考研數(shù)學(xué)真題數(shù)一2021年全國(guó)碩士研究生入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)一試題一、選擇題：1～8小題，每題4分，共32分。以下每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求的，請(qǐng)將所選項(xiàng)前的字母填在答題紙指定位置上。1、設(shè)函數(shù)$f(x)$在連續(xù)，其2階導(dǎo)函數(shù)$f''(x)$的圖形如以下圖所示，那么曲線$y=f(x)$（$-\infty,+\infty$）的拐點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）。$A$、$1$，$B$、$2$，$C$、$3$，$D$、$4$2、設(shè)$y=\frac{1}{2x}+\frac{1}{3}e^{x}$，那么（）。$A$、$a=-3,b=-1,c=-1$，$B$、$a=3,b=2,c=-1$，$C$、$a=-3,b=2,c=1$，$D$、$a=3,b=2,c=1$3、假設(shè)級(jí)數(shù)$\suma_n$條件收斂，那么$x=3$與$x=-3$依次為冪級(jí)數(shù)$\sumna_n(x-1)^n$的（）。$A$、收斂點(diǎn)，收斂點(diǎn)，$B$、收斂點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)，$C$、發(fā)散點(diǎn)，收斂點(diǎn)，$D$、發(fā)散點(diǎn)，發(fā)散點(diǎn)4、設(shè)$D$是第一象限中曲線$2xy=1,4xy=1$與直線$y=x,y=3x$圍成的平面區(qū)域，函數(shù)$f(x,y)$在$D$上連續(xù)，那么$\iint_Df(x,y)dxdy=$（）。$A$、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{2}{\sin2\theta}}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$，$B$、$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{\frac{2}{\sin2\theta}}\frac{1}{2\sin^2\theta}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$，$C$、$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{3}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$，$D$、$\int_{0}^{\pi}\int_{0}^{4}f(r\cos\theta,r\sin\theta)rdrd\theta$。5、設(shè)矩陣$A=\begin{pmatrix}1&2a\\b&d\end{pmatrix}$，假設(shè)集合$\Omega=\{1,2\}$，那么線性方程組$Ax=b$有無(wú)窮多個(gè)解的充分必要條件為（）。$A$、$a\notin\Omega,d\notin\Omega$，$B$、$a\notin\Omega,d\in\Omega$，$C$、$a\in\Omega,d\notin\Omega$，$D$、$a\in\Omega,d\in\Omega$6、設(shè)二次型$f(x_1,x_2,x_3)$在正交變換$x=Py$下的標(biāo)準(zhǔn)形為$2y_1+y_2-y_3$，其中$P=\begin{pmatrix}e_1&e_2&e_3\end{pmatrix}$，假設(shè)$Q=\begin{pmatrix}e_1&-e_3&e_2\end{pmatrix}$，那么$f(x_1,x_2,x_3)$在正交變換$x=Qy$下的標(biāo)準(zhǔn)形為（）。$A$、$2y_1-y_2+y_3$，$B$、$2y_1+y_2-y_3$，$C$、$2y_1-y_2-y_3$，$D$、$2y_1+y_2+y_3$。21.7、根據(jù)隨機(jī)事件的乘法公式，有P(AB)≤P(A)P(B)，因?yàn)槭录嗀和B同時(shí)發(fā)生的概率不會(huì)大于事件A發(fā)生的概率和事件B發(fā)生的概率之積，所以選項(xiàng)A正確。同時(shí)，由于事件A和B的交集包含在事件A和事件B中，所以P(AB)≥P(A)P(B)，選項(xiàng)B正確。選項(xiàng)C和D可以通過(guò)取反得到，即P(AB)>P(A)+P(B)-1和P(AB)<P(A)+P(B)-1。2.8、根據(jù)期望的線性性質(zhì)和方差的定義，有E(X(X+Y-2))=EX^2+EXY-2EX=DX+2EXY-2EX=3+4E(XY)-4。因?yàn)閄和Y不相關(guān)，所以E(XY)=EXEY=2，代入得到E(X(X+Y-2))=-5，所以選項(xiàng)C正確。3.9、根據(jù)洛必達(dá)法則，有l(wèi)im(lncosx/x)=lim(1/(cosx*x))，因?yàn)閏osx在x=π/2處為0，所以分母趨于0，分子趨于1，所以極限為正無(wú)窮，填4。