n(A)，再在事件A

發(fā)生的條件下求事件B

包含的基本事件數(shù)，即n(AB)，得P(B|A)＝n(AB)n(A).思維啟迪 解析 答案探究提高題型分類·深度剖析解析

(1)由題意可得，事件

A

發(fā)生的概率

P(A)＝S正方形EFGH圓O 2×

2S

＝

π×122＝π.S△EOH(2)事件AB

表示“豆子落在△EOH

內(nèi)”，則P(AB)＝

S圓O12×12π×11＝

2＝2π.故P(B|A)＝P(AB)

1

2π

1P(A)＝

2

＝4.π2π14題型分類·深度剖析題型二

相互獨立事件的概率思維啟迪

解析 探究提高【例

2】

甲、乙兩個籃球運動員互1不影響地在同一位置投球，命中率分別為2與p，且乙投球2

次均未命中的概率為1

.16求乙投球的命中率p；求甲投球2次，至少命中1

次的概率；若甲、乙兩人各投球2

次，求共命中2

次的概率．1

1

不影響地在同一位置投球，命中率分別為2與p，且乙投球2

次均未命中的概率為16.求乙投球的命中率p；求甲投球2次，至少命中1

次的概率；若甲、乙兩人各投球2

次，求共命中2

次的概率．題型分類·深度剖析題型二

相互獨立事件的概率【例

2】

甲、乙兩個籃球運動員互思維啟迪

解析 探究提高(1)利用列方程求p；(2)可用直接法也可用間接法；(3)要分類討論甲、乙各命中的次數(shù)．不影響地在同一位置投球，命中率分別為1

p，且乙投球

2

次均未命2與中的概率為1

.16(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1

次的概率；(3)若甲、乙兩人各投球2

次，求共命中2

次的概率．題型分類·深度剖析思維啟迪

解析 探究提高題型二

相互獨立事件的概率【例

2】

甲、乙兩個籃球運動員互解

(1)方法一

設(shè)“甲投一次球命中”為事件A，“乙投一次球命中”為事件

B.

