建筑力學(xué)第五章內(nèi)力與內(nèi)力圖教師：鄒定祺1建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖內(nèi)容：1、內(nèi)力的求解方法2、內(nèi)力圖的繪制方法重點(diǎn)：1、用簡易法計算內(nèi)力2、利用微分關(guān)系繪制內(nèi)力圖的方法，尤其是平面彎曲梁的剪力圖和彎矩圖2建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.1基本概念5.1.1內(nèi)力的概念

由于外力作用而引起的物體內(nèi)部相互作用力的改變量，稱為附加內(nèi)力，簡稱內(nèi)力。5.1.2求內(nèi)力的截面法為了顯示某一截面的內(nèi)力，必須用一假想的截面截開物體，才能顯示出作用在該截面上的內(nèi)力。截面上的內(nèi)力一般有軸力（FN)、剪力（FQ)和彎矩(M)。3建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖

1、切開；2、代力；3、平衡?！艶ix=0∑Fiy=0∑mo(Fi)=0F1F2F3F4MnnF1F2nnFQMFN4建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖截面法求內(nèi)力的步驟：1）截開：欲求某一截面上的內(nèi)力時，就沿著該截面假想地把構(gòu)件分成兩部分，任意留下一部分作為研究對象，棄去另一部分。2）替代：用作用在截面上的內(nèi)力，代替棄去部分對保留部分的作用。3）平衡：根據(jù)保留部分的平衡條件，建立平衡方程，確定未知內(nèi)力。5建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.2軸向拉壓桿的內(nèi)力與內(nèi)力圖*一般工程中的拉壓桿都是直桿。*拉壓桿橫截面上的內(nèi)力是一個分布力系，其合力（FN)的作用線與桿軸線重合,稱為軸力。規(guī)定，F(xiàn)N箭頭指向背離截面（拉力）時為正。反之取負(fù)（使截面受壓）。*軸力圖，正值得軸力畫在橫軸線的上側(cè)，負(fù)值得軸力畫在下側(cè)。6建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖軸向拉壓桿的內(nèi)力稱為軸力.其作用線與桿的軸線重合,用符號ＦＮ

表示

1、切開；2、代力；3、平衡。7建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖8建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖例：FAB113F22C2F4KN9KN3KN2KN4KN5KN2KNF2F9建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.3扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力與內(nèi)力圖5.3.1扭轉(zhuǎn)的概念在外力作用下，桿件各橫截面均繞桿軸線相對轉(zhuǎn)動，桿軸線始終保持直線，這種變形形式稱為扭轉(zhuǎn)變形。10建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.3.2扭轉(zhuǎn)桿件的內(nèi)力與內(nèi)力圖*扭矩是作用在垂直于桿件軸線的平面內(nèi)的力偶。桿件任意兩個橫截面之間相對轉(zhuǎn)過得角度，稱為扭轉(zhuǎn)角。外力偶Me外力偶扭矩Mt11建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖*扭矩正負(fù)號的規(guī)定：用右手螺旋法則，以右手的四指表示扭矩的轉(zhuǎn)向，當(dāng)姆指的指向與截面外法線方向一致時，扭矩為正好；反之，為負(fù)號12建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖外力偶矩工程中一般不直接給出作用于軸上的外力偶矩，只給出傳動軸的轉(zhuǎn)速及其所傳遞的功率。它們之間的關(guān)系為：式中：為作用在軸上的外力偶矩；P為傳動軸所傳遞的功率；n為傳動軸的轉(zhuǎn)速。通常，輸入力偶矩為主動力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向相同；輸出力偶矩為阻力偶矩，其轉(zhuǎn)向與軸的轉(zhuǎn)向13建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.4平面彎曲梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖14建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.4平面彎曲梁的內(nèi)力與內(nèi)力圖5.4.1彎曲變形的概念以軸線變彎為主要特征的變形形式稱為彎曲變形或簡稱彎曲。以彎曲為主要變形的桿件稱為梁。15建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖1.平面彎曲常見梁的截面形式梁的彎曲平面與外力作用平面相重合的彎曲稱為平面彎曲。16建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖平面彎曲的特點(diǎn)：*具有縱向?qū)ΨQ面*外力都作用在此面內(nèi)*彎曲變形后軸線變成對稱面內(nèi)的平面曲線17建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖2.梁的計算簡圖（1）梁身的簡化：用梁的軸線。（2）荷載的簡化：集中力—當(dāng)外力的作用范圍與梁的尺寸相比很小時，可視為作用在一點(diǎn)上。力偶—當(dāng)作用在梁上的兩個集中力大小相等、反向相反，作用線相鄰很近時，可視為集中力偶。分布力—連續(xù)作用在梁上的全長或部分長度內(nèi)的荷載表示為分布荷載。（3）支座的簡化：固定鉸支座、可動鉸支座、固定端支座。18建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖1）固定鉸支座螺栓AAFAxFAy19建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖2）可動鉸支座AAFA墊塊...20建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖3）固定端支座FAxFAymAA21建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖3.梁的類型1）簡支梁2）外伸梁3）懸臂梁22建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.4.2梁彎曲時橫截面上的內(nèi)力—剪力和彎矩1.剪力和彎矩的概念.mF∑Fiy=0:.ABFAy-FQ=0.amFQ=FAy.L∑M=0:.FAyFByFAy·a-M=0.mMM=FAy·a.A.amFQF.FAyMFQ.B.mL-a.FBy23建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖*無論取哪一部分為研究對象，同一截面左右兩面上的剪力和彎矩不僅數(shù)值相同，而且符號也一致。*FQ和M的正負(fù)號規(guī)定：.FQFQ.左

