加州公立學(xué)校K–12年級數(shù)學(xué)框架加州公立學(xué)校數(shù)學(xué)框架前言

純粹數(shù)學(xué)，就其本質(zhì)而言，是邏輯思想的詩篇。

愛因斯坦

(1879–1955)前言純粹數(shù)學(xué)，就其本質(zhì)而言，是邏輯思想的詩篇。大腦研究研究表明，大腦就像肌肉：越用越發(fā)達(dá)。雖然許多科學(xué)家相信，大腦中的“電路”在青少年階段已經(jīng)基本形成，但變換與適用將伴隨我們終身.大腦研究研究表明，大腦就像肌肉：越用越發(fā)達(dá)。雖然許多科學(xué)家相框架目錄第一章有效數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)原則與要素第二章加州數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)第三章分年要項(xiàng)第四章教學(xué)策略第五章評量第六章普及性的輔助第七章老師、學(xué)生、家長和行政人員的責(zé)任第八章專業(yè)發(fā)展第九章科技的運(yùn)用第十章教學(xué)資源的評估原則框架目錄第一章有效數(shù)學(xué)教學(xué)的指導(dǎo)原則與要素對數(shù)學(xué)的看法 數(shù)學(xué)—使用抽象符號去描述、排序、解釋和預(yù)測—已經(jīng)與人類的存在密不可分。它是一種全球都在說的國際數(shù)語，而且在溝通想法上，它的重要性如同口語和文字。對數(shù)學(xué)的看法 數(shù)學(xué)—使用抽象符號去描述、排序、解釋和預(yù)測—已框架的目的指導(dǎo)課程與教材的編寫，以符合新的課程標(biāo)準(zhǔn).提供實(shí)施標(biāo)準(zhǔn)的背景.說明如何使課程標(biāo)準(zhǔn)適應(yīng)所有學(xué)生.框架的目的指導(dǎo)課程與教材的編寫，以符合新的課程標(biāo)準(zhǔn).數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)的核心是推理。體驗(yàn)（Sensemaking）與推理有著密切的聯(lián)系，學(xué)生通過演繹推理、歸納推理、空間推理和代數(shù)推理去揭示數(shù)學(xué)真理。教師應(yīng)該為學(xué)生提供大量的推理機(jī)會，使學(xué)生（包括低年級學(xué)生）能夠使用邏輯語言，分清相關(guān)與不相關(guān)的信息與性質(zhì)，判斷集合之間的關(guān)系。培養(yǎng)邏輯推理能力。數(shù)學(xué)推理數(shù)學(xué)的核心是推理。體驗(yàn)（Sensemaking）與指導(dǎo)原則實(shí)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)之間的平衡教師目標(biāo)學(xué)生目標(biāo)有效數(shù)學(xué)計(jì)劃的關(guān)鍵成分指導(dǎo)原則實(shí)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)之間的平衡實(shí)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)之間的平衡概念理解程序性技能數(shù)學(xué)推理實(shí)現(xiàn)各種數(shù)學(xué)活動(dòng)之間的平衡概念理解程序性技能數(shù)學(xué)推理平衡數(shù)學(xué)課程的一個(gè)長期存在的問題是，理論與應(yīng)用之間的平衡。平衡數(shù)學(xué)課程的一個(gè)長期存在的問題是，理論與應(yīng)用之間的平衡。教師的目標(biāo)增加教師的數(shù)學(xué)課程知識，是透過以標(biāo)準(zhǔn)為本的專業(yè)發(fā)展。提出一個(gè)教案，均衡運(yùn)算和程序技巧、概念理解，和解題。經(jīng)常評量學(xué)生邁向數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)的進(jìn)度，并隨之調(diào)整教學(xué)。在每一學(xué)年提供學(xué)習(xí)，奠定必要的基礎(chǔ)，以使得能在能勝任下一(年)級的或接下來的數(shù)學(xué)課程。創(chuàng)造并維持教室環(huán)境，以促進(jìn)所有學(xué)生確實(shí)理解和自信，方法是透過辛勤作業(yè)和持續(xù)努力，他們能達(dá)到或超越標(biāo)準(zhǔn)。提供所有學(xué)生一個(gè)具挑戰(zhàn)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，這可幫助他們擴(kuò)大個(gè)人的成就，并且提供有意義的機(jī)會給學(xué)生以超越標(biāo)準(zhǔn)。提供其它教學(xué)建議和策略，以滿足合加州不同學(xué)生族群的需求。界定特定教室里最成功、有效教學(xué)方法，讓學(xué)習(xí)最大化。教師的目標(biāo)增加教師的數(shù)學(xué)課程知識，是透過以標(biāo)準(zhǔn)為本的專業(yè)發(fā)展學(xué)生目標(biāo)發(fā)展程序性技能、概念理解與數(shù)學(xué)推理.進(jìn)行精確的數(shù)學(xué)交流.發(fā)展邏輯思維.增強(qiáng)數(shù)學(xué)思想之間的聯(lián)系將數(shù)學(xué)應(yīng)用于日常生活培養(yǎng)對數(shù)學(xué)美和威力的鑒賞力學(xué)生目標(biāo)學(xué)生目標(biāo) 當(dāng)學(xué)生深入數(shù)學(xué)，他們獲得的不僅僅是對數(shù)學(xué)原理的概念上理解，還有純粹推理的知識和經(jīng)驗(yàn)。數(shù)學(xué)最重要目標(biāo)之一是教導(dǎo)學(xué)生邏輯推理，數(shù)學(xué)推理和概念理解脫離實(shí)體內(nèi)容，它們內(nèi)化入數(shù)學(xué)學(xué)科里，屬于學(xué)生學(xué)習(xí)的較高層次。學(xué)生目標(biāo) 當(dāng)學(xué)生深入數(shù)學(xué)，他們獲得的不僅僅是對數(shù)學(xué)原理的概念推理的重要性數(shù)學(xué)的核心是推理。沒有推理，無法作數(shù)學(xué)。…教師需要提供他們的學(xué)生推理，透過解題、推測和思考過程，安排推理的機(jī)會給學(xué)生，不論是在中。非常年幼的學(xué)生有機(jī)會……區(qū)辨出相關(guān)與不相關(guān)的訊息或性質(zhì)，并且判斷集合之間的關(guān)系，來能促進(jìn)他們的邏輯推理。推理的重要性數(shù)學(xué)的核心是推理。沒有推理，無法作數(shù)學(xué)?！處熜柽_(dá)成概念理解、技能訓(xùn)練和問題解決之間的平衡這三個(gè)要素都重要，任何一個(gè)都不能缺少或者被小覷；然而，所謂的均衡并不是把時(shí)間平均分配給這三要素。有時(shí)，學(xué)生可能在某些作業(yè)或任務(wù)中專注于某一要素；其它時(shí)候則專注于兩個(gè)或三個(gè)全部。達(dá)成概念理解、技能訓(xùn)練和問題解決之間的平衡這三個(gè)要素都重要，概念理解數(shù)學(xué)對于某些已有了概念理解的學(xué)生有意義，他們不僅懂得如何運(yùn)用技巧，也知道什么時(shí)候使用，以及為什么使用這些技巧。他們了解數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)和邏輯，并且彈性、有效和適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用。在看見并且了解蘊(yùn)含的概念，他們就居于優(yōu)勢將這套知識運(yùn)用在新的情境和題目，并能辨識他們所犯的程序錯(cuò)誤。概念理解數(shù)學(xué)對于某些已有了概念理解的學(xué)生有意義，他們不僅懂得程序性技能運(yùn)算和程序技能是指所有學(xué)生應(yīng)該學(xué)會經(jīng)常且不假思索的使用。學(xué)生應(yīng)該充分練習(xí)運(yùn)算和程序技能并且經(jīng)常使用它們，才能確保他們熟記；經(jīng)常使用到這些技能是必要的，才能確保這些技能被復(fù)習(xí)并且經(jīng)年牢記。