1

由題意得(1－P(B))2＝(1－p)2＝16，解得p＝3或p＝5(舍去)，所以乙投球的命中率為3.4

4

4方法二

設(shè)“甲投一次球命中”為事件

A,“乙投一次球命中”為事件

B.16由題意得：P(B

)P(B

)＝

1

，1于是

P(

B

)＝1

P(

B

)＝－

(舍去)．4或

44故p＝1－P(B

)＝3.所以乙投球的命中率為34.2(2)方法一

由題設(shè)知，P(A)＝1，P(

A

)＝21.不影響地在同一位置投球，命中率分別為1

p，且乙投球

2

次均未命2與中的概率為1

.16(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1

次的概率；(3)若甲、乙兩人各投球2

次，求共命中2

次的概率．題型分類·深度剖析思維啟迪解析探究提高題型二

相互獨立事件的概率【例

2】

甲、乙兩個籃球運動員互3故甲投球2

次，至少命中1

次的概率為1－P(A

·A

)＝4.方法二

由題設(shè)知，P(A)＝112，P(

A

)＝2.12故甲投球2

次，至少命中1

次的概率為C

P(A)P(A

)34＋P(A)P(A)＝

.(3)由題設(shè)和(1)知，P(A)＝1，P(A

)＝1，P(B)＝32

2

414，P(

B

)＝

.甲、乙兩人各投球2

次，共命中2

次有三種情況：甲、乙兩人各中一次；甲中2

次，乙2

次均不中；甲2

次均不中，乙中2

次．不影響地在同一位置投球，命中率分別為1

p，且乙投球

2

次均未命2與中的概率為1

.16(1)求乙投球的命中率p；(2)求甲投球2次，至少命中1

次的概率；(3)若甲、乙兩人各投球2

次，求共命中2

次的概率．題型分類·深度剖析思維啟迪解析探究提高題型二

相互獨立事件的概率【例

2】

甲、乙兩個籃球運動員互1212概率分別為C

P(A)P(A

)C

P(B)P(B

)＝316，64P(A)P(A)P(

B

)P(

B

)＝

1

，64P(

A

)P(

A

)P(B)P(B)＝

9

.所以甲、乙兩人各投球2

次，共命中2

次的概率為

3

＋

1

＋

9

＝11.16

64

64

32【例

2】

甲、乙兩個籃球運動員互1不影響地在同一位置投球，命中率分別為2與p，且乙投球2

次均未命中的概率為1

.16求乙投球的命中率p；求甲投球2次，至少命中1

次的概率；若甲、乙兩人各投球2

次，求共命中2

次的概率．題型分類·深度剖析題型二

相互獨立事件的概率中，兩事件發(fā)生的概率互不影響；相互互斥事件是指同一次試驗中，兩個事件不會同時發(fā)生；

(2)求用“至少”表述的事件的概率時，先求其對立事件的概率往往比較簡單．思維啟迪

解析 探究提高(1)相互獨立事件是指兩個試驗變式訓(xùn)練2

(2011·山東)紅隊隊員甲、乙、丙與藍(lán)隊隊員A、B、C進(jìn)行圍棋比賽，甲對A、乙對B、丙對C

各一盤．已知甲勝A、乙勝B、丙勝C

的概率分別為0.6,0.5,0.5.假設(shè)各盤比賽結(jié)果相互獨立．求紅隊至少兩名隊員獲勝的概率；用ξ

表示紅隊隊員獲勝的總盤數(shù)，求

ξ

的分布列和數(shù)學(xué)期望E(ξ)．題型分類·深度剖析題型分類·深度剖析解

(1)設(shè)甲勝

A

的事件為

D，乙勝

B

的事件為

E，丙勝

C

的事件為

F，則D

，

E

，

F

分別表示甲不勝

A，乙不勝

B，丙不勝

C的事件．因為P(D)＝0.6，P(E)＝0.5，P(F)＝0.5，由對立事件的概率公式知P(D

)＝0.4，P(E

)＝0.5，P(F

)＝0.5.紅隊至少兩人獲勝的事件有DE

F

，DE

F，D

EF，DEF.由于以上四個事件兩兩互斥且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，因此紅隊至少兩人獲勝的概率為P＝P(DE

F

)＋P(DE

F)＋P(

D

EF)＋P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.55.(2)由題意知ξ

可能的取值為0,1,2,3.又由(1)知

D E

F，

D

EF

，DE F

是兩兩互斥事件，且各盤比賽的結(jié)果相互獨立，題型分類·深度剖析因此

P(ξ＝0)＝P(

D

E

F

)＝0.4×0.5×0.5＝0.1，P(ξ＝1)＝P(

D E

F)＋P(

D

EF

)＋P(DE F

)＝0.4×0.5×0.5＋0.4×0.5×0.5＋0.6×0.5×0.5＝0.35，P(ξ＝3)＝P(DEF)＝0.6×0.5×0.5＝0.15.由對立事件的概率公式得

P(ξ＝2)＝1－P(ξ＝0)－P(ξ＝1)－P(ξ＝3)＝0.4.所以ξ

的分布列為ξ0123P0.10.350.40.15因此E(ξ)＝0×0.1＋1×0.35＋2×0.4＋3×0.15＝1.6.【例3】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2

位)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確的概率；5

次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確，且其中第3

次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．題型分類·深度剖析題型三

獨立重復(fù)試驗與二項分布思維啟迪解析探究提高【例3】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2

位)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確的概率；5

次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確，且其中第3

次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．題型分類·深度剖析預(yù)報準(zhǔn)確的次數(shù)服從二項分布，可直接代入公式進(jìn)行計算．解析思維啟迪

探究提高題型三

與角度、體積有關(guān)的幾何概型【例3】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2

位)(1)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確的概率；(2)5

次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確，且其中第3

次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．題型分類·深度剖析思維啟迪解析探究提高題型三

獨立重復(fù)試驗與二項分布解

令

X

表示

5

次預(yù)報中預(yù)報準(zhǔn)確的次數(shù)，則

X～B(5，4

，故其分5)布列為P(X＝k)＝Ck

4)k(1－4)5－k(k＝0,1,2,3,4,5)．5(5

5(1)“5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確”的概率為P(X＝2)2542＝C

×(5)

×(1－4)3＝10×16

1

≈0.05.5

25×125【例3】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2

位)(1)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確的概率；(2)5

次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；(3)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確，且其中第3

次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．題型分類·深度剖析思維啟迪解析探究提高題型三

獨立重復(fù)試驗與二項分布(2)“5

次預(yù)報中至少有2

次準(zhǔn)確”的概率為P(X≥2)＝1－P(X＝0)－555554

4

4

450

0

5

1

4P(X＝1)＝1－C

×( )

×(1－

)

－C

×

×(1－

)

＝1－0.000

32－0.006

4≈0.99.(3)“5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確，且其中第3

次預(yù)報準(zhǔn)確”的概率為C1454

4

3

45

5×

×(1－

)

×

≈0.02.【例3】某氣象站天氣預(yù)報的準(zhǔn)確率為80%，計算：(結(jié)果保留到小數(shù)點后第2

位)5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確的概率；5

次預(yù)報中至少有2次準(zhǔn)確的概率；5

次預(yù)報中恰有2

次準(zhǔn)確，且其中第3

次預(yù)報準(zhǔn)確的概率．題型分類·深度剖析獨立重復(fù)試驗是相互獨立事件的特例(概率公式也是如此)，就像對立事件是互斥事件的特例一樣，只要有“恰好”字樣的用獨立重復(fù)試驗的概率公式計算更簡單，就像有

“至少”或“至多”字樣的題用對立事件的概率公式計算更簡單一樣．解析思維啟迪

探究提高題型三

獨立重復(fù)試驗與二項分布題型分類·深度剖析變式訓(xùn)練3

某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．(1)任選1

名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(2)任選3

名下崗人員，記X

為3

人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求X

的分布列．解

(1)任選

1

名下崗人員，記“該人參加過財會培訓(xùn)”為事件

A，“該人參加過計算機(jī)培訓(xùn)”為事件

B，由題設(shè)知，事件

A

與

B

相互獨立，且

P(A)＝0.6，P(B)＝0.75.所以，該下崗人員沒有參加過培訓(xùn)的概率是

P(

A B

)＝P(

A

)·P(

B

)＝(1－0.6)(1－0.75)＝0.1.題型分類·深度剖析變式訓(xùn)練3

某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．任選1

名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(2)任選3

名下崗人員，記X

為3

人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求X

的分布列．∴該人參加過培訓(xùn)的概率為1－0.1＝0.9.因為每個人的選擇是相互獨立的，所以3

人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)X

服從二項分布X～B(3,0.9)，3P(X＝k)＝C

0.9

×0.1k

k

3－k，k＝0,1,2,3，題型分類·深度剖析變式訓(xùn)練3

某地區(qū)為下崗人員免費提供財會和計算機(jī)培訓(xùn)，以提高下崗人員的再就業(yè)能力，每名下崗人員可以選擇參加一項培訓(xùn)、參加兩項培訓(xùn)或不參加培訓(xùn)，已知參加過財會培訓(xùn)的有60%，參加過計算機(jī)培訓(xùn)的有75%，假設(shè)每個人對培訓(xùn)項目的選擇是相互獨立的，且各人的選擇相互之間沒有影響．(1)任選1

名下崗人員，求該人參加過培訓(xùn)的概率；(2)任選3

名下崗人員，記X

為3

人中參加過培訓(xùn)的人數(shù)，求X

的分布列．∴X

的分布列是X0123P0.0010.0270.2430.729易錯警示

17.對二項分布理解不準(zhǔn)致誤題型分類·深度剖析典例：(12

分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6

個交通崗，1假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是3.設(shè)X

為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X

的分布列；設(shè)Y

為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y

的分布列．易

錯

分

析

規(guī)

范

解

答

溫

馨

提

醒典例：(12

分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6

個交通崗，1假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是3.設(shè)X

為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X

的分布列；設(shè)Y

為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y

的分布列．題型分類·深度剖析易

錯

分

析

規(guī)

范

解

答

溫

馨

提

醒由于這名學(xué)生在各個交通崗遇到紅燈的事件相互獨立，可以利用二項分布解決，二項分布模型的建立是易錯點；另外，對“首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)

Y”理解不當(dāng)，將“沒有遇上紅燈的概率也當(dāng)

1”．成3易錯警示

17.對二項分布理解不準(zhǔn)致誤典例：(12

分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6

個交通崗，1假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是3.設(shè)X

為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X

的分布列；設(shè)Y

為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y

的分布列．題型分類·深度剖析1解

(1)將通過每個交通崗看做一次試驗，則遇到紅燈的概率為3，且每次

1試驗結(jié)果是相互獨立的，故X～B6，3.易

錯

分

析

規(guī)

范

解

答

溫

馨

提

醒所以

X

的分布列為

P(X＝k)＝C6

·

3

3k1k

26－k，k＝0,1,2,3,4,5,6.2分5分(2)由于Y

表示這名學(xué)生在首次停車時經(jīng)過的路口數(shù),顯然Y

是隨機(jī)變量,其取值為0,1,2,3,4,5,6.其中：{Y＝k}(k＝0,1,2,3,4,5)表示前k

個路口沒有遇上紅燈，但在第k＋1個路口遇上紅燈，故各概率應(yīng)按獨立事件同時發(fā)生計算．7分易錯警示

17.對二項分布理解不準(zhǔn)致誤典例：(12

分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6

個交通崗，1假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是3.設(shè)X

為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X

的分布列；設(shè)Y

為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y

的分布列．題型分類·深度剖析2率為

P(Y＝6)＝(

)6，易

錯

分

析

規(guī)

范

解

答

溫

馨

提

醒P(Y＝k)＝

2

k·1(k＝0,1,2,3,4,5)，而{Y＝6}表示一路沒有遇上紅燈．故其概(3)

33因此Y

的分布列為Y0123456P131

23·31

2

23·(3)1

2

33·(3)1

2

43·(3)1

2

53·(3)2

6(3)9分12分易錯警示

17.對二項分布理解不準(zhǔn)致誤典例：(12

分)一名學(xué)生每天騎車上學(xué)，從他家到學(xué)校的途中有6

個交通崗，1假設(shè)他在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是3.設(shè)X

為這名學(xué)生在途中遇到紅燈的次數(shù)，求X

的分布列；設(shè)Y

為這名學(xué)生在首次停車前經(jīng)過的路口數(shù)，求Y

的分布列．題型分類·深度剖析n

n(2)獨立重復(fù)試驗中的概率公式P

(k)＝C

p

(1－p)—k

k

n

k表示的是n

次獨立重復(fù)試驗中事件A

發(fā)生k

次的概率，p

與(1－p)的位置不能互換，否則該式子表示的意義就發(fā)生了改變，變?yōu)槭录嗀

有k

次不發(fā)生的概率了.易

錯

分

析

規(guī)

范

解

答

溫

馨

提

醒(1)二項分布是高中概率部分最重要的概率分布模型，是近幾年高考非常注重的一個考點．二項分布概率模型的特點是“獨立性”和“重復(fù)性”，事件的發(fā)生都是獨立的、相互之間沒有影響，事件又在相同的條件之下重復(fù)發(fā)生．易錯警示

17.對二項分布理解不準(zhǔn)致誤思想方法·感悟提高方法與技巧P(AB)

n(AB)

n(AB)1．古典概型中，A

發(fā)生的條件下B

發(fā)生的條件概率公式為P(B|A)＝

P(A)＝

n(A)，其中，在實際應(yīng)用中P(B|A)＝

n(A)是一種重要的求條件概率的方法．2．相互獨立事件與互斥事件的區(qū)別相互獨立事件是指兩個事件發(fā)生的概率互不影響,計算式為P(AB)＝P(A)P(B)．互斥事件是指在同一試驗中,兩個

事件不會同時發(fā)生，計算公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．3．n

次獨立重復(fù)試驗中，事件A

恰好發(fā)生k

次可看做是nCk個互斥事件的和，其中每一個事件都可看做是k

個A事件與n－k

個A

事件同時發(fā)生，只是發(fā)生的次序不同，其發(fā)生的概率都是pk(1－p)n－k.因此n

次獨立重復(fù)試驗nk

k中事件A恰好發(fā)生k

次的概率為C

p

(1－—n

kp)

.思想方法·感悟提高失誤與防范運用公式P(AB)＝P(A)P(B)時一定要注意公式成立的條件，只有當(dāng)事件A、B

相互獨立時，公式才成立．獨立重復(fù)試驗中，每一次試驗只有兩種結(jié)果，即某事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生，并且任何一次試驗中某事件發(fā)生的概率相等．注意恰好與至多(少)的關(guān)系，靈活運用對立事件．練出高分A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分1．(2011·遼寧)從1,2,3,4,5

