上一頁下一頁目錄退出第八章玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式8.2弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體8.3玻色-愛因斯坦凝聚8.4光子氣體8.5金屬中的自由電子氣體8.6白矮星8.7二維電子氣體與量子霍爾效應(yīng)上一頁下一頁目錄退出第八章玻色統(tǒng)計(jì)與費(fèi)米統(tǒng)計(jì)81上一頁下一頁目錄退出對(duì)于簡并氣體，需要分別用玻色分布或費(fèi)米分布處理。微觀粒子全同性原理帶來的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)對(duì)簡并氣體的宏觀性質(zhì)將產(chǎn)生決定性的影響，使玻色氣體和費(fèi)米氣體的性質(zhì)迥然不同。8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式玻耳茲曼分布討論了定域系統(tǒng)和滿足經(jīng)典極限條件（非簡并條件）的近獨(dú)立粒子系統(tǒng)的平衡性質(zhì)。非簡并條件：或：一、非簡并氣體和簡并氣體上一頁下一頁目錄退出對(duì)于簡并氣體，需要分別用2上一頁下一頁目錄退出二、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（首先考慮玻色分布）引入巨配分函數(shù)：系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)：取對(duì)數(shù)得：系統(tǒng)的平均總粒子數(shù)：8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式上一頁下一頁目錄退出二、熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（首先考3上一頁下一頁目錄退出內(nèi)能：廣義力：特例：8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式上一頁下一頁目錄退出內(nèi)能：廣義力：特例：8.1熱4上一頁下一頁目錄退出三、熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式上一頁下一頁目錄退出三、熵的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式8.1熱力5上一頁下一頁退出目錄證明：玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)：8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式上一頁下一頁退出目錄證明：玻色系統(tǒng)的微觀狀態(tài)數(shù)：8.6上一頁下一頁目錄退出8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式上一頁下一頁目錄退出8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式7上一頁下一頁目錄退出四、費(fèi)米系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)，巨配分函數(shù)為：前面得到的熱力學(xué)量的表達(dá)式完全適用：其對(duì)數(shù)為：8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式上一頁下一頁目錄退出四、費(fèi)米系統(tǒng)費(fèi)米系統(tǒng)，巨配分函數(shù)8上一頁下一頁目錄退出五、巨熱力學(xué)勢(shì)8.1熱力學(xué)量的統(tǒng)計(jì)表達(dá)式（3）代入熱力學(xué)統(tǒng)計(jì)公式求熱力學(xué)量①量子力學(xué)的理論計(jì)算獲得②分析光譜數(shù)據(jù)獲得小結(jié)：求量子體系熱力學(xué)函數(shù)的一般步驟（1）寫出及相應(yīng)簡并度（2）求粒子的巨配分函數(shù)上一頁下一頁目錄退出五、巨熱力學(xué)勢(shì)8.1熱力學(xué)量9上一頁下一頁目錄退出

8.2弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體1、弱簡并氣體：但不可忽略的玻色氣體和費(fèi)米氣體。以玻色氣體為例，假設(shè)分子只有平動(dòng)自由度：在體積V內(nèi)，在ε到ε+dε范圍內(nèi)可能的微觀狀態(tài)數(shù)：系統(tǒng)的總分子數(shù)：上一頁下一頁目錄退出8.2弱簡并理想玻色氣體和10上一頁下一頁退出目錄被積函數(shù)的分母可表為：

8.2弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體引入變量：則上述兩式可寫為：上一頁下一頁退出目錄被積函數(shù)的分母可表為：8.211上一頁下一頁目錄退出利用零級(jí)近似結(jié)果：兩式相除可得：

8.2弱簡并理想玻色氣體和費(fèi)米氣體第一項(xiàng)是根據(jù)玻耳茲曼分布得到的內(nèi)能，第二項(xiàng)是有微觀粒子全通性原理引起的量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)所致的附加內(nèi)能。并且可以看到在弱簡并情形下，玻色氣體和費(fèi)米氣體出現(xiàn)了差異。即：量子統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)使費(fèi)米子間出現(xiàn)等效的排斥作用，玻色子間則出現(xiàn)等效的吸引作用。上一頁下一頁目錄退出利用零級(jí)近似結(jié)果：兩式相除可得：12上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚一、理想玻色氣體的性質(zhì)二、化學(xué)勢(shì)與基態(tài)粒子數(shù)化學(xué)勢(shì)由下式?jīng)Q定：上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚一、理13上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚將求和改為積分：上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚將求和14上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚討論：上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚討論：15上一頁下一頁退出目錄關(guān)鍵在用積分代替求和時(shí)，的項(xiàng)被棄掉了。當(dāng)時(shí)，該能級(jí)上的粒子數(shù)是很大的數(shù)值，不可忽略。三、矛盾的原因分析8.3玻色-愛因斯坦凝聚上一頁下一頁退出目錄關(guān)鍵在用積分代替求和時(shí)，16上一頁下一頁目錄退出1.01.008.3玻色-愛因斯坦凝聚上一頁下一頁目錄退出1.01.008.3玻色-愛因17上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚上一頁下一頁目錄退出8.3玻色-愛因斯坦凝聚18上一頁下一頁目錄退出上一頁下一頁目錄退出19上一頁下一頁目錄退出四、玻色-愛因斯坦凝聚定容熱容量為：8.3玻色-愛因斯坦凝聚上一頁下一頁目錄退出四、玻色-愛因斯坦凝聚定容熱容量20上一頁下一頁退出目錄