程序性技能運(yùn)算和程序技能是指所有學(xué)生應(yīng)該學(xué)會經(jīng)常且不假思索的基本的運(yùn)算技能和程序技能對于不同的數(shù)學(xué)層級，必須學(xué)特定的基本運(yùn)算和程序技巧，例如：學(xué)生需牢記一位數(shù)字的加法和乘法運(yùn)算結(jié)果，以及它們延續(xù)的減法和除法。自動(dòng)從長期記憶中提取這些結(jié)果的能力，使得更快速并且減少錯(cuò)誤地解決比較復(fù)雜的題目，例如基本算術(shù)的多步驟題目基本的運(yùn)算技能和程序技能對于不同的數(shù)學(xué)層級，必須學(xué)特定的基本練習(xí)對技能熟練的重要性學(xué)生必須要練習(xí)以達(dá)到熟練技能。練習(xí)應(yīng)該多樣且兵該包括回家作業(yè)和教室活動(dòng)。老師、家長和學(xué)生都需知道，學(xué)生必須投入足夠的時(shí)間和努力去學(xué)習(xí)某項(xiàng)技能，并且長期保有。基本運(yùn)算和程序能力發(fā)展一段時(shí)間，則其深度和復(fù)雜度會經(jīng)年加深?；具\(yùn)算和程序技能的發(fā)展，需要學(xué)生能厘清不同運(yùn)算過程之間的差異，這必須先了解各程序的意義。唯有這樣，學(xué)生才能夠了解何時(shí)使用學(xué)過的技能。為了要保有技能，學(xué)生必須經(jīng)常練習(xí)。練習(xí)對技能熟練的重要性學(xué)生必須要練習(xí)以達(dá)到熟練技能。練習(xí)應(yīng)該問題解決解數(shù)學(xué)題與目標(biāo)有關(guān)的活動(dòng)，牽涉到運(yùn)用技巧、理解以及經(jīng)驗(yàn)，來解決全新的、有挑戰(zhàn)性的或復(fù)雜的數(shù)學(xué)情境。解題牽涉直接朝向數(shù)學(xué)目標(biāo)的一系列動(dòng)作，例如在解決一道應(yīng)用題，任務(wù)要用到一連串的數(shù)學(xué)程序和待解題目的概念表征。問題解決解數(shù)學(xué)題與目標(biāo)有關(guān)的活動(dòng)，牽涉到運(yùn)用技巧、理解以及經(jīng)問題解決的三個(gè)環(huán)節(jié)題目以許多形式出現(xiàn)，有些題目簡單而常見，供學(xué)生練習(xí)以發(fā)展技巧；其它則題目比較復(fù)雜，需要花較長時(shí)間完成。不論這些題目的性質(zhì)如何，要求學(xué)生解的這類題目，重要的是以比較抽象的情境均衡了真實(shí)世界的情境。解題程序通常有下列步驟：適切陳述、分析和轉(zhuǎn)譯整合和表征解題和證明問題解決的三個(gè)環(huán)節(jié)題目以許多形式出現(xiàn)，有些題目簡單而常見，供融合當(dāng)學(xué)生運(yùn)用基本的運(yùn)算和程序技能及理解，去解決新的或復(fù)雜的題目時(shí)，他們的基本技能增強(qiáng)了；挑戰(zhàn)性的題目變得平常，同時(shí)他們的概念理解加深了。他們就把數(shù)學(xué)當(dāng)作是解決教室外問題的一種方法。因此，學(xué)生透過解決不同難度題目、各個(gè)數(shù)學(xué)發(fā)展過程的解題經(jīng)驗(yàn)，增長他們的能力和毅力。融合當(dāng)學(xué)生運(yùn)用基本的運(yùn)算和程序技能及理解，去解決新的或復(fù)雜的評價(jià)評量要符合教學(xué)、引導(dǎo)教學(xué)。經(jīng)常評量學(xué)生以確定他們是否穩(wěn)健地邁向標(biāo)準(zhǔn)；而且這個(gè)評量的結(jié)果有助于設(shè)定教學(xué)的優(yōu)先級、調(diào)整教材教法。評量因應(yīng)不同的目的而設(shè)計(jì)，評量學(xué)生在數(shù)學(xué)課中的程度，必須涵蓋廣泛的標(biāo)準(zhǔn)，這些大范圍的評量測學(xué)生是否具有必備的知識，并且允許學(xué)生呈現(xiàn)對數(shù)學(xué)的完全理解。檢視學(xué)生每日或每周的進(jìn)度，需要一套快速且聚焦的測量工具，總括性的評量用于在一系列課程或一門課末，提供特定且詳細(xì)的信息，有關(guān)已經(jīng)達(dá)到或還沒有達(dá)到哪些標(biāo)準(zhǔn)。評量可以改進(jìn)教學(xué)，當(dāng)教師使用結(jié)果用來分析學(xué)生學(xué)過的，然后重復(fù)教導(dǎo)困難的概念。評價(jià)評量要符合教學(xué)、引導(dǎo)教學(xué)。經(jīng)常評量學(xué)生以確定他們是否穩(wěn)健教學(xué)教學(xué)的品質(zhì)是有效數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃中唯一最重要的要素。國際比較顯示，數(shù)學(xué)教學(xué)的品質(zhì)和學(xué)生的表現(xiàn)之間有高度相關(guān)。在一個(gè)有效的教學(xué)規(guī)劃里：教師們深度理解課程標(biāo)準(zhǔn)及他們所要教的數(shù)學(xué)，不斷努力增進(jìn)他們的課程知識。教師們可以選擇有研究導(dǎo)向的教學(xué)策略，適用于教學(xué)目標(biāo)和學(xué)生需求。老師根據(jù)目標(biāo)有效地組織課程，以達(dá)到標(biāo)準(zhǔn)并指引學(xué)生的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。教師們運(yùn)用評量結(jié)果引導(dǎo)教學(xué)。教學(xué)教學(xué)的品質(zhì)是有效數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃中唯一最重要的要素。國際比較教學(xué)策略沒有單一種教學(xué)法是最好或最適用于所有情境。教師對于任何已知課程的教學(xué)策略有廣大的選擇，例如：教師可能使用直接講授、探索、課堂討論與練習(xí)、小組、個(gè)別化及動(dòng)手操作。教學(xué)策略沒有單一種教學(xué)法是最好或最適用于所有情境。教師對于二階段模式（傳統(tǒng)）在第一階段，在學(xué)生的觀看中，教師呈現(xiàn)一個(gè)新概念、演算或數(shù)學(xué)策略；在第二階段，學(xué)生被要求獨(dú)立作業(yè)去應(yīng)用新信息、經(jīng)常完成作業(yè)單，此時(shí)教師可能（或可能不會）監(jiān)督學(xué)生操作，并且給予回饋。二階段模式（傳統(tǒng)）在第一階段，在學(xué)生的觀看中，教師呈現(xiàn)一個(gè)三階段模式（提倡）在第一階段教師介紹、證明或解釋新概念或策略、提問，并且檢核了解；此時(shí)學(xué)生積極參與，不只是觀察老師的講解或證明

