統(tǒng)計量及其抽樣分布統(tǒng)計量及其抽樣分布假設(shè)檢驗理論統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計估計理論概率論抽樣理論假設(shè)檢驗理論統(tǒng)計方法描述統(tǒng)計推斷統(tǒng)計估計理論概率論抽樣理論學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解統(tǒng)計量及其分布的幾個概念2.了解由正態(tài)分布導(dǎo)出的幾個重要分布

3.掌握樣本均值的分布特征與中心極限定理4.掌握單樣本比例的分布特征5.了解兩個樣本均值之差的分布，了解樣本方差的分布

學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解統(tǒng)計量及其分布的幾個概念一、幾個重要概念

（一）參數(shù)

能夠反映統(tǒng)計總體的基本信息的數(shù)字特征均稱為總體參數(shù)。總體分布已知條件下對總體特征數(shù)字的統(tǒng)計分析和假設(shè)檢驗;

總體分布未知條件下對總體分布特征及相關(guān)數(shù)字特征的統(tǒng)計分析和假設(shè)檢驗.

總體參數(shù)是一個常數(shù)(常常是未知數(shù)),它與抽樣方法以及樣本值是無關(guān)的一、幾個重要概念

（一）參數(shù)

設(shè)X1,X2,…,Xn為來自正態(tài)總體N(,2),

容量為n的樣本,由樣本構(gòu)造的不含有任何未知參數(shù)的函數(shù)T(X1,…,Xn)稱為統(tǒng)計量如樣本均值和樣本方差（二）統(tǒng)計量

若X1,X2,…,Xn只能取0或1,則可構(gòu)造樣本比例統(tǒng)計量

樣本統(tǒng)計量的值高度依賴于樣本值,因此用樣本統(tǒng)計量來推斷總體參數(shù)的值具有一定的不確定性;

樣本統(tǒng)計量的分布具有某種確定的性質(zhì),這種性質(zhì)反映在樣本的抽樣分布中。1、統(tǒng)計量的概念設(shè)X1,X2,…,Xn為來自正態(tài)總體N(,22、次序統(tǒng)計量

把樣本X1,X2，…，Xn由小到大排列，得到X1<

X2<

…Xn

，稱之為樣本X1,X2，…，Xn

的次序統(tǒng)計量。

3、充分統(tǒng)計量

不損失信息的統(tǒng)計量通常稱為充分統(tǒng)計量2、次序統(tǒng)計量總體中各元素的觀察值所形成的分布分布通常是未知的可以假定它服從某種分布總體（一）總體分布三、關(guān)于分布的概念總體中各元素的觀察值所形成的分布總體（一）總體分布三、關(guān)于（二）抽樣分布1.樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由該統(tǒng)計量的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布2.隨機變量是樣本統(tǒng)計量樣本均值,樣本比例，樣本方差等3.結(jié)果來自容量相同的所有可能樣本4.提供了樣本統(tǒng)計量長遠(yuǎn)而穩(wěn)定的信息，是進行推斷的理論基礎(chǔ)，也是抽樣推斷科學(xué)性的重要依據(jù)

（二）抽樣分布1.樣本統(tǒng)計量的概率分布，是一種理論分布抽樣分布的形成過程

(samplingdistribution)總體計算樣本統(tǒng)計量如：樣本均值、比例、方差樣本抽樣分布的形成過程

(samplingdistribut一個樣本中各觀察值的分布也稱經(jīng)驗分布當(dāng)樣本容量n逐漸增大時，樣本分布逐漸接近總體的分布樣本(三)樣本分布(四)漸近分布(五)近似分布一個樣本中各觀察值的分布樣本(三)樣本分布(四)漸近分布(二、由正態(tài)分布導(dǎo)出的三個重要分布（一）2分布由阿貝(Abbe)于1863年首先給出，后來由海爾墨特(Hermert)和卡·皮爾遜(K·Pearson)分別于1875年和1900年推導(dǎo)出來設(shè)隨機變量X1,X2,…,Xn相互獨立,且Xi~N(0,1)。令 2=X12+X22+…+Xn2則稱X2服從自由度為n的2分布,記作2~2(n).二、由正態(tài)分布導(dǎo)出的三個重要分布（一）2分布分布的變量值始終為正分布的形狀取決于其自由度n的大小，通常為不對稱的正偏分布，但隨著自由度的增大逐漸趨于對稱期望為E(2)=n，方差為D(2)=2n(n為自由度)可加性：若U和V為兩個獨立的服從2分布的隨機變量，U~2(n1)，V~2(n2),則U+V這一隨機變量服從自由度為n1+n2的2分布2分布

