學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第12講空間幾何體、空間中的位置關(guān)系1。(1）［2018·全國(guó)卷Ⅲ]中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)。構(gòu)件的凸出部分叫榫頭,凹進(jìn)部分叫卯眼，圖M4-12—1中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭.若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體,則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()

圖M4-12—1圖M4—12-2（2)［2013·全國(guó)卷Ⅱ]一個(gè)四面體的頂點(diǎn)在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中的坐標(biāo)分別是（1，0,1）,(1,1,0)，(0,1,1），（0，0,0），畫(huà)該四面體三視圖中的正視圖時(shí),以zOx平面為投影面,則得到的正視圖可以為（）圖M4-12-3［試做］

命題角度由直觀圖求三視圖的問(wèn)題關(guān)鍵一：注意正視圖、側(cè)視圖和俯視圖的觀察方向；關(guān)鍵二：注意看到的輪廓線和棱是實(shí)線，看不到的輪廓線和棱是虛線.2.［2017·全國(guó)卷Ⅰ］某多面體的三視圖如圖M4—12-4所示，其中正視圖和左視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2,俯視圖為等腰直角三角形,該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形,這些梯形的面積之和為()A.10 B。12 C.14 D.16圖M4-12-4［試做］

命題角度與三視圖有關(guān)的幾何體的表面積和體積問(wèn)題(1)關(guān)鍵一:由三視圖想象幾何體的結(jié)構(gòu)特征,并畫(huà)出該幾何體的空間圖形;關(guān)鍵二：搞清楚幾何體的尺寸與三視圖尺寸的關(guān)系；關(guān)鍵三：利用外部補(bǔ)形法，將幾何體補(bǔ)成長(zhǎng)方體或正方體等常見(jiàn)幾何體.（2)看三視圖時(shí)，需注意圖中的虛實(shí)線。（3)求不規(guī)則幾何體的表面積和體積時(shí),通常將所給幾何體分割為基本的柱、錐、臺(tái)體。3.(1）［2018·全國(guó)卷Ⅱ]已知圓錐的頂點(diǎn)為S,母線SA，SB所成角的余弦值為78，SA與圓錐底面所成角為45°。若△SAB的面積為515，則該圓錐的側(cè)面積為（2）[2018·全國(guó)卷Ⅰ］在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=2,AC1與平面BB1C1C所成的角為30°,則該長(zhǎng)方體的體積為（)A.8 B.62 C.82 D.83[試做]

命題角度空間幾何體的面積與體積(1）求規(guī)則幾何體的體積，只需確定底面與相應(yīng)的高,而求一些不規(guī)則幾何體的體積往往需采用分割或補(bǔ)形思想，轉(zhuǎn)化求解.(2)求組合體的表面積時(shí),需注意組合體銜接部分的面積,分清側(cè)面積和表面積.4。（1)[2017·全國(guó)卷Ⅰ］如圖M4—12-5,在下列四個(gè)正方體中，A，B為正方體的兩個(gè)頂點(diǎn),M，N,Q為所在棱的中點(diǎn),則在這四個(gè)正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是（)ABCD圖M4-12—5（2)[2016·全國(guó)卷Ⅱ］α,β是兩個(gè)平面，m,n是兩條直線,有下列四個(gè)命題:①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β。②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n.③如果α∥β，m?α，那么m∥β.④如果m∥n，α∥β，那么m與α所成的角和n與β所成的角相等。其中正確的命題有。（填寫(xiě)所有正確命題的編號(hào))

[試做]

命題角度空間中線面位置關(guān)系的判定關(guān)鍵一:逐個(gè)尋找反例作出否定的判斷，逐個(gè)進(jìn)行邏輯證明作出肯定的判斷；關(guān)鍵二:結(jié)合長(zhǎng)方體模型或?qū)嶋H空間位置作出判斷,但要注意準(zhǔn)確應(yīng)用定理，考慮問(wèn)題全面細(xì)致.5。（1)［2018·全國(guó)卷Ⅲ]設(shè)A,B，C,D是同一個(gè)半徑為4的球的球面上四點(diǎn)，△ABC為等邊三角形且其面積為93,則三棱錐D—ABC體積的最大值為(）A。123 B。183 C.243 D。543（2）[2016·全國(guó)卷Ⅲ]在封閉的直三棱柱ABC—A1B1C1內(nèi)有一個(gè)體積為V的球.若AB⊥BC,AB=6,BC=8,AA1=3,則V的最大值是()A。4π B.9π2 C。6π D.[試做］