；第二個(gè)階段是過渡階段，設(shè)計(jì)的目的在于造成獨(dú)立應(yīng)用新概念或說明過的策略。在第三階段學(xué)生獨(dú)立作業(yè)。然而，和傳統(tǒng)課程相比，第三階段相當(dāng)簡短，而不是占據(jù)大部分的上課時(shí)間。這個(gè)階段往往是評量，評量的范圍是學(xué)生所學(xué)，以及他們?nèi)绾螌⒅R或技巧用到更廣泛的數(shù)學(xué)領(lǐng)域

三階段模式（提倡）在第一階段教師介紹、證明或解釋新概念或策教學(xué)要求一課或一系列課程，應(yīng)該聚焦在一個(gè)明確的教學(xué)目標(biāo)，與數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)。課程目標(biāo)應(yīng)該促進(jìn)學(xué)生的計(jì)算與程序技能、概念了解、數(shù)學(xué)推理，或綜合上述能力。一課或一系列課程的教學(xué)重點(diǎn)不只「涵蓋」教學(xué)內(nèi)容而已，還要在先備知識的基礎(chǔ)上為未來學(xué)習(xí)預(yù)作準(zhǔn)備。最后，了解每一課的目標(biāo)在該年級課程標(biāo)準(zhǔn)中的脈絡(luò)、在較低年級的課程，以及在較高年級的課程。教學(xué)要求一課或一系列課程，應(yīng)該聚焦在一個(gè)明確的教學(xué)目標(biāo)，與數(shù)能力要求概念能力知道要做什么程序能力知道怎么做數(shù)學(xué)推理能力知道何時(shí)及何地去做清楚了解如何達(dá)到目標(biāo)（清楚某些特定程序可以達(dá)到目標(biāo)）能真正達(dá)到目標(biāo)的行為清楚了解在情境中可行的概念能力和程序能力能力要求概念能力程序能力數(shù)學(xué)推理能力清楚了解如何達(dá)到目標(biāo)（清程序能力

學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)程序或演算是既漫長又沉悶的過程。為了記住數(shù)學(xué)程序，學(xué)生必須練習(xí)使用它們，學(xué)生也應(yīng)該將某個(gè)程序運(yùn)用在各種不同類型的題目，有典型的程序；然而，練習(xí)并非只是一遍又一遍地解決相同問題或類似題，應(yīng)該少量練習(xí)（大約一天20分鐘），而且應(yīng)該包括各種題目。學(xué)生應(yīng)該可以自動(dòng)地將程序應(yīng)用到各種適當(dāng)?shù)膯栴}。自動(dòng)化是指能很快地、不失誤，而且不需學(xué)去思考要做什么。過度練習(xí)分布于幾個(gè)月甚或幾年中，可能有助于幫助學(xué)生在運(yùn)用一些數(shù)學(xué)算法則時(shí)達(dá)到自動(dòng)化。

程序能力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)程序或演算是既漫長又沉悶的過程。為了記住數(shù)概念能力

促進(jìn)學(xué)生對于某個(gè)或某類問題的概念理解，其重要性等同于發(fā)展學(xué)生的計(jì)算與程序技能；沒有概念理解，學(xué)生會經(jīng)常誤用解題程序。比較特別的是，他們往往把原本只適用在某些問題的程序，誤用在其它不適用的問題。概念能力促進(jìn)學(xué)生對于某個(gè)或某類問題的概念理解，其重要性等同教學(xué)時(shí)間一而再的研究已經(jīng)顯示，作業(yè)時(shí)間長短和學(xué)生學(xué)習(xí)成之間有關(guān)。第一優(yōu)先應(yīng)該給數(shù)學(xué)教學(xué)，而且教學(xué)時(shí)間應(yīng)該避免被打擾。在一個(gè)有效的數(shù)學(xué)教學(xué)規(guī)劃中：安排足夠的時(shí)間給數(shù)學(xué)課，所有學(xué)生每天至少接受50到60分鐘的數(shù)學(xué)課（不包括家庭作業(yè)）；對于數(shù)學(xué)成績低于年級標(biāo)準(zhǔn)的所有學(xué)生，無論原因?yàn)楹?，都?yīng)該給予更多的指導(dǎo)時(shí)間。鼓勵(lì)每個(gè)學(xué)生在整個(gè)高中階段選修數(shù)學(xué)課。教學(xué)時(shí)間一而再的研究已經(jīng)顯示，作業(yè)時(shí)間長短和學(xué)生學(xué)習(xí)成之間教學(xué)時(shí)間學(xué)習(xí)時(shí)間延伸到家庭作業(yè)，當(dāng)學(xué)生成熟時(shí)提高難度和作業(yè)時(shí)間，家庭作業(yè)必須評分并檢討。