(性質(zhì)和特點)分布的變量值始終為正2分布

(性質(zhì)和特點)c2分布

(圖示)

選擇容量為n的簡單隨機樣本計算樣本方差s2計算卡方值2=(n-1)s2/σ2計算出所有的

2值不同容量樣本的抽樣分布c2n=1n=4n=10n=20ms總體c2分布

(圖示)選擇容量為n的計算卡方值計算出所有的不（二）t-分布

若

X~N(0,1),Y~2(n),且X與Y相互獨立，則稱

服從自由度為n的t-分布,記作t~t(n).說明:

當(dāng)樣本容量n較小時,t-分布與正態(tài)分布差異較大,

當(dāng)樣本容量n較大(n>30)時,t-分布與正態(tài)分布基本一致。（二）t-分布服從自由度為n的t-分布（三）F-分布

若

Y~2(m),Z~2(n),

且Y與Z相互獨立，則稱隨機變量X有如下表達(dá)式：服從自由度為(m,n)

的F-分布,記作X~F(m,n)。

說明:若X~F(m,n),

則（三）F-分布服從自由度為(m,n)的F-分布,記三、樣本統(tǒng)計量的抽樣分布

(一個總體參數(shù)推斷時)（一）樣本均值的抽樣分布（二）樣本比例的抽樣分布（三）樣本方差的抽樣分布三、樣本統(tǒng)計量的抽樣分布

(一個總體參在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布一種理論概率分布推斷總體均值的理論基礎(chǔ) （一）樣本均值的抽樣分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本均值的所有可能取值形成的相樣本均值的抽樣分布

(例題分析)【例】設(shè)一個總體，含有4個元素(個體)

，即總體單位數(shù)N=4。4

個個體分別為x1=1，x2=2，x3=3，x4=4

?？傮w的均值、方差及分布如下總體分布14230.1.2.3均值和方差樣本均值的抽樣分布

(例題分析)【例】設(shè)一個總體，含有4個元樣本均值的抽樣分布

(例題分析)

現(xiàn)從總體中抽取n＝2的簡單隨機樣本，在重復(fù)抽樣條件下，共有42=16個樣本。所有樣本的結(jié)果為3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二個觀察值第一個觀察值所有可能的n=2的樣本（共16個）樣本均值的抽樣分布

(例題分析)現(xiàn)從總體中抽取n＝2的樣本均值的抽樣分布

(例題分析)計算出各樣本的均值，如下表。并給出樣本均值的抽樣分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二個觀察值第一個觀察值16個樣本的均值（x）x樣本均值的抽樣分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5樣本均值的抽樣分布

(例題分析)計算出各樣本的均值，如樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差式中：M為樣本數(shù)目為樣本均值的均值樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差式中：M為樣本數(shù)目樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)=2.5σ2=1.25總體分布14230.1.2.3抽樣分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x比較及結(jié)論：1.樣本均值的均值（數(shù)學(xué)期望）等于總體均值

2.樣本均值的方差等于總體方差的1/n樣本均值的分布與總體分布的比較

(例題分析)=2樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50

=10x總體分布n=4抽樣分布xn=16當(dāng)總體服從正態(tài)分布N(μ,σ2)時，來自該總體的所有容量為n的樣本的均值X也服從正態(tài)分布,X的數(shù)學(xué)期望為μ，方差為σ2/n。即X～N(μ,σ2/n)樣本均值的抽樣分布

與中心極限定理=50=10x總中心極限定理

(centrallimittheorem)當(dāng)樣本容量足夠大時(n

30)，樣本均值的抽樣分布逐漸趨于正態(tài)分布從均值為，方差為

2的一個任意總體中抽取容量為n的樣本，當(dāng)n充分大時，樣本均值的抽樣分布近似服從均值為μ，方差為σ2/n的正態(tài)分布一個任意分布的總體x中心極限定理