氣體凝聚成液體需要依靠分子之間的相互作用力。對(duì)于理想氣體，粒子之間的相互作用已被忽略，如何發(fā)生凝聚？愛因斯坦自己已意識(shí)到這一點(diǎn)，他寫到“這個(gè)公式間接地表達(dá)了一個(gè)確定的假設(shè)，即認(rèn)為分子以暫時(shí)還完全難以捉摸的方式相互影響著，……”由于歷史條件，當(dāng)時(shí)還不知道全同多粒子系存在（量子起源的）統(tǒng)計(jì)關(guān)聯(lián)：對(duì)玻色子是有效吸引；而費(fèi)米子是有效排斥。因此，即使沒有動(dòng)力學(xué)相互作用，仍可在一定條件下由于有效相互作用而發(fā)生凝聚現(xiàn)象。這是一種純粹量子起源的相變。

愛因斯坦的理論為什么當(dāng)年受批評(píng)？8.3玻色-愛因斯坦凝聚上一頁下一頁退出目錄氣體凝聚成液體需要依靠分子21上一頁下一頁目錄退出

8.4光子氣體一、紫外災(zāi)難根據(jù)能量均分定理來討論平衡輻射問題，從經(jīng)典的電磁理論，空腔輻射場可分解為無窮多個(gè)單色平面波的疊加，單色波的表達(dá)式：上一頁下一頁目錄退出8.4光子氣體一、紫外22

因此，具有一定波矢k和一定偏振的單色平面波可以看作是輻射場的一個(gè)以為圓頻率的振動(dòng)自由度。計(jì)算體系該自由度的數(shù)目就可以利用能量均分定理。上一頁下一頁目錄退出

8.4光子氣體因此，具有一定波矢k和一定偏振的單色平面波可以看作是輻23上一頁下一頁目錄退出此即為瑞利－金斯公式瑞利－金斯曲線實(shí)驗(yàn)曲線0

8.4光子氣體上一頁下一頁目錄退出此即為瑞利－金斯公式瑞利－金斯曲24上一頁下一頁退出目錄二、波動(dòng)觀點(diǎn)推導(dǎo)普朗克公式將空間輻射場看作線性諧振子的集合，能量是量子化：玻耳茲曼統(tǒng)計(jì)配分函數(shù)：振子的平均能量：1、推導(dǎo)過程

8.4光子氣體上一頁下一頁退出目錄二、波動(dòng)觀點(diǎn)推導(dǎo)普朗克公式將空間25上一頁下一頁目錄退出光子的量子態(tài)數(shù)：

8.4光子氣體輻射場的內(nèi)能為：此即為普朗克公式上一頁下一頁目錄退出光子的量子態(tài)數(shù)：8.426上一頁下一頁目錄退出2、討論：（1）在的低頻范圍內(nèi)，上式可近似為：此即為瑞利－金斯公式（2）在的高頻范圍內(nèi)，上式可近似為：此即為維恩公式

8.4光子氣體上一頁下一頁目錄退出2、討論：（1）在27上一頁下一頁目錄退出三、光子氣體的統(tǒng)計(jì)分布1、光子：自旋量子數(shù)為1，為玻色子。遵守B-E分布，光子數(shù)不固定。所以B-E分布中的α=0，于是：光子氣體的內(nèi)能為：光子氣體的壓強(qiáng)為：