家庭作業(yè)是練習(xí)先前教過的技巧，或令學(xué)生使用以前學(xué)過的知識和技巧去解決新問題。依不同年級給予適當(dāng)?shù)募彝プ鳂I(yè)量，至少在低年級如此，可將焦點(diǎn)放在獨(dú)立練習(xí)和應(yīng)用教過的技巧；至于高程度學(xué)生，作業(yè)則可以用來讓學(xué)生探究新概念。在數(shù)學(xué)課大部分時(shí)間中，鼓勵(lì)學(xué)生做一個(gè)積極的參與者。所謂的「積極」指的是在該時(shí)間里，學(xué)生必須思考數(shù)學(xué)題目或是做數(shù)學(xué)。數(shù)學(xué)教學(xué)最大化，并且避免干擾，例如被召去辦公室、公共廣播或課外活動(dòng)。教學(xué)時(shí)間學(xué)習(xí)時(shí)間延伸到家庭作業(yè)，當(dāng)學(xué)生成熟時(shí)提高難度和作業(yè)回家功課沒有課外學(xué)習(xí)，學(xué)生的成就不會改善?；丶夜φn應(yīng)該在小學(xué)一年級就開始指派，而且隨著年級的增加，也要增加其復(fù)雜的程度與練習(xí)時(shí)間。作為一個(gè)有效的工具，回家功課應(yīng)該效延續(xù)上課的內(nèi)容；它的目的以及跟上課內(nèi)容的關(guān)系，必須對教師、學(xué)生與家長都很清楚。回家功課沒有課外學(xué)習(xí)，學(xué)生的成就不會改善?；丶夜φn應(yīng)該在小教學(xué)資源教學(xué)資源注重涵蓋的深度，最具深度的教學(xué)資源滿足最嚴(yán)謹(jǐn)、最優(yōu)先的標(biāo)準(zhǔn)，提供大量的練習(xí)。教學(xué)資源應(yīng)取得下列三者的均衡：運(yùn)算和程序技巧、概念理解，和解題；并強(qiáng)調(diào)這三者之間的關(guān)連性。教材資源提供大量的機(jī)會給學(xué)生去說明他們的想法，無論是口述或書寫的方式、正式或非正式。教學(xué)資源想法和教具，適于任何教室里的各種學(xué)生。它們提供關(guān)于如何重教一個(gè)概念建議；提供額外的練習(xí)給落后的學(xué)生；或濃縮課程教學(xué)，使得高程度的學(xué)生專注于新教材。教學(xué)資源教學(xué)資源注重涵蓋的深度，最具深度的教學(xué)資源滿足最嚴(yán)教學(xué)分組和進(jìn)度研究顯示，比較會影響學(xué)生學(xué)習(xí)成就的是教學(xué)內(nèi)容，而不是學(xué)生如何分組（Kulik1992;Rogers1991）。教育工作者的首要焦點(diǎn)應(yīng)該總是放在教學(xué)品質(zhì)，分組教學(xué)和進(jìn)度只是教學(xué)工具，教育工作者可用來提高教學(xué)效果，這兩者既不在教學(xué)目的之內(nèi)，也不能成為教學(xué)目的本身。教學(xué)分組和進(jìn)度研究顯示，比較會影響學(xué)生學(xué)習(xí)成就的是教學(xué)內(nèi)容教學(xué)分組和進(jìn)度有效的數(shù)學(xué)課程規(guī)劃：（1）根據(jù)個(gè)別班級的變量選擇分組。（2）根據(jù)學(xué)生表現(xiàn)或例行評量結(jié)果，改變分組策略。明智地使用合作式的分組，由老師給予或指導(dǎo)探索延伸或補(bǔ)充初始教學(xué)。盡管學(xué)生?？蓮谋舜碎g的討論互相學(xué)習(xí)，并且從有機(jī)會彼此討論中受益；然而，教師是教室中主要引導(dǎo)者，在合作學(xué)習(xí)中擔(dān)任主動(dòng)的指導(dǎo)者；當(dāng)使用了合作學(xué)習(xí)，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生朝往最終的目的，精熟標(biāo)準(zhǔn)并且對自己的學(xué)習(xí)負(fù)責(zé)。以教學(xué)需求為取向的跨學(xué)年混班分組教學(xué)，在學(xué)年開始時(shí)增加了教師和行政人員在課表安排上的困擾，可是稍后許多教師發(fā)現(xiàn)，實(shí)行跨年級或跨班級分組教學(xué)后更自由，因?yàn)樗鼫p少了教師在一堂課中必須準(zhǔn)備教導(dǎo)的學(xué)生層級數(shù)。教學(xué)分組和進(jìn)度有效的數(shù)學(xué)課程規(guī)劃：（1）根據(jù)個(gè)別班級的變量資優(yōu)生

