指點(diǎn)迷津(三)在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)第三章在導(dǎo)數(shù)應(yīng)用中如何構(gòu)造函數(shù)函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想是高中數(shù)學(xué)思想中比較重要的兩大思想,而構(gòu)造函數(shù)的解題思路恰好是這兩種思想的良好體現(xiàn).一、利用f(x)進(jìn)行抽象函數(shù)構(gòu)造(一)利用f(x)與x構(gòu)造例1.設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),當(dāng)x<0時(shí),f(x)+xf'(x)<0,且f(-4)=0,則不等式xf(x)>0的解集為

.

思路點(diǎn)撥出現(xiàn)“+”法形式,優(yōu)先構(gòu)造F(x)=xf(x),然后利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.答案:(-∞,-4)∪(0,4)

解析:構(gòu)造F(x)=xf(x),則F'(x)=f(x)+xf'(x),當(dāng)x<0時(shí),f(x)+xf'(x)<0,可以推出當(dāng)x<0時(shí),F'(x)<0,∴F(x)在(-∞,0)上是遞減的.∵F(x)=xf(x)為奇函數(shù),∴F(x)在(0,+∞)上也是遞減的.根據(jù)f(-4)=0可得F(-4)=0,F(4)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像,根據(jù)圖像可知xf(x)>0的解集為(-∞,-4)∪(0,4).2.xf(x),是比較簡(jiǎn)單常見的f(x)與x之間的函數(shù)關(guān)系式,如果碰見復(fù)雜的,不易想的,我們?cè)撊绾翁幚?由此我們可以思考形如此類函數(shù)的一般形式.F(x)=xnf(x),F'(x)=nxn-1f(x)+xnf'(x)=xn-1[nf(x)+xf'(x)];結(jié)論:(1)如果題目中出現(xiàn)nf(x)+xf'(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=xnf(x);(2)如果題目中出現(xiàn)xf'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=

.根據(jù)得出的結(jié)論去解決例2.例2.已知偶函數(shù)f(x)(x≠0)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x),且滿足f(-1)=0,當(dāng)x>0時(shí),2f(x)>xf'(x),

則使得f(x)>0成立的x的取值范圍是

.

思路點(diǎn)撥滿足“xf'(x)-nf(x)”形式,優(yōu)先構(gòu)造F(x)=

,然后利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性和數(shù)形結(jié)合求解即可.答案:(-1,0)∪(0,1)

∴F(x)在(-∞,0)上是遞增的.根據(jù)f(-1)=0可得F(-1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像,根據(jù)圖像可知f(x)>0的解集為(-1,0)∪(0,1).對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1設(shè)f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且f(1)=0,當(dāng)x<0時(shí),有xf'(x)-f(x)>0恒成立,則不等式f(x)>0的解集為

.

答案:(-∞,-1)∪(1,+∞)

∴F(x)在(0,+∞)上也是遞增的.根據(jù)f(1)=0可得F(1)=0,F(-1)=0,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性可得函數(shù)圖像,根據(jù)圖像可知f(x)>0的解集為(-∞,-1)∪(1,+∞).(二)利用f(x)與ex構(gòu)造

例3.已知f(x)是定義在(-∞,+∞)上的函數(shù),導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)<f(x)對(duì)于x∈R恒成立,則(

)A.f(2)>e2f(0),f(2019)>e2019f(0)B.f(2)<e2f(0),f(2019)>e2019f(0)C.f(2)>e2f(0),f(2019)<e2019f(0)D.f(2)<e2f(0),f(2019)<e2019f(0)思路點(diǎn)撥滿足“f'(x)-f(x)<0”形式,優(yōu)先構(gòu)造F(x)=

,然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可,注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.答案:D

導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足f'(x)<f(x),則F'(x)<0,F(x)在R上為減函數(shù),根據(jù)單調(diào)性可知選D.2.同樣exf(x),

