給藥方案微分方程模型知識(shí)點(diǎn)一、問題的提出二、問題分析三、模型假設(shè)四、模型建立與求解一、問題的提出如果生病了，怎么辦？吃藥，打針！一、問題的提出

藥物進(jìn)入機(jī)體后隨著血液輸送到各個(gè)器官和組織，在這個(gè)過程中不斷地被吸收、分布、代謝，最終排出體外，藥物在血液中的濃度，即單位體積血液中的藥物含量，稱為血藥濃度。血藥濃度太高太低不能達(dá)到預(yù)期的效果可能會(huì)導(dǎo)致藥物中毒、副作用太強(qiáng)、造成浪費(fèi)動(dòng)態(tài)過程與藥理反應(yīng)間的定量關(guān)系一、問題的提出血藥濃度1.在快速靜脈注射的給藥方式下，研究血藥濃度（單位體積血液中的藥物含量）的變化規(guī)律。2.給定藥物的最小有效濃度和最大治療濃度，設(shè)計(jì)給藥方案：每次注射劑量多大；間隔時(shí)間多長？給藥方案建立模型二、問題分析藥物進(jìn)入機(jī)體輸送過程復(fù)雜，采用“房室系統(tǒng)”的觀點(diǎn)來考察問題。室內(nèi)血藥濃度是均勻的。臨床上，每種藥物有一個(gè)最小有效濃度c1和一個(gè)最大有效濃度c2。設(shè)計(jì)給藥方案時(shí)，要使血藥濃度保持在c1~c2之間。本題設(shè)c1=10，c2=25(ug/ml).整個(gè)機(jī)體看作一個(gè)房室（中心室）給藥排出吸收、分布、代謝單房室系統(tǒng)二、問題分析

在實(shí)驗(yàn)方面,對某人用快速靜脈注射方式一次注入該藥物300mg后,在一定時(shí)刻t(小時(shí))采集血樣,測得血藥濃度c(ug/ml)如下表:t(h)0.250.511.523468c(g/ml)19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01

要設(shè)計(jì)給藥方案,必須知道給藥后血藥濃度隨時(shí)間變化的規(guī)律。從實(shí)驗(yàn)和理論兩方面著手：二、問題分析實(shí)驗(yàn)：利用matlab軟件對血藥濃度數(shù)據(jù)作圖符合負(fù)指數(shù)變化規(guī)律二、問題分析理論上：用一室模型研究血藥濃度變化規(guī)律整個(gè)機(jī)體看作一個(gè)房室（中心室）給藥排出注射劑量血液體積排出速率血藥濃度血藥濃度的分布三、模型假設(shè)排出速率：藥物排出速率與血藥濃度成正比(比例系數(shù)k)注射劑量血液體積血液體積v,t=0時(shí)注射劑量d,血藥濃度為d/v.血藥濃度的分布：機(jī)體看作一個(gè)房室，室內(nèi)血藥濃度均勻分布四、模型建立與求解整個(gè)機(jī)體看作一個(gè)房室（中心室）給藥排出動(dòng)態(tài)平衡

快速靜脈注射的給藥方式下,只輸出，不輸入d=300mg，t及c（t）在某些點(diǎn)處的值見前表，經(jīng)擬合求出參數(shù)k、v四、模型建立與求解計(jì)算結(jié)果：d=300;t=[0.250.511.523468];c=[19.2118.1515.3614.1012.899.327.455.243.01];y=log(c);a=polyfit(t,y,1)k=-a(1)v=d/exp(a(2))程序：四、模型建立與求解cc2c10t

設(shè)每次注射劑量D,間隔時(shí)間

血藥濃度c(t)

應(yīng)c1c(t)c2

初次劑量D0應(yīng)加大計(jì)算結(jié)果：c1=10,c2=25k=0.2347v=15.02給藥方案記為：2、1、四、模型建立與求解14故可制定給藥方案：首次注射375mg其余每次注射225mg注射的間隔時(shí)間為4小時(shí)人口問題——