有個(gè)分組的縱貫研究，其研究對象是1000多位中低年級資優(yōu)學(xué)生，在特殊學(xué)校特殊班級里接受充實(shí)課程和加速課程。研究結(jié)果發(fā)現(xiàn)，和沒有接受特殊課程的資優(yōu)生比起來，這些學(xué)生在語言藝術(shù)、數(shù)學(xué)、科學(xué)，以及社會科學(xué)的成就表現(xiàn)有很明顯的進(jìn)步(Delcourt等人,1994)。資優(yōu)生有個(gè)分組的縱貫研究，其研究對象是1000多位中低年級教室管理教師正面而且樂觀相信每一名學(xué)生都可以達(dá)到目標(biāo)。研究顯示，教師的自我評價(jià)和對科目的熱忱對于學(xué)生學(xué)習(xí)成就之影響度，更甚于學(xué)生的自我評價(jià)。教室具有強(qiáng)烈的目的，教師和學(xué)生都清楚地了解學(xué)術(shù)和社會兩種要求。學(xué)術(shù)要求直接關(guān)連到標(biāo)準(zhǔn)。促進(jìn)自愿的方法是藉由幫助學(xué)生發(fā)展對數(shù)學(xué)的深層理解，鼓勵(lì)他們下功夫投入學(xué)習(xí)，并且組織教材使得學(xué)生經(jīng)驗(yàn)掌握一項(xiàng)困難的技巧或概念的滿足。謹(jǐn)慎使用外在獎(jiǎng)賞，例如：作為暫時(shí)性獎(jiǎng)勵(lì)的手段，以鼓勵(lì)年紀(jì)較大卻沒有內(nèi)在動(dòng)機(jī)努力學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的學(xué)生們。教室管理教師正面而且樂觀相信每一名學(xué)生都可以達(dá)到目標(biāo)。研究專業(yè)發(fā)展持續(xù)的教師在職訓(xùn)練應(yīng)該把焦點(diǎn)放在：（1）促進(jìn)教師的數(shù)學(xué)精熟度；（2）提供教學(xué)工具，以幫助所有學(xué)生達(dá)到或超過該年級標(biāo)準(zhǔn)。教師發(fā)展是長期投資，由行政系統(tǒng)強(qiáng)力支持并設(shè)計(jì)以確保教師持續(xù)發(fā)展在數(shù)學(xué)課程和補(bǔ)充教材兩方面的知識和技巧。和學(xué)生一樣，教師發(fā)展讓教師們積極參與數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教學(xué)。除了積極參與課堂式的教師發(fā)展以外，也有機(jī)會在課堂訓(xùn)練中與學(xué)生和講師一起互動(dòng)。應(yīng)該邀請能指導(dǎo)教師提高學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)業(yè)成就的專家，示范有效教學(xué)實(shí)務(wù)。安排時(shí)間和機(jī)會給教師，讓他們一起規(guī)劃數(shù)學(xué)課程。專業(yè)發(fā)展持續(xù)的教師在職訓(xùn)練應(yīng)該把焦點(diǎn)放在：（1）促進(jìn)教師的教育管理數(shù)學(xué)成就必須列在學(xué)校的最優(yōu)先項(xiàng)目中。清楚地勾勒出學(xué)校、各年級和個(gè)人的短程和長程目標(biāo)，并且經(jīng)常檢驗(yàn)。安排、分組以及配置人員的調(diào)整，都應(yīng)本于所有學(xué)生都達(dá)到或超越數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)。對于學(xué)生的成就，校長應(yīng)該表現(xiàn)出個(gè)人強(qiáng)烈的責(zé)任感。行政人員事先對偶發(fā)事件做準(zhǔn)備，例如有必要經(jīng)常調(diào)整教學(xué)組別，協(xié)助轉(zhuǎn)校生適應(yīng)，或因?qū)W生成績普遍表現(xiàn)不好，重新設(shè)計(jì)教案。行政人員和教師要密切合作在發(fā)展全校管理系統(tǒng)和全校對數(shù)學(xué)的努力，以展示給學(xué)生、家長和社區(qū)其它成員。教育管理數(shù)學(xué)成就必須列在學(xué)校的最優(yōu)先項(xiàng)目中。社區(qū)參與鼓勵(lì)家長參與教育并共同協(xié)助他們孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。家長的意見受鼓勵(lì)、珍視，并且用于課程規(guī)劃。教材組織過，使得家長、學(xué)生的兄弟姐妹和社區(qū)成員可以廣泛地提供他們的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)。社區(qū)可以作為教室，它能提供許多實(shí)例，關(guān)于數(shù)學(xué)如何以及為何在人們實(shí)際生活、工作和思考中是重要的。社區(qū)參與鼓勵(lì)家長參與教育并共同協(xié)助他們孩子的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。