(centrallimittheorem)中心極限定理

(centrallimittheorem)

的分布趨于正態(tài)分布的過程中心極限定理

(centrallimittheorem抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣本樣本均值正態(tài)分布樣本均值正態(tài)分布樣本均值非正態(tài)分布抽樣分布與總體分布的關(guān)系總體分布正態(tài)分布非正態(tài)分布大樣本小樣統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤

(standarderror)樣本統(tǒng)計量的抽樣分布的標(biāo)準(zhǔn)差，稱為統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤，也稱為標(biāo)準(zhǔn)誤差標(biāo)準(zhǔn)誤衡量的是統(tǒng)計量的離散程度，它測度了用樣本統(tǒng)計量估計總體參數(shù)的精確程度以樣本均值的抽樣分布為例，在重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的標(biāo)準(zhǔn)誤為統(tǒng)計量的標(biāo)準(zhǔn)誤

(standarderror)樣本統(tǒng)計量估計的標(biāo)準(zhǔn)誤

(standarderrorofestimation)當(dāng)計算標(biāo)準(zhǔn)誤時涉及的總體參數(shù)未知時，用樣本統(tǒng)計量代替計算的標(biāo)準(zhǔn)誤，稱為估計的標(biāo)準(zhǔn)誤以樣本均值的抽樣分布為例，當(dāng)總體標(biāo)準(zhǔn)差未知時，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替，則在重復(fù)抽樣條件下，樣本均值的估計標(biāo)準(zhǔn)誤為估計的標(biāo)準(zhǔn)誤

(standarderrorofest求樣本平均數(shù)的概率分布

設(shè)某公司1000名職工的人均年獎金為2000元，標(biāo)準(zhǔn)差500元，隨機抽取36人作為樣本進行調(diào)查，問樣本的人均年獎金在1900~2200元之間的概率有多大？求樣本平均數(shù)的概率分布設(shè)某公司1000名職工的人均年獎（二）樣本比例的抽樣分布（二）樣本比例的抽樣分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比不同性別的人與全部人數(shù)之比合格品(或不合格品)與全部產(chǎn)品總數(shù)之比總體比例可表示為樣本比例可表示為

（二）樣本比例的抽樣分布總體(或樣本)中具有某種屬性的單位與全部單位總數(shù)之比（二）樣在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本比例的所有可能取值形成的相對頻數(shù)分布一種理論概率分布當(dāng)樣本容量很大時（），樣本比例的抽樣分布可用正態(tài)分布近似推斷總體比例的理論基礎(chǔ) 樣本比例的抽樣分布在重復(fù)選取容量為n的樣本時，由樣本比例的所有可能取值形成的相樣本比例的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)樣本比例的數(shù)學(xué)期望樣本比例的方差樣本比例的抽樣分布

(數(shù)學(xué)期望與方差)樣本比例的數(shù)學(xué)期望

某商場推銷一種洗發(fā)水。據(jù)統(tǒng)計，本年度購買此種洗發(fā)水的有10萬人，其中6萬是女性。如果按重復(fù)隨機抽樣方法，從購買者中抽出100人進行調(diào)查，問樣本中女性比例超過50%的可能性有多大？某商場推銷一種洗發(fā)水。據(jù)統(tǒng)計，本年度購買此種兩個總體都為正態(tài)分布，即，兩個樣本均值之差的抽樣分布服從正態(tài)分布，其分布的數(shù)學(xué)期望為兩個總體均值之差3.方差為各自的方差之和 （一）兩個樣本均值之差的抽樣分布四、樣本統(tǒng)計量的抽樣分布

(兩個總體參數(shù)推斷時)兩個總體都為正態(tài)分布，即兩個樣本均值之差的抽樣分布

m1s1總體1s2

m2總體2抽取簡單隨機樣樣本容量n1計算X1抽取簡單隨機樣樣本容量n2計算X2計算每一對樣本的X1

-X2所有可能樣本的X1-X2m1-m2抽樣分布兩個樣本均值之差的抽樣分布m1s1總體1s2兩個總體都服從二項分布分別從兩個總體中