+右左

-右..∑mi左∑mi右..左MM右左右.∑mi左

MM∑mi右

.+

-24建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖用截面上法計算指定截面剪力和彎矩的步驟：1)計算支座反力。2）用假想的截面在求內(nèi)力處將梁截成兩部分，取其一（力較少的）部分為研究對象。3）畫出研究對象的受力圖，截面上的剪力和彎矩一般都先假設(shè)為正。4）建立平衡方程，求內(nèi)力。見例題25建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖【例5-5】如圖(a)所示外伸梁，已知q=4kN/m,F=6kN,求1-1截面上的剪力和彎矩?！窘狻浚?）求支反力

如圖(b)，設(shè)A、B處支反力為FAy、FBy，由平衡方程式∑MA=0FBy×6-(q×6)×3-F×7=0得FBy=19kN(↑)∑MB=0-FAy×6+(q×6)×3-F×1=0得FAy=11kN(↑)校核∑Fix=FAy+FBy-q×6-F=11+19-4×6-6=0表明支反力計算正確。A112m6m1mqFBAFAyFBy112m6m1mBFq26建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖（2）計算1-1截面的內(nèi)力。將梁沿1-1截面截開，選左端為研究對象。截面上的彎矩和剪力按正方向假設(shè)，如圖（c）。列平衡方程∑F=0：FAy-q×2-FQ1=0得FQ1=FAy-q×2=11-4×2=3kN∑M1-1=0:-FAy×2+(q×2)×1+M1=0得M1=FAy×2-(q×2)×1=11×2-4×2×1=14kN.mFQ1、M1都為正號，表示FQ1、M1的真實方向與圖(c)中所示的方向相同，即彎矩和剪力都是正的。M1FQ1FAyA112mM1FQ1qF3m1m11FBy27建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖【例5-6】圖(a)所示懸臂梁，q=3kN/m,F=10kN。求1-1截面上的剪力和彎矩?！窘狻繉冶哿嚎刹磺笾ё戳?，直接選右段為研究對象，截面上的剪力彎矩均按正方向假設(shè)，如圖(b)所示。列平衡方程∑Fiy=0:FQ1-F-q×4=0FQ1=F+q×4=10+3×4=22kN∑M1-1=0:-F×4-q×4×2–M1=0M1=-F×4-q×4×2=-10×4-3×4×2=-64kN.mFQ1為正號，表示FQ1的真實方向與圖(b)中所示相同；M1為負(fù)號，表示M1的真實方向與圖中所示方向相反。AB112m4mFq11M1FQ1FB4mq28建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖2.簡易法計算內(nèi)力*計算剪力時，根據(jù)脫離體建立投影方程∑Fiy=0,