家長內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)條目關(guān)鍵標(biāo)準(zhǔn)(K-7年級)焦點(diǎn)標(biāo)準(zhǔn)(8-12年級)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容標(biāo)準(zhǔn)內(nèi)容數(shù)感代數(shù)&函數(shù)測量&幾何統(tǒng)計(jì)、數(shù)據(jù)分析&概率數(shù)學(xué)推理內(nèi)容各年級的數(shù)學(xué)科目分配表科目年級八九十十一十二代數(shù)I幾何代數(shù)II機(jī)率與統(tǒng)計(jì)三角學(xué)線性代數(shù)數(shù)值分析機(jī)率與統(tǒng)計(jì)的進(jìn)一步應(yīng)用微積分各年級的數(shù)學(xué)科目分配表科目年級八九十十一十二代數(shù)I幾何代數(shù)樣例樣例幼兒園例題：配配看，盡可能將左邊格子里的豆子與右邊格子里的豆子配對，使配對后的豆子總數(shù)不超過10，看最多能有多少組？幼兒園例題：配配看，盡可能將左邊格子里的豆子與右邊格子里的豆幼兒園數(shù)學(xué)推理1.0學(xué)生能決定如何形成問題：1.1能決定采用什么方法、資料和策略。1.2能利用工具或策略，例如：用輔助工具或手繪簡圖來說明已經(jīng)形成的問題。2.0學(xué)生能透過合理的方式進(jìn)行解題，并能檢驗(yàn)他們的推理：2.1能透過實(shí)物和/（或）圖像表征，來解釋個(gè)人的推理過程。2.2能在問題情境中做精確的計(jì)算，并且檢驗(yàn)答案的有效性。例題：一個(gè)袋子里有4個(gè)蘋果，3個(gè)柳橙、5根香蕉和3個(gè)馬鈴薯，請問：（1）袋子里一共有幾個(gè)水果？（2）袋子里一共有幾種不同的水果？（3）袋子里一共有多少個(gè)物品？幼兒園數(shù)學(xué)推理一年級1.4能以幾個(gè)1和幾個(gè)10來計(jì)數(shù)和組合對象（例如：3個(gè)10與4合起來是34，或30＋4）。例題：某一品牌的口香糖每一包有10片，請問：（1）如果要讓14個(gè)學(xué)生每人至少有一片口香糖，那么我們最少要買幾包？（2）如果有19個(gè)學(xué)生呢？（3）21個(gè)學(xué)生呢？一年級1.4能以幾個(gè)1和幾個(gè)10來計(jì)數(shù)和組合對象一年級1.1能根據(jù)問題情境，列出解題之加減法關(guān)系式例題：請依序解出下列各題。（1）Marie的書桌上有一些鉛筆，如果她再放5枝鉛筆，她就有14枝鉛筆，請問書桌上原先有幾枝鉛筆？（2）Eddie原有14個(gè)氦汽球，有些汽球飄走了，還剩下5個(gè)。請問他少了幾個(gè)汽球？（3）Nina有14個(gè)貝殼，她比Pedro多5個(gè)，請問Pedro有幾個(gè)貝殼？（4）5＋（）＝6；（）＋12＝14，（）里的數(shù)分別各是多少？一年級1.1能根據(jù)問題情境，列出解題之加減法關(guān)系式二年級例題：Mysong和Naoki在玩一個(gè)游戲，他們正在做一個(gè)加法的問題，他們利用給定的四個(gè)數(shù)字：1、2、3、4，來做出兩個(gè)二位數(shù)，每個(gè)數(shù)字只能使用一次。如果能做出兩個(gè)二位數(shù)使得兩數(shù)和最大的人就是贏家。Mysong做出43和21，Naoki做出31和24，請問誰是贏家？你怎么知道的？如果你想要打敗Mysong和Naoki，必須要做出哪兩個(gè)二位數(shù)？（改編自TIMSS，gr.4，V-4）（此問題也可適用于數(shù)學(xué)推理課程標(biāo)準(zhǔn)1.0）二年級例題：Mysong和Naoki在玩一個(gè)游戲，他們正在做二年級例題：農(nóng)場里有兩只馬都要裝上馬蹄鐵，請問需要幾個(gè)馬蹄鐵？當(dāng)農(nóng)場有3匹、4匹、5匹、6匹、7匹、8匹、9匹、10匹馬時(shí)，需要幾個(gè)馬蹄鐵？請以一個(gè)系統(tǒng)的(organized)方式來表示。二年級例題：農(nóng)場里有兩只馬都要裝上馬蹄鐵，請問需要幾個(gè)馬蹄鐵三年級例題：請問下列哪一個(gè)敘述是一定會發(fā)生的？哪一個(gè)是可能發(fā)生的？哪一個(gè)是不太可能發(fā)生的？哪一個(gè)是絕不可能發(fā)生的？兩個(gè)六個(gè)面的立方體，每一面分別寫上1、2、3、4、5、6，隨機(jī)丟擲這兩個(gè)立方體，兩個(gè)立方體朝上那面的總和是12。過新年那天下雪。七月中的任何一個(gè)星期日，在我國的某個(gè)地方有一場籃球賽。六月時(shí)陽光普照。任意選兩個(gè)一位數(shù)的和是17。三年級例題：請問下列哪一個(gè)敘述是一定會發(fā)生的？哪一個(gè)是可能發(fā)三年級2.0學(xué)生能利用策略、技能和概念來求解：2.0.1能運(yùn)用估算來檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性。例題：有同學(xué)說49大于21，是因?yàn)?比1大。請證明他是對的，或是證明的說法是錯(cuò)的。三年級2.0學(xué)生能利用策略、技能和概念來求解：四年級例題：下表中的A、B兩行之間有許多不同的規(guī)則，你能說出一種嗎？（改編自TIMSS，gr.4，J-5）四年級例題：下表中的A、B兩行之間有許多不同的規(guī)則，你能說出五年級數(shù)學(xué)推理1.0學(xué)生能決定如何處理問題：1.1在分析問題時(shí)，能藉由辨識關(guān)系、區(qū)分相關(guān)與不相關(guān)的信息、排列資料的先后次序和觀察樣式。1.2能決定在什么時(shí)候、用什么方式把復(fù)雜的問題解析成幾個(gè)較簡單的問題。五年級數(shù)學(xué)推理五年級數(shù)學(xué)推理2.0學(xué)生在求解時(shí)，能利用策略、技能和概念：