8.4光子氣體上一頁下一頁目錄退出三、光子氣體的統(tǒng)計(jì)分布1、光子28上一頁下一頁目錄退出8.5金屬中的自由電子氣體一、電子氣體的性質(zhì)模型：金屬中的價(jià)電子為所有原子實(shí)所共有，而并非固定在某一原子的范圍內(nèi)，因此，可以近似地把這些價(jià)電子看成束縛在所有原子實(shí)形成的平均場內(nèi)，就像這N個(gè)電子在體積為V的箱中的自由粒子一樣。電子的自旋量子數(shù)為1/2，簡并度為：根據(jù)費(fèi)米分布，處于溫度T、能量ε的一個(gè)量子態(tài)上的平均電子數(shù)為：上一頁下一頁目錄退出8.5金屬中的自由電子氣29上一頁下一頁退出目錄8.5金屬中的自由電子氣體1、T=0K時(shí)電子的分布fε01(1)、費(fèi)米動(dòng)量PF上一頁下一頁退出目錄8.5金屬中的自由電子氣30上一頁下一頁目錄退出（2）、0k時(shí)電子的內(nèi)能為：fε01（3）、0k時(shí)電子氣體的壓強(qiáng)為：與玻色氣體在0K時(shí)能量、動(dòng)量和壓強(qiáng)完全不同，費(fèi)米氣體在0K時(shí)有很高的能量、動(dòng)量，并產(chǎn)生很大的壓強(qiáng)。8.5金屬中的自由電子氣體上一頁下一頁目錄退出（2）、0k時(shí)電子的內(nèi)能為：fε31上一頁下一頁目錄退出弱簡并條件：金屬中的自由電子氣體是高度簡并的。而對(duì)自由電子氣體：8.5金屬中的自由電子氣體上一頁下一頁目錄退出弱簡并條件：金屬中的自由電子氣體32上一頁下一頁目錄退出8.6白矮星中年時(shí)期的恒星，其內(nèi)部進(jìn)行著氫聚變?yōu)楹さ臒岷朔磻?yīng)，熱核反應(yīng)所產(chǎn)生的向外輻射壓與內(nèi)向引力相抗衡。使恒星處于一個(gè)相對(duì)穩(wěn)定的階段。核心的氫燃燒形成氦的核心，氦核不斷擴(kuò)大。但當(dāng)氦核達(dá)到整個(gè)恒星質(zhì)量的10%~15%時(shí)，靠氫核聚變產(chǎn)生的輻射壓力抵擋不住引力時(shí)，氦核開始坍塌。結(jié)果原子越來越密，引力越大，坍塌愈厲害。在巨大的壓力下，原子核擠得很密，恒星溫度急劇上升。恒星溫度很高，其粒子的平均熱能為103eV，遠(yuǎn)大于其電離能量。實(shí)際上氦以完全電離狀態(tài)存在（原子已壓碎）。由于密度極高，雖然在很高的溫度下，電子氣仍然高度簡并、電子費(fèi)米能量很大，于是這種高度簡并電子氣的壓力與引力相平衡。形成一個(gè)新的穩(wěn)定狀態(tài)-白矮星。一、白矮星上一頁下一頁目錄退出8.6白矮星33上一頁下一頁目錄退出以天狼星伴星（白矮星）為例：每個(gè)粒子的平均熱能kT=103eV，比氦原子的電離能50eV大得多，因此白矮星中的氦原子全部電離成自由電子和氦核，氦原子由兩個(gè)電子和兩個(gè)氦核組成，氦核由兩個(gè)中子和兩個(gè)質(zhì)子組成，則白矮星總質(zhì)量為：8.6白矮星上一頁下一頁目錄退出以天狼星伴星（白矮星）為例：34上一頁下一頁退出目錄1、白矮星內(nèi)電子氣體是相對(duì)論性高度簡并氣體8.6白矮星說明電子由于熱運(yùn)動(dòng)只有極少數(shù)（費(fèi)米面附近）電子可被激發(fā)到高能級(jí)參與熱運(yùn)動(dòng)。所以白矮星電子氣的費(fèi)米球是較光滑的。上一頁下一頁退出目錄1、白矮星內(nèi)電子氣體是相對(duì)論性高35上一頁下一頁目錄退出2、白矮星電子氣的簡并壓與電子靜止質(zhì)量相應(yīng)的能量：因此，相對(duì)論效應(yīng)雖然顯著，但還不具有壓倒的影響。8.6白矮星上一頁下一頁目錄退出2、白矮星電子氣的簡并壓與電子靜36上一頁下一頁目錄退出3、白矮星的半徑上式說明質(zhì)量越大的白矮星半徑越小。假設(shè)星體是球形的，由于簡并壓的存在：8.6白矮星上一頁下一頁目錄退出3、白矮星的半徑上式說明質(zhì)量越大37上一頁下一頁目錄退出當(dāng)星體密度再增大，電子將被原子核俘獲：二、中子星中子星依靠中子簡并壓力來阻止強(qiáng)大引力造成的進(jìn)一步坍縮。中子星的極端物理?xiàng)l件：超高密度﹑超高溫、超高壓、超強(qiáng)磁場和超輻射，在地球上無法實(shí)現(xiàn)，所以中子星就成了極端物理?xiàng)l件的實(shí)驗(yàn)室，幫助人們了解物質(zhì)在極端條件下的運(yùn)動(dòng)變化規(guī)律。8.6白矮星上一頁下一頁目錄退出當(dāng)星體密度再增大，電子將被38上一頁下一頁目錄退出中子星的內(nèi)部結(jié)構(gòu)固體外殼液態(tài)中子固體核心8.6白矮星上一頁下一頁目錄退出中子星的內(nèi)部結(jié)構(gòu)固體液態(tài)固體839上一頁下一頁退出目錄上一頁下一頁退出目錄40上一頁下一頁目錄退出上一頁下一頁目錄退出41上一頁下一頁