是比較簡(jiǎn)單常見的f(x)與ex之間的函數(shù)關(guān)系式,如果碰見復(fù)雜的,我們是否也能找出此類函數(shù)的一般形式呢?F(x)=enxf(x),F'(x)=n·enxf(x)+enxf'(x)=enx[f'(x)+nf(x)];結(jié)論:(1)出現(xiàn)f'(x)+nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=enxf(x);(2)出現(xiàn)f'(x)-nf(x)形式,構(gòu)造函數(shù)F(x)=.根據(jù)得出的結(jié)論去解決例4.例4.若定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f'(x)-2f(x)>0,f(0)=1,則不等式f(x)>e2x的解集為

.

思路點(diǎn)撥滿足“f'(x)-2f(x)>0”形式,優(yōu)先構(gòu)造F(x)=,然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.答案:{x|x>0}

函數(shù)f(x)滿足f'(x)-2f(x)>0,則F'(x)>0,F(x)在R上為增函數(shù).又因?yàn)閒(0)=1,所以F(0)=1,對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2已知函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo),其導(dǎo)函數(shù)為f'(x),若f(x)滿足:(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,f(2-x)=f(x)·e2-2x,則下列判斷一定正確的是(

)A.f(1)<f(0) B.f(2)>e2f(0)C.f(3)>e3f(0) D.f(4)<e4f(0)答案:C

導(dǎo)函數(shù)f'(x)滿足(x-1)[f'(x)-f(x)]>0,則當(dāng)x>1時(shí)F'(x)>0,F(x)在(1,+∞)上是遞增的.當(dāng)x<1時(shí)F'(x)<0,F(x)在(-∞,1)上是遞減的.又由f(2-x)=f(x)e2-2x,可得F(2-x)=F(x),則F(x)關(guān)于x=1對(duì)稱,根據(jù)單調(diào)性和函數(shù)圖像,可知選C.(三)利用f(x)與sin

x,cos

x構(gòu)造sinx,cosx的導(dǎo)函數(shù)存在一定的特殊性,所以也是重點(diǎn)考察的范疇,我們一起看看?？嫉膸追N形式.F(x)=f(x)sinx,F'(x)=f'(x)sinx+f(x)cosx;根據(jù)得出的關(guān)系式來解決例5.例5.已知函數(shù)y=f(x)對(duì)于任意的x∈

滿足f'(x)cosx+f(x)sinx>0(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式不成立的是(

)思路點(diǎn)撥滿足“f'(x)cos

x+f(x)sin

x>0”形式,優(yōu)先構(gòu)造F(x)=,然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可,注意選項(xiàng)的轉(zhuǎn)化.答案:A

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3已知函數(shù)y=f(x-2)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,函數(shù)y=f(x)對(duì)于任意的x∈(0,π)滿足f(x)cosx>f'(x)sinx(其中f'(x)是函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)),則下列不等式成立的是(

)答案:B

解析:∵函數(shù)y=f(x-2)的圖像關(guān)于點(diǎn)(2,0)對(duì)稱,∴函數(shù)f(x)的圖像關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,故f(x)是奇函數(shù).由函數(shù)y=f(x)對(duì)于任意的x∈(0,π)滿足f(x)cos

x>f'(x)sin

x.二、具體函數(shù)關(guān)系式構(gòu)造這類題型需要根據(jù)題意構(gòu)造具體的函數(shù)關(guān)系式,通過具體的關(guān)系式去解決不等式及求值問題.例6.已知α,β∈

,且αsinα-βsinβ>0,則下列結(jié)論正確的是(

)A.α>β

B.α2>β2C.α<β

D.α+β>0思路點(diǎn)撥構(gòu)造函數(shù)f(x)=xsin

x,然后利用函數(shù)的單調(diào)性和數(shù)形結(jié)合求解即可.答案:B

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4已知實(shí)數(shù)a,b,c滿足

=1,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),那么(a-c)2+(b-d)2的最小值為(

)A.8 B.10

C.12

D.18答案: