問題的提出拉格朗日插值埃爾米特插值曲線擬合的最小二乘法第三章插值法

/*Interpolation*/1精選課件ppt§1問題的提出函數(shù)y=f(x)1）解析式未知；2）雖有解析式但表達(dá)式較復(fù)雜，通過實驗計算得到的一組數(shù)據(jù)，即在某個區(qū)間[a,b]上給出一系列點的函數(shù)值yi=f(xi)，xx0x1x2……xny=f(x)y0y1y2……yn3）列表函數(shù)問題：無法求出不在表中的點的函數(shù)值，也不能進(jìn)一步研究函數(shù)的其他性質(zhì)，如函數(shù)的積分和導(dǎo)數(shù)等。因此需尋找y=f(x)的近似函數(shù)p(x),但要求p(xi)=f(xi)?！逯祮栴}2精選課件ppt已知精確函數(shù)y=f(x)在一系列節(jié)點x0…xn

處測得函數(shù)值y0

=f(x0),…yn

=f(xn)，由此構(gòu)造一個簡單易算的近似函數(shù)p(x)

f(x)，滿足條件p(xi)=f(xi)(i=0,…n)。這里的p(x)

稱為f(x)的插值函數(shù)。最常用的插值函數(shù)是…?多項式x0x1x2x3x4xp(x)

f(x)3精選課件ppt§1.1Taylor插值函數(shù)y=f(x)在點x0處展開有Taylor

多項式:可見:Pn(k)(x0)=f

(k)(x0)k=0,1,…,n因此,Pn(x)在點x0鄰近會很好的逼近f(x).

Taylor展開方法就是一種插值方法.泰勒插值要求提供

f(x)在點x0處的各階導(dǎo)數(shù),這僅僅適用于f(x)相當(dāng)簡單的情況.4精選課件ppt

設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[a,b]上有定義，且給出一系列點上的函數(shù)值yi=f(xi)(i=0,1,2,…,n)，求作n次多項式pn(x)

使得

pn

(xi)=yi(i=0,1,2,…,n)

函數(shù)pn

(x)為f(x)的插值函數(shù)；稱x0,x1,…xn稱為插值節(jié)點或簡稱節(jié)點。插值節(jié)點所界的區(qū)間[a,b]稱為插值區(qū)間。pn

(xi)=yi

稱為插值條件。

構(gòu)造的n次多項式可表示為:

Pn(x)=a0+a1x+a2x2+…+anxn

§1.2Lagrange插值5精選課件ppt定理(插值多項式的存在唯一性)滿足的n

階插值多項式是唯一存在的。證明：(利用Vandermonde

行列式論證)這是一個關(guān)于a0,a1,…an的n+1元線性方程組,其系數(shù)行列式:由于i≠j時,xi≠

xj,因此,即方程組有唯一解.

6精選課件ppt§2拉格朗日插值公式niyxPiin,...,0,)(==求n

次多項式使得條件：無重合節(jié)點，即n=1已知x0

,x1

;

y0

,

y1

，求使得111001)(,)(yxPyxP==可見P1(x)是過(x0,y0

)和(x1,y1

)兩點的直線。)()(0010101xxxxyyyxP---+=101xxxx--010xxxx--=y0

+y1l0(x)l1(x)==10)(iiiyxl稱為拉氏基函數(shù)7精選課件ppt直線方程的兩點式：線性插值l0(x)l1(x)==10)(iiiyxlL1(x)8精選課件ppt拋物插值l0(x)l1(x)l2(x)9精選課件pptn

1li(x)每個li有n

個根x0…

xi…xn=-=---=njjijiniiixxCxxxxxxCxl00)())...()...(()(-==jijiiiixxCxl)(11)(N次拉格朗日插值多項式與有關(guān)，而與無關(guān)節(jié)點f希望找到li(x)，i=0,…,n

使得

li(xj)=

；然后令==niiinyxlxP0)()(，則顯然有Pn(xi)=

yi

。n次多項式10精選課件ppt

插值余項/*Remainder*/設(shè)節(jié)點在[a,b]內(nèi)存在,考察截斷誤差，且f

滿足條件,用簡單的插值函數(shù)Ln(x)代替原復(fù)雜函數(shù)f(x),其精度取決于截斷誤差,即插值余項.——拉格朗日余項定理11精選課件ppt注：

通常不能確定,而是估計,x(a,b)

將作為誤差估計上限。當(dāng)

f(x)為任一個次數(shù)n

的多項式時，,可知，即插值多項式對于次數(shù)n的多項式是精確的。12精選課件ppt例：已知分別利用sinx的1次、2次Lagrange插值計算sin50

并估計誤差。解：n=1分別利用x0,x1

以及x1,x2

計算利用這里而sin50=0.7660444…)185(50sin10pL0.77614外推

/*extrapolation*/

的實際誤差0.01001利用sin500.76008,內(nèi)插

/*interpolation*/

的實際誤差0.00596內(nèi)插通常優(yōu)于外推。選擇要計算的x

所在的區(qū)間的端點，插值效果較好。13精選課件pptn=2)185(50sin20pL0.76543sin50=0.7660444…2次插值的實際誤差0.00061高次插值通常優(yōu)于低次插值但絕對不是次數(shù)越高就越好，嘿嘿……14精選課件ppt

拉格朗日插值多項式編程容易，只需雙重循環(huán)

如果發(fā)現(xiàn)當(dāng)前的插值方法不夠精確，就要增加插值點的個數(shù)，則拉格朗日插值基函數(shù)li(x)都將重新計算。

牛頓插值法將討論該問題。15精選課件ppt例：已知數(shù)據(jù)表

xk10111213f(xk)2.30262.39792.48492.5649試用二次插值計算f(11.75)(計算過程保留4位小數(shù))．

解：因為11.75更接近12，故應(yīng)取11，12，13三點作二次插值．先作插值基函數(shù)．已知x0=11,y0=2.3979，x1=12,y0=2.4849，x2=13,y2=2.5649

Ｌ2(x)=f(11.75)Ｌ2(11.75)=

16精選課件ppt例已知x=1,4,9的平方根值，用拉格朗日插值公式求71/2解：x0=1,x1=4,x2=9f(x0)=1,f(x1)=2,f(x2)=3L2(7)=(1–4)(1–9)(7–4)(7–9)*1+(4–1)(4–9)(7–1)(7–9)*2+(9–1)(9–4)(7–1)(7–4)*3=2.7(x0–x1)(x0–x2)(x–x1