命題角度多面體與球(1)解決與球有關(guān)的組合體問(wèn)題:關(guān)鍵一：分清球是內(nèi)切還是外接;關(guān)鍵二：確定球心在多面體中的位置，確定球的半徑或直徑與多面體相關(guān)元素之間的關(guān)系；關(guān)鍵三：球的每個(gè)截面都是圓。(2)設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a，則其外接球的半徑R=64a，內(nèi)切球的半徑r=66。［2018·全國(guó)卷Ⅰ］已知正方體的棱長(zhǎng)為1,每條棱所在直線與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.334 B.233 C。32［試做]

命題角度解決平面截正方體所形成的圖形問(wèn)題關(guān)鍵一：根據(jù)已知條件確定所求平面或與所求平面平行的平面；關(guān)鍵二:根據(jù)平面特點(diǎn)利用數(shù)形結(jié)合思想確定截面形狀。7。（1）[2018·全國(guó)卷Ⅱ]在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1中,AB=BC=1，AA1=3,則異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為（)A。15 B。56 C。55 （2)[2017·全國(guó)卷Ⅱ]已知直三棱柱ABC—A1B1C1中，∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,則異面直線AB1與BC1所成角的余弦值為(）A。32 B.155 C.105 ［試做］

命題角度解決異面直線所成角問(wèn)題（1)關(guān)鍵一:先通過(guò)作圖(三角形中位線、平行四邊形補(bǔ)形)來(lái)構(gòu)造平行線,再通過(guò)解三角形求解；關(guān)鍵二:補(bǔ)形法(補(bǔ)成長(zhǎng)方體、正方體)求解。(2）當(dāng)異面直線所成角為π2時(shí)，兩異面直線互相垂直(3)用空間向量法解決。小題1空間幾何體的三視圖與直觀圖1(1）如圖M4—12—6,在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為棱CD,CC1，A1B1的中點(diǎn)，用過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn),G的平面截正方體，則位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為（）ABCD

圖M4-12—6圖M4-12-7(2)已知某幾何體的三視圖如圖M4—12-8所示，則該幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為 （）圖M4-12—8A。5B.6C.7D。22［聽(tīng)課筆記］

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】識(shí)別三視圖應(yīng)注意以下幾方面：(1)看線型，是線段、虛線還是曲線，確定此幾何體是簡(jiǎn)單多面體還是旋轉(zhuǎn)體;(2）分部分,想整體,看是簡(jiǎn)單幾何體還是組合體；(3)對(duì)比一些熟悉的三視圖模型分析,如正方體、圓錐、三棱錐的三視圖模型?！咀晕覚z測(cè)】1.某幾何體的正視圖與俯視圖如圖M4-12—9，則其側(cè)視圖可能是（）圖M4—12—9ABCD圖M4-12—102。某幾何體的三視圖如圖M4-12-11所示，則此幾何體的各個(gè)面中最大面的面積為(）A。22 B.23 C.32 D。2圖M4-12—113.［2018·北京卷]某四棱錐的三視圖如圖M4-12-12所示,在此四棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）A.1 B.2 C.3 D。4圖M4—12—124.如圖M4-12—13所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,P為BD1的中點(diǎn),則△PAC在該正方體各個(gè)面上的射影可能是（）

圖M4—12—13

①②

③④圖M4-12—14A。①④ B。②③ C.②④ D.①②小題2空間幾何體的表面積與體積2(1）已知矩形ABCD中，AB=2BC,把這個(gè)矩形分別以BC，AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)一周，所成幾何體的側(cè)面積分別記為S1，S2,則S1與S2的比值為 （)A。12 B。1C。2 D.4(2）在三棱錐D-ABC中,CD⊥底面ABC，△ABC為正三角形，若AE∥CD,AB=CD=AE=2,則三棱錐D-ABC與三棱錐E—ABC的公共部分構(gòu)成的幾何體的體積為（)A.39 B.3C。13 D。[聽(tīng)課筆記](méi)