經(jīng)過移項后可得

FQ=∑Fiy左或FQ=-∑Fiy右。*計算彎矩時，根據(jù)脫離體建立對截面形心o的力矩平衡方程∑M=0，經(jīng)過移項后可得

Mo=∑Mo(Fi左)或MO=∑Mo(Fi右)當(dāng)力矩使脫離體產(chǎn)生下凸變形時，其值取正號,反之，取負(fù)號。

*剪力和彎矩都按正方向假設(shè)。29建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖【例5-7】圖(a)所示外伸梁，q=3kN,用簡易內(nèi)力計算法求兩1-1、2-2截面的剪力和彎矩?！窘狻浚?）求支反力∑MA=0:FBy×6–(q×8)×4=0FBy=16kN(↑)∑MB=0:-FAy×6+(q×8)×2=0FAy=8kN(↑)校核∑Fiy=FAy+FBy-q×8=16+8-3×8=0說明支反力計算正確。（2）計算1-1、2-2截面內(nèi)力，A1122B3m6m2mqq11A22B3m6m2mFAyFBy2m30建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖取1-1截面左端部分為研究對象計算1-1截面上的剪力和彎矩。按照順時鐘轉(zhuǎn)剪力為正，下凸彎矩為正的原則，可求得:FQ1=∑F左=FAy-q×3=8-3×3=-1kN(逆轉(zhuǎn)）M1=FAy×3-q×3×1.5=8×3-3×3×1.5=10.5kN.m（向下凸）同理，取2-2左面部分為研究對象計算2-2截面上的剪力和彎矩：FQ2=FAy-q×6=8-3×6=-10kN（逆轉(zhuǎn)）M2=FAy×6-q×6×3=8×6-3×6×3=-6kN.m(上凸)計算結(jié)果相同。AFAy=8kNq3m6m2mBFBy=16kN112231建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖如果取截面右邊為研究對象，結(jié)果一樣：取1-1截面右端部分為研究對象FQ1=-∑F右=-(FBy-q×5)=-(16-3×5)=-kN(逆轉(zhuǎn)）M1=FBy×3-q×5×2.5=16×3-3×5×2.5=10.5kN.m(向下凸)取2-2左面部分為研究對象FQ2=-(FBy-q×2)=-(16-3×2)=-10kN（逆轉(zhuǎn)）M2=FBy×0-q×2×1=0-3×2×1=-6kN.m(上凸)AFAy=8kNq3m6m2mBFBy=16kN112232建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.4.3用內(nèi)力方程法繪制剪力圖和彎矩圖1.內(nèi)力方程

FQ=FQ(x),M=M(x)2.剪力圖和彎矩圖正負(fù)號：.FQ..+-.xx..-+..M見例題33建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖【例5-8】畫出簡支梁受集中荷載時的剪力和彎矩圖?！窘狻浚?）求支座反力∑MA=0:FBy×l-F×a=0FBy=Fa/lkN(↑)∑MB=0:-FAy×l+F×b=0FAy=Fb/lkN(↑)(2)列剪力和彎矩方程：AC段：FQ(x1)=FAy=Fb/l(0<x1<a)M(x1)=FAyx1=Fbx/l(0≤x1≤a)ABFabl(a)ABFAyFByablx1x2(b)CCF34建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖CB段：FQ(x2)=FAy-F=Fb/l–F=-Fa/l(a<x2<l)M(x2)=FAyx2–F(x2-a)=Fbx2/l–F(x2-a)=Fa(l-x2)/l(a≤x2≤l)

（3）畫剪力圖和彎矩圖FQ圖：FQ(x1)和FQ(x2)均為常數(shù)，故，剪力圖在AC段和CB段都是平行于x軸的直線。如圖(c).M圖：M(x1)和M(x2)都是一次函數(shù)，故，AC段和CB段的彎矩圖都是斜直線。AC段：x1=0時MA=0,x1=a時MC=Fab/lCB段：x2=a時MC=Fab/l,x2=l時MB=0.如圖(d)。FblFalFQ圖(kN)(c)FablM圖(kN.m)(d)35建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖由圖(d)可知，在集中力作用處的截面上的彎矩值最大，其值為Mmax=Fab/l若集中力作用在梁的中點(diǎn)，如圖(e)則：FQmax=F/2Mmax=FL/4其剪力圖和彎矩圖分別如圖(f)和(g).Fl/2l/2lABCF/2F/2FL/4FQ圖(kN)M圖(kN.m)(e)(f)(g)36建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖5.4.4用微分關(guān)系法繪制剪力圖和彎矩圖1.荷載集度、剪力和彎矩之間的微分關(guān)系.yq(x).q(x)FQ(x)..M(x)CM(x)+dM(x)..ABX.XdxdxFQ(x)+Dfq(x).由∑Fiy=0:FQ(x)+q(x)dx-[FQ(x)+dFQ(x)]=0得

（5-8）剪力圖上某點(diǎn)的斜率等于梁上相應(yīng)位置處的荷載集度。

37建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖由∑Mc=0:高階小量可以略去-M(x)-FQ(x)dx-q(x)dx2/2+[M(x)+dM(x)]=0得(5-9)彎矩圖上某點(diǎn)的斜率等于相應(yīng)截面上的剪力。再對x求導(dǎo)得

（5-10）二階導(dǎo)數(shù)的正負(fù)可用來判定曲線的凹凸向，若q(x)<0,彎矩圖為下凸曲線，若q(x)>0,彎矩為上凸曲線，即彎矩圖的凹凸方向與q(x)指向一致38建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖2、常見梁剪力圖、彎矩圖與荷載三者間的關(guān)系1）剪力圖與荷載的關(guān)系(1)在均布荷載作用的區(qū)段，當(dāng)x坐標(biāo)自左向右取時，若q(x)方向向下，則FQ圖為下斜直線；若q(x)方向向上，F(xiàn)Q圖為上斜直線。(2)無荷載作用區(qū)段，即q(x)=0，