中任取2

個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2

個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2

個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于

(

)A.1

B.8

41

2C.51D.2解析1．(2011·遼寧)從1,2,3,4,5

中任取2

個不同的數(shù)，事件A＝“取到的2

個數(shù)之和為偶數(shù)”，事件B＝“取到的2

個數(shù)均為偶數(shù)”，則P(B|A)等于A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分(

B

)P(A)＝3C2＋C222C5

52＝，P(AB)＝C2C252＝101

，A.1

1

2

18

B.4

C.5

D.2解析P(B|A)＝P(AB)1P(A)＝4.A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析方法一

由題意知

K，A1，A2

正常工作的概率分別為

P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，∵K，A1，A2

相互獨立，∴A1，A2

至少有一個正常工作的概率為P(A1

A2)＋P(A1

A

2)＋P(A1A2)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)＋0.8×0.8＝0.96.A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[P(A1

A2)＋P(A1

A

2)＋P(A1A2)]＝0.9×0.96＝0.864.B方法二

A1，A2

至少有一個正常工作的概率為

1－P(

A

1

A

2)＝

1

－(1

－0.8)(1

－0.8)＝

0.96

，∴系統(tǒng)正常工作的概率為P(K)[1－P(

A

1

A

2)]＝0.9×0.96＝0.864.解析A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分3．(2011·廣東)甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為

(

)A.1

B.2

53

2C.33D.4解析3．(2011·廣東)甲、乙兩隊進(jìn)行排球決賽，現(xiàn)在的情形是甲隊只要再贏一局就獲冠軍，乙隊需要再贏兩局才能得冠軍，若兩隊勝每局的概率相同，則甲隊獲得冠軍的概率為3

2

3A.1

B.

C.

D.2

5

3

4A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析甲隊若要獲得冠軍，有兩種情況，可以直接勝一局，獲得冠軍，1

1

1概率為2，也可以乙隊先勝一局，甲隊再勝一局，概率為2×2＝1

1

1

34，故甲隊獲得冠軍的概率為4＋2＝4.(

D

)A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分4．已知隨機(jī)變量X

服從二項分布X～B(61，3)，則P(X＝2)等于(

)A.1316B.

4243C.

13243D.

80243解析A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分4．已知隨機(jī)變量X

服從二項分布X～B(61，3)，則P(X＝2)等于A.1316B.

4243C.

13243D.

80243解析6

3P(X＝2)＝C2(1)2(1－3

2431)4＝

80

.(

D

)A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分5．明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為

0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是

0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是

．解析A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析1－0.20×0.10＝1－0.02＝0.98.5．明天上午李明要參加奧運志愿者活動，為了準(zhǔn)時起床，他用甲、乙兩個鬧鐘叫醒自己．假設(shè)甲鬧鐘準(zhǔn)時響的概率為

0.80，乙鬧鐘準(zhǔn)時響的概率是

0.90，則兩個鬧鐘至少有一個準(zhǔn)時響的概率是

0.98

．A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練練出高分1234567896．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中25至多命中一次的概率為16

，則該隊員每次罰球的命中率為

．解析6．某籃球隊員在比賽中每次罰球的命中率相同，且在兩次罰球中25至多命中一次的概率為16

，則該隊員每次罰球的命中率為A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析設(shè)該隊員每次罰球的命中率為

p(其中

0<p<1)，則依題意有1－p2

16，p2＝

9

.＝25

253

5

．5又0<p<1，因此有p＝3.A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分7．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占

70%，乙廠產(chǎn)品占

30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是

95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是

80%，則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是

．解析7．市場上供應(yīng)的燈泡中，甲廠產(chǎn)品占70%，乙廠產(chǎn)品占30%，甲廠產(chǎn)品的合格率是95%，乙廠產(chǎn)品的合格率是80%，則從市場上買到一個是甲廠生產(chǎn)的合格燈泡的概率是

．A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析記A＝“甲廠產(chǎn)品”，B＝“合格產(chǎn)品”，則P(A)＝0.7，P(B|A)＝0.95.∴P(AB)＝P(A)·P(B|A)＝0.7×0.95＝0.665.0.665A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分8．(10分)(2011·大綱全國)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立．求該地1