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】高考中求幾何體的表面積和體積易失分點(diǎn):（1)計(jì)算表面積時(shí)，有些面沒(méi)有計(jì)算到,有遺漏；（2)求組合體的表面積時(shí)沒(méi)注意重合部分的面積?！咀晕覚z測(cè)】1。某幾何體的三視圖如圖M4—12—15所示，則該幾何體的表面積為（)圖M4—12—15A.12+82 B.12+62C。14+62 D。16+822。在三棱柱ABC—A1B1C1中,D，E分別為棱BC,A1C1的中點(diǎn),過(guò)A，D，E的截面把三棱柱分成兩部分，則這兩部分的體積之比為 （)A.5∶3 B.2∶1C.17∶7 D.3∶13?！毒耪滤阈g(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著,它在幾何學(xué)中的研究比西方早一千多年。例如“塹堵”指的是底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱；“陽(yáng)馬"指的是底面為矩形,一側(cè)棱垂直于底面的四棱錐。如圖M4-12—16所示，在塹堵ABC—A1B1C1中，AC⊥BC，A1A=AB=2，當(dāng)塹堵ABC—A1B1C1的側(cè)面積取得最大值時(shí),陽(yáng)馬B-A1ACC1的體積為()圖M4-12—16A。4B.8C.4D.4小題3多面體與球角度1外接球問(wèn)題3在矩形ABCD中,AB=4，BC=3，將△ABC沿AC折起,當(dāng)平面ABC⊥平面ACD時(shí)，四面體ABCD的外接球的體積是()A.12512π B.125C。1256π D。125［聽(tīng)課筆記］

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】解決多面體的外接球問(wèn)題，關(guān)鍵是確定球心位置,方法是先選擇多面體中的一面，確定此面多邊形外接圓的圓心，再過(guò)此圓心作垂直于此面的垂線，則球心一定在此垂線上,最后根據(jù)其他頂點(diǎn)情況確定球心的準(zhǔn)確位置。對(duì)于特殊的多面體還可以通過(guò)補(bǔ)成正方體或長(zhǎng)方體的方法找到球心位置.【自我檢測(cè)】1.在三棱錐S—ABC中，SB⊥BC，SA⊥AC，SB=BC，SA=AC，AB=12SC，且三棱錐S—ABC的體積為932,則該三棱錐的外接球半徑是 A.1 B。2C.3 D。42.設(shè)直三棱柱ABC-A1B1C1的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上,且球的表面積是40π,若AB=AC=AA1，∠BAC=23π，則此直三棱柱的高是角度2內(nèi)切球問(wèn)題4設(shè)正三棱錐P-ABC的高為H，且此三棱錐內(nèi)切球的半徑為R，若二面角P-AB—C的正切值為35，則HR=()A。5 B。6C。7 D。8［聽(tīng)課筆記］

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】解決多面體的內(nèi)切球問(wèn)題，一般是將多面體分割為以球心為頂點(diǎn),多面體的各面為底面的棱錐,利用多面體的體積等于各分割棱錐的體積之和求內(nèi)切球的半徑.【自我檢測(cè)】1。在三棱錐P-ABC中，側(cè)棱PA=PB=2，PC=6，當(dāng)三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大時(shí),三棱錐P—ABC內(nèi)切球的表面積是()A。（32—86）π B。(32—166）πC.（40—86）π D。（40—166)π2.已知圓錐的高為3，側(cè)面積為20π,若此圓錐內(nèi)有一個(gè)體積為V的球,則V的最大值為.

小題4空間線面位置關(guān)系的判斷角度1線面位置關(guān)系5(1）已知直線l,m，平面α，β，且l⊥α,m?β,給出下列說(shuō)法:①若α∥β，則l⊥m；②若α⊥β,則l∥m；③若l∥m，則α⊥β;④若l⊥m，則α∥β。其中正確說(shuō)法的序號(hào)是 ()A。①② B.①③C。②④ D.③④(2）如圖M4-12—17，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn),G是EF的中點(diǎn),沿DE，EF，F(xiàn)D將正方形折起，使A，B,C重合于點(diǎn)P，構(gòu)成四面體,則在四面體P—DEF中,給出下列結(jié)論：①PD⊥平面PEF;②PD⊥EF；③DG⊥平面PEF；④DF⊥PE;⑤平面PDE⊥平面PDF.其中正確結(jié)論的序號(hào)是 ()圖M4-12—17A.①②③⑤B.②③④⑤C。①②④⑤D。②④⑤［聽(tīng)課筆記](méi)