2.1能運(yùn)用估算來檢驗(yàn)計(jì)算結(jié)果的合理性。2.2能將解決簡單問題的策略和結(jié)果，應(yīng)用在較復(fù)雜的問題2.3能使用不同的方式，如文字、數(shù)字、符號、圖表、統(tǒng)計(jì)圖表和模型來解釋數(shù)學(xué)的推理。2.4能利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)符號、專有名詞、使用清楚的語言和邏輯呈現(xiàn)解答；并能透過口頭和符號兩方面的證據(jù)來支持解答。2.5能針對問題指出精算與概算二者相對的優(yōu)點(diǎn)；并能依所需給予某種精確程度的答案。2.6能做精確的計(jì)算，并能由問題情境來檢驗(yàn)結(jié)果的有效性。五年級數(shù)學(xué)推理五年級數(shù)學(xué)推理3.0學(xué)生能將特定問題一般化，進(jìn)而遷移到其它的情境。

3.1能由原先情境的脈絡(luò)評估解答的合理性。3.2能指出獲得答案的方法，并且解類似題中發(fā)展出概念性的理解。3.3能將歸納所得到的結(jié)果一般化；并能將它們應(yīng)用在其它的情況。五年級數(shù)學(xué)推理六年級例題：請求出下列各體積（單位是公分）六年級例題：請求出下列各體積（單位是公分）七年級3.0學(xué)生能知道勾股定理；能藉由作出滿足已知條件的形體、辨識形體的屬性，以加深他們對平面、立體幾何形體的了解。3.1能辨識幾何圖形的基本要素（例如：高度、中點(diǎn)、對角線、角平分線、垂直平分線、圓心角、半徑、直徑、圓的弦），并能使用圓規(guī)、直尺作圖。