4.10、根據(jù)換元積分法，令t=tan(x/2)，則sinx=2t/(1+t^2)，cosx=(1-t^2)/(1+t^2)，dx=2dt/(1+t^2)，代入得到∫(π/2)2(sin(x)+x)/(1+cosx)dx=∫0^1(2t/(1+t^2)+2atan(t))/(2-t^2)dt，分子部分可以通過(guò)分部積分得到，最終結(jié)果為2π，所以填6。5.11、對(duì)方程兩邊同時(shí)求微分，得到dz=(yz+1-x-sinx)dx+xdy，代入得到dz(0,1)=2dx-dy，所以填2。6.12、根據(jù)空間區(qū)域的定義，可以將積分區(qū)域分成四個(gè)部分，分別在x、y、z軸的正負(fù)半軸上，然后利用對(duì)稱性將積分區(qū)域縮小到第一卦限中，再利用立體直角坐標(biāo)系的性質(zhì)進(jìn)行三次積分，最終結(jié)果為3/2，所以填2。7.13、根據(jù)行列式的定義，有2*2*2-2*2*2=0，所以填0。8.14、由于X和Y是正態(tài)分布，所以X-Y也是正態(tài)分布，均值為0，方差為2，所以P(XY-Y<0)=P(X<Y)=1/2，所以填2。9.15、根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小的定義，有l(wèi)im(f(x)/g(x))=1，所以lim(x+aln(1+x)+bxsinx/kx)=1，因?yàn)楫?dāng)x趨于0時(shí)，x+aln(1+x)和bxsinx都趨于0，所以必須有b/k=1。同時(shí)，根據(jù)等價(jià)無(wú)窮小的性質(zhì)，可以將x+aln(1+x)表示為kx(1+o(1))的形式，其中o(1)是比kx更小的無(wú)窮小，所以必須有a=1。綜上所述，a=1，b/k=1，所以b=k。10.16、根據(jù)題意，可以畫(huà)出圖形，將曲線y=f(x)和直線x=x分別投影到x軸上，得到兩個(gè)線段，設(shè)它們的長(zhǎng)度分別為a和b，則有a+b=4。同時(shí)，因?yàn)閒(x)在定義域上單調(diào)遞增，所以曲線y=f(x)和直線x=x所圍成的面積可以表示為∫f(x)dx-∫xdx，即為f(a)-a-f(0)，所以f(a)-a-f(0)=4。聯(lián)立兩個(gè)方程，可以解得f(x)=2+x+2ln(1+x)。11.17、根據(jù)方向?qū)?shù)的定義，有Duf(x,y)=?f(x,y)·u/||u||，其中u是單位向量。在曲線C上，有x+y+xy=3，所以可以將y表示為y=(3-x)/(1+x)，然后代入f(x,y)中得到f(x)=(3-x)/(1+x)+x+(3-x)/(1+x)*x，將其化簡(jiǎn)得到f(x)=4x+3/(1+x)，所以?f(x,y)=(4-(3-y)/(1+x)^2,1-(3-x)/(1+x)^2)，將其代入方向?qū)?shù)的公式，得到Duf(x,y)=(4u1-(3-y)u2/(1+x)^2+u1-(3-x)u2/(1+x)^2)/sqrt((4-(3-y)/(1+x)^2)^2+(1-(3-x)/(1+x)^2)^2)，其中u1和u2是單位向量的分量，最大值可以通過(guò)求導(dǎo)得到，最終結(jié)果為2sqrt(2)。12.18、(Ⅰ)根據(jù)乘積的求導(dǎo)公式，有[u(x)v(x)]'=u'(x)v(x)+u(x)v'(x)，所以填A(yù)。(Ⅱ)根據(jù)乘積的求導(dǎo)公式，有f'(x)=u'(x)v(x)u2(x)...un(x)+u1(x)u'(x)v(x)u3(x)...un(x)+...+u1(x)u2(x)...un-1(x)u'(x)v(x)，所以填D。13.19、曲線L在xy平面上是一個(gè)圓，所以可以使用極坐標(biāo)系，設(shè)x=rcosθ，y=rsinθ，則有z=2-r^2，曲線L的參數(shù)方程為r=2sin(θ/2)，θ∈[0,π]，所以曲線積分可以表示為∫(0,π)2cosθ-4sinθdθ=4，所以填4。20、證明向量組$\beta_1,\beta_2,\beta_3$是3維向量空間的一個(gè)基：由題可知，$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是3維向量空間的一個(gè)基，因此它們線性無(wú)關(guān)?，F(xiàn)在我們需要證明$\beta_1,\beta_2,\beta_3$也是線性無(wú)關(guān)的，并且它們的張成空間等于3維向量空間。首先，我們可以將$\beta_1,\beta_2,\beta_3$表示為$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的線性組合：$$\beta_1=2\alpha_1+2k\alpha_3,\\beta_2=2\alpha_2,\\beta_3=\alpha_1+(k+1)\alpha_3$$假設(shè)存在不全為0的實(shí)數(shù)$a,b,c$，使得$a\beta_1+b\beta_2+c\beta_3=0$，則有：$$2a\alpha_1+2b\alpha_2+a\alpha_1+c\alpha_1+(k+1)c\alpha_3=0$$$$(2a+c)\alpha_1+2b\alpha_2+(k+1)c\alpha_3=0$$由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$線性無(wú)關(guān)，因此有$2a+c=0,2b=0,kc+k+c=0$。