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】判斷空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，主要依賴(lài)于四個(gè)公理，平行關(guān)系和垂直關(guān)系的有關(guān)定義及定理.具體處理時(shí)可以構(gòu)建長(zhǎng)方體或三棱錐等模型，把要考查的點(diǎn)、線、面融入模型中，使判斷簡(jiǎn)潔明了。如要否定一結(jié)論,只需找到一個(gè)反例即可?！咀晕覚z測(cè)】1.已知α，β是兩個(gè)不同的平面,l是一條直線，給出下列說(shuō)法:①若l⊥α,α⊥β,則l∥β;②若l∥α，α∥β，則l∥β；③若l⊥α,α∥β，則l⊥β；④若l∥α，α⊥β，則l⊥β.其中正確說(shuō)法的個(gè)數(shù)為(）A。3 B。2C.1 D.02。若l，m為兩條不同的直線，α為一個(gè)平面，且l⊥α，則“m∥α"是“m⊥l”的（)A。充分不必要條件 B.必要不充分條件C。充要條件 D。既不充分也不必要條件角度2異面直線所成的角、線面角6（1）已知△ABC與△BCD均為正三角形，且AB=4。若平面ABC與平面BCD垂直,且異面直線AB與CD所成的角為θ，則cosθ=（）A.-154 B。C。-14 D.(2)已知三棱柱ABC—A1B1C1的側(cè)棱與底面垂直，體積為94，底面是邊長(zhǎng)為3的正三角形。若P為底面A1B1C1的中心,則PA與平面ABC所成角的大小為（A。5π12 B.πC。π4 D。［聽(tīng)課筆記](méi)

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】(1)求異面直線所成的角,一般是通過(guò)平移構(gòu)建三角形求解，要注意異面直線所成的角是銳角或直角，若計(jì)算出鈍角，其補(bǔ)角才是異面直線所成的角.(2）求直線與平面所成角的關(guān)鍵是過(guò)直線上一點(diǎn)作出這個(gè)平面的垂線,進(jìn)而直線與直線在平面內(nèi)的射影所成的角即為直線與平面所成的角.（3）當(dāng)空間關(guān)系較為復(fù)雜時(shí)也可以建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量求解?！咀晕覚z測(cè)】1.如圖M4—12—18所示為一個(gè)半圓柱,△ADE是等腰直角三角形，F(xiàn)是線段CD的中點(diǎn)，AB=4，該半圓柱的體積為18π，則異面直線AB與EF所成角的正弦值為（)圖M4-12-18A.33B.3C。22D。22.在四邊形ABCD中，AD=AB=2，CD=CB=6，且AD⊥AB,現(xiàn)將△ABD沿BD翻折到△A'BD的位置,則在△ABD折起至與平面BCD重合的過(guò)程中,直線A'C與平面BCD所成角最大時(shí)的正弦值為 (）A。55 B.3C。12 D.角度3截面問(wèn)題7（1)在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD—A1B1C1D1中,E為棱AD的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B1且與平面A1BE平行的截面面積為(）A。5 B.25 C。26 D.6(2）已知棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，球O與該正方體的各面都相切,則平面ACD1截此球所得的截面面積為（)A。8π3 B。C.4π3 D。[聽(tīng)課筆記](méi)

【考場(chǎng)點(diǎn)撥】幾何體截面面積問(wèn)題,關(guān)鍵是確定截面圖形的位置、形狀，所經(jīng)過(guò)的點(diǎn)，截面面積根據(jù)有關(guān)數(shù)量進(jìn)行計(jì)算。【自我檢測(cè)】1.已知一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被一個(gè)平面截后所得幾何體的三視圖如圖M4—12-19所示,則該截面的面積為（）A.9B。4C。3D。3圖M4—12—192.過(guò)半徑為4的球O表面上一點(diǎn)A作球O的截面,若OA與該截面所成的角為30°,則該截面的面積是.