位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1

種的概率；求該地的3

位車主中恰有1

位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．解析8．(10分)(2011·大綱全國)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立．求該地1

位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1

種的概率；求該地的3

位車主中恰有1

位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析解

記

A

表示事件：該地的

1

位車主購買甲種保險；B

表示事件：該地的1

位車主購買乙種保險但不購買甲種保險；C

表示事件：該地的1

位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1

種；D

表示事件：該地的1

位車主甲、乙兩種保險都不購買；E

表示事件：該地的3

位車主中恰有1

位車主甲、乙兩種保險都不購買．A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分3P(E)＝C1×0.2×0.82＝0.384.8．(10分)(2011·大綱全國)根據(jù)以往統(tǒng)計資料，某地車主購買甲種保險的概率為0.5，購買乙種保險但不購買甲種保險的概率為0.3.設(shè)各車主購買保險相互獨立．求該地1

位車主至少購買甲、乙兩種保險中的1

種的概率；求該地的3

位車主中恰有1

位車主甲、乙兩種保險都不購買的概率．解析P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B，P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.D＝

C

，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分9．(12

分)某籃球隊與其他6支籃球隊依次進(jìn)行6

場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，1并且勝場的概率是3.求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負(fù)了兩場的概率；求這支籃球隊在6

場比賽中恰好勝了3

場的概率．解析9．(12

分)某籃球隊與其他6支籃球隊依次進(jìn)行6

場比賽，每場均決出勝負(fù)，設(shè)這支籃球隊與其他籃球隊比賽勝場的事件是獨立的，1并且勝場的概率是3.求這支籃球隊首次勝場前已經(jīng)負(fù)了兩場的概率；求這支籃球隊在6

場比賽中恰好勝了3

場的概率．A組 專項基礎(chǔ)訓(xùn)練123456789練出高分解析

121

4

解

(1)P＝1－3

×3＝27.

4

所以這支籃球隊首次勝場前已負(fù)兩場的概率為27；6(2)6

場勝3

場的情況有C3種，63

1

1∴P＝C3

31－

3＝20×

×1

8

1603

27

27

729＝

.729所以這支籃球隊在6

場比賽中恰勝3

場的概率為160.B組 專項能力提升1234567練出高分B組 專項能力提升1234567練出高分1．某種元件的使用壽命超過

1

年的概率為

0.6，使用壽命超過

2年的概率為

0.3，則使用壽命超過

1

年的元件還能繼續(xù)使用的概率為

(

)A．0.3

B．0.5

C．0.6

D．1解析1．某種元件的使用壽命超過1

年的概率為0.6，使用壽命超過2年的概率為0.3，則使用壽命超過1

年的元件還能繼續(xù)使用的概率為A．0.3

B．0.5

C．0.6

D．1B組 專項能力提升1234567練出高分(

B

)解析設(shè)事件A為“該元件的使用壽命超過1

年”，B

為“該元件的使用壽命超過2

年”，則P(A)＝0.6，P(B)＝0.3.因為B?A，所以P(AB)＝P(B)＝0.3，P(A)＝0.6于是P(B|A)＝P(AB)

0.3＝0.5.B組 專項能力提升1234567練出高分2．位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點

P

按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率1都是2.質(zhì)點

P

移動五次后位于點(2,3)的概率是

(

)A．

B．C5

215

215C．C5

223132D．C5C5

23152．位于坐標(biāo)原點的一個質(zhì)點

P

按下述規(guī)則移動：質(zhì)點每次移動一個單位；移動的方向為向上或向右，并且向上、向右移動的概率1都是2.質(zhì)點P

移動五次后位于點(2,3)的概率是A．

B．C5

215

215C．C5

223132D．C5C5

2315B組 專項能力提升1234567練出高分(

B

)B組 專項能力提升1234567練出高分2

33．兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為3和4，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為

(

)A.1

B.

5

C.1

D.12

12

4

6解析2

33．兩個實習(xí)生每人加工一個零件，加工為一等品的概率分別為3和4，兩個零件是否加工為一等品相互獨立，則這兩個零件中恰有一個一等品的概率為A.1

B.

52

12C.1D.14

6B組 專項能力提升1234567練出高分解析設(shè)事件A：甲實習(xí)生加工的零件為一等品；2事件B：乙實習(xí)生加工的零件為一等