由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是基，因此$k\neq-1$，從而可得$a=b=c=0$，證明了$\beta_1,\beta_2,\beta_3$線性無(wú)關(guān)。其次，我們需要證明$\beta_1,\beta_2,\beta_3$的張成空間等于3維向量空間。由于$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$是基，因此任意一個(gè)向量$\mathbf{v}$都可以表示為$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的線性組合。又因?yàn)?\beta_1,\beta_2,\beta_3$可以表示為$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$的線性組合，因此任意一個(gè)向量$\mathbf{v}$也可以表示為$\beta_1,\beta_2,\beta_3$的線性組合。因此，$\beta_1,\beta_2,\beta_3$的張成空間等于3維向量空間，證畢。當(dāng)$k=-1$時(shí)，$\beta_1=2\alpha_1-2\alpha_3,\\beta_2=2\alpha_2,\\beta_3=\alpha_1$.此時(shí)$\beta_1,\beta_2,\beta_3$不再是一個(gè)基。21、（Ⅰ）由于矩陣A和B相似，因此它們有相同的特征值。設(shè)矩陣A和B的特征值為$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$，則有：$$\begin{cases}\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=-1\\-\lambda_1-2a\lambda_2-3\lambda_3=-13\\\lambda_1+a^2\lambda_2-2(k+1)\lambda_3=-3b\end{cases}$$解得$\lambda_1=-1,\lambda_2=a-2,\lambda_3=-a-1$。由于特征向量的選取不唯一，我們可以任意選取一個(gè)特征向量來(lái)構(gòu)造可逆矩陣P。設(shè)$\mathbf{v}_1$是對(duì)應(yīng)于特征值$\lambda_1=-1$的特征向量，則有：$$A\mathbf{v}_1=-\mathbf{v}_1,\B\mathbf{v}_1=b\mathbf{v}_1$$由于矩陣A和B相似，因此它們有相同的特征向量，因此$\mathbf{v}_1$也是對(duì)應(yīng)于特征值$\lambda_2,\lambda_3$的特征向量。我們可以選取$\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3$分別是對(duì)應(yīng)于特征值$\lambda_2,\lambda_3$的特征向量，則有：$$A(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\begin{pmatrix}-1&0&0\\0&a-2&0\\0&0&-a-1\end{pmatrix}$$$$B(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)\begin{pmatrix}b&0&0\\0&a-2&0\\0&0&-a-1\end{pmatrix}$$因此，我們可以取可逆矩陣$P=(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,\mathbf{v}_3)$。22、（Ⅰ）當(dāng)$0<x<\frac{1}{e}$時(shí)，$f(x)>0$；當(dāng)$x\geq\frac{1}{e}$時(shí)，$f(x)=0$。因此，$f(x)$的支集為$(0,\frac{1}{e}]$。由于$f(x)$是非負(fù)函數(shù)，因此可以定義累積分布函數(shù)$F(x)=\int_0^xf(t)dt$。當(dāng)$x<\frac{1}{e}$時(shí)，有：$$F(x)=\int_0^xf(t)dt=\int_0^x(2-t\ln2t)dt=x^2-x^2\ln2x-\frac{1}{4}$$當(dāng)$x\geq\frac{1}{e}$時(shí)，有$F(x)=1$。因此，$F(x)$的表達(dá)式為：$$F(x)=\begin{cases}0&x<0\\x^2-x^2\ln2x-\frac{1}{4}&0\leqx<\frac{1}{e}\\1&x\geq\frac{1}{e}\end{cases}$$當(dāng)$0\leqx<\frac{1}{e}$時(shí)，$F(x)$的導(dǎo)數(shù)為：$$f(x)=\frac3rnbhpl{dx}F(x)=2-2x\ln2x$$當(dāng)$x\geq\frac{1}{e}$時(shí)，$f(x)=0$。（Ⅱ）設(shè)第2個(gè)大于3的觀測(cè)值出現(xiàn)在第$n$次觀測(cè)，$Y$表示前$n-1$次觀測(cè)中大