模塊四立體幾何與空間向量第12講空間幾何體、空間中的位置關(guān)系典型真題研析1.（1）A(2)A［解析］(1）卯眼的空間立體圖如圖,同時(shí)需要注意,在三視圖中看不見(jiàn)的線用虛線表示，故選A。（2）在空間直角坐標(biāo)系O—xyz中畫(huà)出三棱錐，由已知可知三棱錐O-ABC為題中所描敘的四面體,而其在zOx平面上的投影為正方形EBDO，故選A。2。B[解析]該幾何體為一個(gè)三棱柱和一個(gè)三棱錐的組合體,其直觀圖如圖所示,各個(gè)面中有兩個(gè)全等的梯形，其面積之和為2×2+42×2=123.（1）402π(2）C［解析](1)設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r,因?yàn)镾A與圓錐底面所成角為45°,所以SA=2r.由cos∠ASB=78得sin∠ASB=158,所以12SA·SB·sin∠ASB=12×2r×2r×158=515，所以r2=40,所以圓錐的側(cè)面積為2πr2（2）如圖，連接BC1,易知∠AC1B即為AC1與平面BB1C1C所成的角，由題易知∠AC1B=30°，易得AC1=2AB=4。設(shè)BB1=h,則有42=22+22+h2，解得h=22,所以該長(zhǎng)方體的體積V=2×2×22=82.4。（1）A(2）②③④[解析］因?yàn)镸，N,Q分別為對(duì)應(yīng)棱的中點(diǎn)，所以在選項(xiàng)B，C中均有AB∥MQ,在選項(xiàng)D中,有AB∥NQ,所以在選項(xiàng)B,C,D中均有AB與平面MNQ平行,所以選A。(2)對(duì)于①，m⊥n，m⊥α，n∥β,則α，β的位置關(guān)系無(wú)法確定，故錯(cuò)誤；對(duì)于②，因?yàn)閚∥α，所以可過(guò)直線n作平面γ與平面α相交于直線c,則n∥c，因?yàn)閙⊥α，所以m⊥c，所以m⊥n，故正確；對(duì)于③,由兩個(gè)平面平行的性質(zhì)可知其正確；對(duì)于④，由線面所成角的定義和等角定理可知其正確。故正確的有②③④.5.(1）B（2)B［解析］（1）由題易知當(dāng)點(diǎn)D到平面ABC的距離最大時(shí)，三棱錐D-ABC的體積最大.∵S△ABC=34AB2=93，∴AB=6.設(shè)△ABC的中心為M,由等邊三角形的性質(zhì)得AM=BM=CM=23。設(shè)球心為O，則OA=OB=OC=4，∴OM=OB2∴點(diǎn)D到平面ABC的距離的最大值為OM+4=6.故三棱錐D-ABC體積的最大值為13×93×6=183(2)當(dāng)球與三側(cè)面相切時(shí)，設(shè)球的半徑為r1,∵AB⊥BC,AB=6,BC=8,∴8-r1+6-r1=10,解得r1=2,不合題意.當(dāng)球與直三棱柱的上、下底面相切時(shí)，設(shè)球的半徑為r2，則2r2=3,即r2=32,∴球的體積V的最大值為43π×3236。A［解析］平面α與正方體的每條棱所在直線所成的角都相等,只需與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角相等即可,如圖,AP=AR=AQ，則平面PQR與正方體過(guò)點(diǎn)A的三條棱所成的角相等。若點(diǎn)E，F(xiàn)，G,H，M,N分別為相應(yīng)棱的中點(diǎn),易證得平面EFGHMN平行于平面PQR,且六邊形EFGHMN為正六邊形。正方體棱長(zhǎng)為1,所以正六邊形EFGHMN的邊長(zhǎng)為22,可得此正六邊形的面積為334，而在四個(gè)選項(xiàng)中,選項(xiàng)B,C,D中的值都小于337.(1)C（2）C[解析](1)方法一：以D為坐標(biāo)原點(diǎn),DA，DC,DD1所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則A（1,0,0)，D1(0，0，3）,B1（1,1,3)，所以AD1=(-1，0,3),DB1=(1，1，3),所以cos〈AD1，DB1>=-1×1+31+3×1+1+3方法二：如圖,在長(zhǎng)方體ABCD—A1B1C1D1的面ABB1A1的一側(cè)再補(bǔ)填一個(gè)完全一樣的長(zhǎng)方體ABC2D2—A1B1B2A2,連接AB2,B2D1.