3.2能理解并使用坐標(biāo)圖來繪制簡單的圖形；能算出它們的長度和面積，并能畫出經(jīng)過平移與反射之后的像。

3.3能知道并能理解勾股定理，以及其逆命題；能利用它來求出直角三角形未知邊的長度，以及其它線段的長度；能在某些情況下藉由直接測量來檢驗(yàn)勾股定理。例題：已知等腰直角三角形的斜邊是，請問腰長為何？七年級3.0學(xué)生能知道勾股定理；能藉由作出滿足已知條件的七年級3.4能說明兩個(gè)幾何圖形全等的條件；并能指出：當(dāng)兩圖形全等時(shí)，兩個(gè)圖形對應(yīng)邊和對應(yīng)角之間的關(guān)系。

3.5能繪制立體模型的平面樣式，例如圓柱、角柱、角錐。

3.6能辨識立體幾何形體的要素（例如，長方體的對角線）；并能描述兩個(gè)或多個(gè)形體在空間中的關(guān)系（例如，歪斜線，三個(gè)平面可能的相交方式）。七年級3.4能說明兩個(gè)幾何圖形全等的條件；并能指出：當(dāng)兩圖代數(shù)I例題：找出圍成下列區(qū)域的兩個(gè)不等式：代數(shù)I例題：找出圍成下列區(qū)域的兩個(gè)不等式：幾何2.0學(xué)生能寫出幾何證明，包括歸謬證法。例題：如果C點(diǎn)是下圖的圓之圓心，證明角b的度數(shù)是角a的兩倍。幾何2.0學(xué)生能寫出幾何證明，包括歸謬證法。幾何7.0學(xué)生能證明與利用的并行線截線性質(zhì)、四邊形的性質(zhì)與圓的性質(zhì)在內(nèi)的定理。試證：依序連結(jié)四邊形各邊的中點(diǎn)（順時(shí)針或逆時(shí)針）所圍成的圖形為平行四邊形。幾何7.0學(xué)生能證明與利用的并行線截線性質(zhì)、四邊形的性質(zhì)幾何14.0學(xué)生能證明勾股定理。15.0學(xué)生能利用勾股定理求距離及找出直角三角形未知邊的長度。16.0學(xué)生能藉由直尺與圓規(guī)進(jìn)行基本作圖，例如：角平分線、垂直平分線及過已知線外一點(diǎn)的并行線。17.0學(xué)生能利用平面坐標(biāo)系來證明以下定理：一線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式、距離公式及直線與圓的方程式之各種等式。18.0學(xué)生能了解由直角三角形的角所定義出的基本三角函數(shù)定義，他們也應(yīng)該知道并且能夠利用這些三角函數(shù)之間的關(guān)系，例如：tan(x)=sin(x)/cos(x)，(sin(x))2+(cos(x))2=1幾何14.0學(xué)生能證明勾股定理。幾何例題：請利用圓的內(nèi)接正六邊形的周長，以解釋為什么π＞3（ICAS1997）。幾何例題：請利用圓的內(nèi)接正六邊形的周長，以解釋為什么π＞3（代數(shù)II例題：在下圖中，介于二個(gè)正方形之間的面積是11平方英吋，二個(gè)正方形的周長是44英吋，請求出較大那個(gè)正方形的邊長（ICAS1997）。代數(shù)II例題：在下圖中，介于二個(gè)正方形之間的面積是11平方英代數(shù)II9.0學(xué)生能說出并解釋(demonstrateandexplain)「改變一個(gè)二次函數(shù)的系數(shù)，會對該函數(shù)的圖形造成什么影響」，也就是說，當(dāng)方程式中的a、b與c改變時(shí)，學(xué)生能知道該方程式的圖形會如何改變。10.0學(xué)生能畫出二次函數(shù)的圖形，并且能求出該函數(shù)的最大值、最小值與函數(shù)值等于0的解。例題：請列出在x=-1與x=2等于0的一個(gè)二次函數(shù)。請列出只有在x=-1與x=2等于0的一個(gè)三次方程式。代數(shù)II9.0學(xué)生能說出并解釋(demonstrate代數(shù)II例題：下列哪些函數(shù)是它自身的反函數(shù)？請你最少用二種方法來回答問題，并且說明你的解法。（ICAS1997）

代數(shù)II例題：下列哪些函數(shù)是它自身的反函數(shù)？請你最少用二種方代數(shù)II科學(xué)家已經(jīng)觀察到：生物體內(nèi)不僅有C12，還有固定比例的放射性元素C14。一旦生物體死亡，C12的量會維持不變，但是C14的量會呈現(xiàn)指數(shù)式的衰減，C14的半衰期是5500年。1965年在Newfoundland發(fā)現(xiàn)維京人的烹飪坑里有木炭。經(jīng)過分析，該木炭剩下88.6%的C14，請問這個(gè)維京人的居所大約是在什么時(shí)候？(ICAS1997)代數(shù)II科學(xué)家已經(jīng)觀察到：生物體內(nèi)不僅有C12，還有固定比例三角例題：請?jiān)诶L圖用的電算器上，畫出函數(shù)的圖形。請選定某個(gè)窗口讓你自己能謹(jǐn)慎的檢視這個(gè)圖形：這個(gè)函數(shù)的周期為何？這個(gè)函數(shù)的振幅為何？利用這個(gè)信息，將函數(shù)f表示成一個(gè)比較簡單的三角函數(shù)。三角例題：請?jiān)诶L圖用的電算器上，畫出函數(shù)的圖形。請選定某個(gè)窗數(shù)學(xué)分析例題：畫出的圖形。畫出