FQ圖為平行x軸的直線。(3)在集中力作用處，F(xiàn)Q圖有突變，突變方向與外力一致，且突變的數(shù)值等于該集中力的大小。(4)在集中力偶作用處，其左右截面的剪力FQ圖是連續(xù)無變化。39建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖2）彎矩圖與荷載的關(guān)系在均布荷載作用的區(qū)段，M圖為拋物線。(2)當(dāng)q(x)朝下時，當(dāng)q(x)朝上時，M圖為向下凹。M圖為向上凸。(3)在集中力作用處，M圖發(fā)生轉(zhuǎn)折。如果集中力向下，則M圖向下轉(zhuǎn)折；反之，則向上轉(zhuǎn)折。(4)在集中力偶作用處，M圖產(chǎn)生突變，順時針方向的集中力偶使突變方向由上而下；反之，由下向上。突變的數(shù)值等于該集中力偶矩的大小。40建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖3)彎矩圖與剪力圖的關(guān)系(1)任一截面處彎矩圖切線的斜率等于該截面上的剪力。(2)當(dāng)FQ圖為斜直線時，對應(yīng)梁段的M圖為二次拋物線。當(dāng)FQ圖為平行于x軸的直線時，M圖為斜直線。(3)剪力等于零的截面上彎矩具有極值；反之，彎矩具有極值的截面上，剪力不，一定等于零。左右剪力有不同正、負(fù)號的截面，彎矩也具有極值。一般，內(nèi)力圖總的變化趨勢（從左向右），與荷載的指向（箭頭）一致。41建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖一段梁上的外力情況剪力圖的特征彎矩圖的特征最大彎矩所在截面的可能位置不同荷載下剪力圖與彎矩圖的特征q<0向下的均布荷載無荷載集中力PC集中力偶mC向下傾斜的直線或下凸的二次拋物線在Q=0的截面水平直線+一般斜直線或在C處有突變P在C處有尖角或在剪力突變的截面在C處無變化C在C處有突變m在緊靠C的某一側(cè)截面42建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖3.利用上述規(guī)律，可更簡便的繪制剪力圖和彎矩圖，步驟如下：1）計算支座反力。2）確定幾個控制截面：桿件兩端、分布荷載的起點(diǎn)和終點(diǎn)、支座處（對剪力圖，則為支座左右兩邊相鄰截面）、集中荷載作用點(diǎn)（對剪力圖，則為集中荷載作用點(diǎn)左右兩邊相鄰截面）、集中力偶作用點(diǎn)（對彎矩圖，則為集中力偶作用點(diǎn)左右兩邊相鄰截面）。43建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖3）利用簡易計算法，分別計算各個控制截面的剪力值FQ和彎矩值M，并分別標(biāo)在相應(yīng)的剪力圖和彎矩圖上。4）按照前面所述剪力圖和彎矩圖的變化規(guī)律,將剪力圖和彎矩圖上各控制點(diǎn)用相應(yīng)的線段連線。例題44建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖【例5-9】畫出均布荷載作用下簡支梁的剪力圖和彎矩圖。【解】（1）求支座反力∑MB=0:-FAy×l+ql×l/2=0FAy=ql/2（↑）∑MA=0:FBy×l-ql×l/2=0FBy=ql/2（↑）（2）定控制點(diǎn)：A右、B左。（3）FQA右=+ql/2,FQB左=-ql/2如圖(c)，連斜線。MA=0,MB=0,連向下凹的拋物線，如圖(d)。ABqlqABFAyFBylql/2ql/2ql2/8FQ圖M圖(a)(b)(c)(d)ABAB45建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖【例5-10】簡支梁受一集中力偶，畫剪力、彎矩圖?！窘狻浚?）求支座反力可得FAy=Me/l(↑),FBy=-Me/l(↓)（2）定控制點(diǎn)：A右、B左、C左、C右。（3）FQA右=Me/l，F(xiàn)QB左=Me/l

AB上無均布荷載，也無集中荷載，F(xiàn)Q圖為水平線，如(c)圖。MC左=Mea/l，MC右=-Mb/l，MA=MB=0,AC和CB段M圖均為向下斜的斜線，如圖(d)。ABMeabllABMeFAyFByabMe/lMea/lMb/lABFQ圖(kN)M圖（kN.m)CCC(a)(b)(c)(d)46建筑力學(xué)5內(nèi)力內(nèi)力圖幾個典型梁的剪力圖和彎矩圖：FablFb/lFa/lFab/lqlql/2ql/2ql2/8Meab