易知AB2∥DB1，所以異面直線AD1與DB1所成的角即為AD1與AB2所成的角。因?yàn)锳B=BC=1,AA1=3，所以AD1=2，AB2=5,B2D1=5。在△AB2D1中,cos∠D1AB2=22+(所以異面直線AD1與DB1所成角的余弦值為55（2）方法一:建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,則A（2，0,0）,B(0，0，0)，B1(0，0，1），C1-12,32,1，所以AB1=（—2，0,1），BC1=-12,32,1方法二:如圖，將該直三棱柱補(bǔ)充成直四棱柱，其中CD∥AB且CD=AB,則可得AB1∥DC1且AB1=DC1,圖中∠BC1D即為異面直線AB1與BC1所成的角或所成角的補(bǔ)角。在△BC1D中,BC1=2，DC1=5，BD=4+1-2×2×1×12=3,所以cos∠BC1D=2+5-32×2×5=10考點(diǎn)考法探究小題1例1(1)C（2)B［解析](1）取AA1的中點(diǎn)H,連接GH，則GH為過(guò)點(diǎn)E,F,G的平面與平面A1B1BA的交線。延長(zhǎng)GH,交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P,連接EP，交AD于點(diǎn)N，連接HN,則NE為過(guò)點(diǎn)E,F，G的平面與平面ABCD的交線.同理，連接并延長(zhǎng)EF，交D1C1的延長(zhǎng)線于點(diǎn)Q，連接GQ,交B1C1于點(diǎn)M，連接FM，則FM為過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面與平面BCC1B1的交線.所以過(guò)點(diǎn)E，F(xiàn)，G的平面截正方體所得的截面為圖中的正六邊形EFMGHN.故可得位于截面以下部分的幾何體的側(cè)視圖為選項(xiàng)C中的圖.故選C.（2）根據(jù)三視圖作出幾何體的直觀圖如圖所示,可計(jì)算得PB=PD=BC=2，PC=6，故該幾何體最長(zhǎng)棱的長(zhǎng)為6?！咀晕覚z測(cè)】1。B[解析］由俯視圖與正視圖可知,該幾何體是一個(gè)三棱柱挖去一個(gè)圓柱后剩余的部分,因此其側(cè)視圖是矩形且內(nèi)部有一條虛線，虛線靠近矩形的左邊部分，只有選項(xiàng)B符合題意，故選B.2.B[解析]由三視圖可得，該幾何體為如圖所示的三棱錐A1-BCD.結(jié)合三視圖中的數(shù)據(jù)可得S△BCD=12×22=2，S△A1BC=S△A1DC=12×22×2=22,S△A1DB=12×3.C[解析］由三視圖可得該幾何體的直觀圖如圖所示,且PD⊥平面ABCD,∴△PAD和△PDC均為直角三角形。又∵PD⊥AB，AB⊥AD，PD∩AD=D,∴AB⊥平面PAD,∴AB⊥PA,∴△PAB為直角三角形.故選C.4。A[解析］從上下方向看，△PAC的射影為圖①所示的情況;從左右方向看，△PAC的射影為圖④所示的情況;從前后方向看，△PAC的射影為圖④所示的情況.故選A.小題2例2(1)B(2)B[解析］(1）設(shè)BC=a，AB=2a,則S1=2π·2a·a，S2=2π·a·2a,∴S1S2=1。（2)根據(jù)題意畫(huà)出如圖所示的幾何體,三棱錐D-ABC與三棱錐E—ABC的公共部分構(gòu)成的幾何體為三棱錐F-ABC。∵△ABC為正三角形,AB=2,∴S△ABC=12×2×2×32=∵CD⊥底面ABC，AE∥CD,CD=AE=2,∴四邊形AEDC為矩形,則F為EC與AD的中點(diǎn)，∴三棱錐F—ABC的高為12CD=∴三棱錐F—ABC的體積V=13×3×1=3故選B.【自我檢測(cè)】1。A[解析]根據(jù)三視圖可得，該幾何體為如圖所示的四棱錐E-DD1C1C，則該幾何體的表面積S=12×2×22+12×4×2+12×2×22+12×4×22+2×4=22+4+22+42+8=122。C［解析］根據(jù)題中的條件可知,截面與B1C1的交點(diǎn)為靠近C1的四等分點(diǎn)，所以該截面將三棱柱分成了一個(gè)三棱臺(tái)和一個(gè)幾何體。設(shè)三棱柱的體積V=Sh,而三棱臺(tái)的體積V1=13h12S+12S·18S+18S=7243.A［解析］根據(jù)題意，設(shè)AC=x，BC=y，則有x2+y2=4,塹堵ABC—A1B1C1的側(cè)面積S側(cè)=(2+x+y)×2=4+2（x+y）≤4+22(x2+y2)=4+42，當(dāng)且僅當(dāng)x=y=2時(shí)取等號(hào),此時(shí)陽(yáng)馬B-A1ACC1的體積V=13×AC×CC1×BC=13×2×小題3例3C[解析］設(shè)矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD的交點(diǎn)為O，由矩形的性質(zhì)結(jié)合題意可知OA=OB=OC=OD=12×32+42=52。在翻折過(guò)程中OA，OB,OC，OD的長(zhǎng)度不變,據(jù)此可知點(diǎn)O為四面體ABCD外接球的球心，外接球的半徑R=OA=52，∴外接球的體積V=43πR3=【自我檢測(cè)】1。C[解析］取SC的中點(diǎn)O，連接OA,OB，則OA=OB=OC=OS,即O為三棱錐的外接球球心。設(shè)外接球的半徑為r,則13×2r×34r2=932，∴r=32.22［解析]設(shè)AB=AC=AA1=a，球的半徑為R。由題意知△BAC外接圓的半徑為12·3asin2π3=a.∵4πR2=40π，∴R2=10,又R2=a22+a2=10，∴a=例4C［解析］取線段AB的中點(diǎn)D，設(shè)P在底面ABC內(nèi)的射影為O,連接PD,OD。設(shè)AB=a,則OD=32a×13=36a,易知∠PDC為二面角P-AB—C的平面角,∴tan∠PDC=35,∴PD=6OD=3a.設(shè)三棱錐的表面積為S，體積為V，則V=13SR，即13×34a2H=13×3×【自我檢測(cè)】1。D[解析］其中一個(gè)側(cè)面的面積S△PAB=12×PA×PB×sin∠APB=2sin∠APB，要使此面積最大，則∠APB=90°。同理可知,當(dāng)PA，PB，PC兩兩垂直時(shí)，三棱錐P-ABC的三個(gè)側(cè)面的面積之和最大.設(shè)三棱錐的內(nèi)切球的球心為O，則O到三棱錐的四個(gè)面的距離與球的半徑r相等。因?yàn)镻A=PB=2,PC=6，所以BC=AC=10，AB=22,可得△ABC,△APC,△APB,△BPC的面積分別為4，6，2，6，所以V三棱錐P—ABC=13×(4+6+2+6）·r=13×2×6，解得r=6-2，所以?xún)?nèi)切球的表面積S=（40-162。256π81［解析]設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r,則πrl=20π，即rl=20,又l2-r2=9,所以l=5,r=4.當(dāng)球的體積最大時(shí),該球?yàn)閳A錐的內(nèi)切球,設(shè)內(nèi)切球的半徑為R,則12×（5+5+8)×R=12×3×8，故R=43,所以Vmax=43π×小題4例5(1)B（2）C[解析］(1)由l⊥α,α∥β?l⊥β，而m?β,所以l⊥m,①正確;l⊥α,m?β,α⊥β時(shí)，l，m的位置關(guān)系不確定,②不正確；由l⊥α，l∥m?m⊥α，而m?β，所以α⊥β,③正確；l⊥α，m?β,l⊥m時(shí),α，β的位置關(guān)系不確定,④不正確。故選B.（2）構(gòu)成的四面體如圖所示。因?yàn)镈A⊥AE，DC⊥CF,所以折疊后DP⊥PE，DP⊥PF，又PE∩PF=P，所以DP⊥平面PEF,所以①正確；由DP⊥平面PEF，EF?平面PEF,可知DP⊥EF，所以②正確;因?yàn)镈P⊥平面PEF,且過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于一個(gè)平面，所以DG⊥平面PEF是不正確的，所以③不正確；連接PG，由題意知PG⊥EF,且PE=2EG,所以PE⊥PF,又PE⊥DP,DP∩PF=P，所以PE⊥平面DPF，又因?yàn)镈F?平面DPF，所以PE⊥DF，所以④正確;因?yàn)镻E⊥平面DPF,且PE?平面PDE,所以平面PDE⊥平面DPF,所以⑤正確.綜上可知，正確結(jié)論的序號(hào)為①②④⑤,故選C?！咀晕覚z測(cè)】1。C[解析]①若l⊥α,α⊥β,則l∥β或l?β,①不正確；②若l∥α，α∥β，則l∥β或l?β,②不正確；③若l⊥α,α∥β,則l⊥β,③正確;④若l∥α，α⊥β，則l∥β或l?β或l與β相交,④不正確.故選C。2。A[解析]由l⊥α且m∥α,能推出m⊥l,充分性成立；若l⊥α且m⊥l,則m∥α或m?α,必要性不成立.因此“m∥α”是“m⊥l”的充分不必要條件,故選A.例6(1)D（2)B［解析](1)方法一：取BC的中點(diǎn)O,連接AO,DO?！哒切蜛BC與正三角形BCD所在平面互相垂直,∴AO⊥OD.分別取BD，AD的中點(diǎn)M,N,連接MN，OM，ON,則MN∥AB，OM∥CD,則∠OMN為異面直線AB與CD所成的角,易得MN=OM=2，ON=6，在△OMN中，由余弦定理得cos∠OMN=4+4-62×2×2=14,即方法二:如圖所示,取BC的中點(diǎn)O,連接AO,DO?！哒切蜛BC與正三角形BCD所在平面互相垂直，∴AO⊥BC,BC⊥OD，AO⊥DO。以O(shè)為原點(diǎn),OD，OC,OA所在直線分別為x,y，z軸,建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，23),B(0，-2,0)，C（0,2，0）,D(23，0,0）,∴AB=(0,-2,-23)，CD=(23，-2，0)，故cos<AB,CD>=AB·CD|∴cosθ=14（2)取B1C1的中點(diǎn)D，連接A1D,則由題易知點(diǎn)P在A1D上。∵AA1⊥底面A1B1C1,∴∠APA1為PA與平面A1B1C1所成的角,又平面ABC∥平面A1B1C1，∴∠APA1的大小等于PA與平面ABC所成角的大小.∵S△A1B1C1=34∴V三棱柱ABC-A1B1C1=AA1·S△A1B1又P為正三角形A1B1C1的中心，∴A1P=23A1D=∴在Rt△AA1P中,tan∠APA1=AA1A∴∠APA1=π3。故選B【自我檢測(cè)】1。B［解析］設(shè)底面半圓的半徑為r,由πr22×4=18π，得易得DE=32,DF=2,DF⊥DE,所以EF=22,又AB∥CD，所以異面直線AB與EF所成的角為∠EFD,易知sin∠EFD=EDEF2.D［解析］設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O,因?yàn)锳B=AD，CB=CD，所以AC⊥BD，因此在翻折過(guò)程中,A’C在平面BCD內(nèi)的射影在直線CO上,所以∠A’CO是直線A’C與平面BCD所成的角。由已知可得OA=OA'=2,OC=2，在△A'OC中,設(shè)A'C=x,則由余弦定理得cos∠A'CO=X2+22-(2)22×2X=X4+12X，因?yàn)閤〉0,所以X4+12X≥2X4·12例7（1）C（2）D[解析](1）取BC的中點(diǎn)M,A1D1的中點(diǎn)N，則四邊形B1MDN即為所求的截面。根據(jù)正方體的性質(zhì)，可得MN=22，B1D=23,易知四邊形B1MDN為菱形,所以其面積S=12×22×23=26,故選C（2）由題知△ACD1是邊長(zhǎng)為22的等邊三角形，所以所求截面為△ACD1的內(nèi)切圓，可得截面圓的半徑為63，所以截面圓的面積為23【自我檢測(cè)】1.A[解析］如圖所示,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB，AD的中點(diǎn).由