邏輯斯諦模型微分方程模型知識(shí)點(diǎn)一、邏輯斯諦模型二、模型檢驗(yàn)與人口預(yù)測三、模型的應(yīng)用一、邏輯蒂斯模型人口增長到一定數(shù)量后增長率下降的原因阻滯作用隨人口增加而變大資源、環(huán)境等因素對人口增長的阻滯作用簡單、便于應(yīng)用的線性函數(shù)r是

x的減函數(shù)系數(shù)a,b？內(nèi)稟(固有)增長率r~

理論上x=0時(shí)的增長率.人口容量xm~

資源和環(huán)境對人口的最大容量.r(0)=rr(xm)=

0一、邏輯蒂斯模型r(0)=r,

r(xm)=0

a=rb=r/xm

(1-x/xm)~資源和環(huán)境阻滯人口增長rx~自身增長一、邏輯蒂斯模型tx0xmx0xm/2logistic曲線求解t1/2

dx/dtxOxmxm/2一、邏輯蒂斯模型用數(shù)據(jù)和非線性最小二乘估計(jì)參數(shù).模型年實(shí)際人口（百萬）logistic模型17903.97.718005.39.518107.211.7………1980226.5228.31990248.7252.02000281.4275.1誤差平方和

458.2r=0.2155/10年,x0=7.6962,xm=443.9931一、邏輯蒂斯模型指數(shù)模型logistic模型34742458指數(shù)模型與logistic模型計(jì)算結(jié)果比較(誤差平方和)對1790年至2000年美國人口數(shù)據(jù)的擬合，logistic模型比指數(shù)增長模型有很大改善.二、模型檢驗(yàn)和人口預(yù)測用1790年至2000年美國人口估計(jì)參數(shù)代入模型，計(jì)算2010年人口與實(shí)際值比較作為模型檢驗(yàn)2010年實(shí)際人口加入重估參數(shù)預(yù)測2020年人口年17901800181018201830184018501860人口(百萬)3.95.37.29.612.917.123.231.4增長率/10年0.29490.31130.29860.29690.29070.30120.30820.2452年18701880189019001910192019301940人口(百萬)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7增長率/10年0.24350.24200.20510.19140.16140.14570.10590.1059年19501960197019801990200020102020

人口(百萬)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7

增長率/10年0.15790.14640.11610.10040.11040.1349

美國人口數(shù)據(jù)二、模型檢驗(yàn)和人口預(yù)測上面表、圖給出的結(jié)果是利用1790年至2000年美國人口數(shù)據(jù)估計(jì)的參數(shù)代入模型計(jì)算得到的這些結(jié)果與同期實(shí)際數(shù)據(jù)比較雖能反映模型與數(shù)據(jù)的擬合程度,但不是真正意義上的模型檢驗(yàn)在估計(jì)指數(shù)模型和邏輯蒂斯模型參數(shù)時(shí)未用2010年的美國人口，留下這個(gè)實(shí)際數(shù)據(jù)用于模型檢驗(yàn)二、模型檢驗(yàn)和人口預(yù)測模型檢驗(yàn)的誤差在5%以內(nèi)，可以接受預(yù)測準(zhǔn)確性需等2020年美國人口調(diào)查結(jié)果公布

實(shí)際人口（百萬）指數(shù)模型logistic模型2010年308.7515.0297.0誤差

66.8%-3.8%2020年？

326.8拭目以待三、邏輯蒂斯模型的應(yīng)用logistic模型

~

歐洲生物數(shù)學(xué)家Verhulst19世紀(jì)提出生態(tài)、醫(yī)療領(lǐng)域中的應(yīng)用魚塘中魚群數(shù)量森林中樹木數(shù)量

傳染病傳播人數(shù)的變化規(guī)律三、邏輯蒂斯模型的應(yīng)用經(jīng)濟(jì)、社會(huì)領(lǐng)域中的應(yīng)用耐用消費(fèi)品銷售量消息傳播范圍的變化規(guī)律人口問題——

馬爾薩斯模型微分方程模型知識(shí)點(diǎn)一、問題的提出二、問題分析三、模型建立與求解四、模型檢驗(yàn)五、模型評價(jià)一、問題的提出一、問題的提出一、問題的提出想一想：未來的人口數(shù)據(jù)怎么來的呢？如何預(yù)測未來人口數(shù)量？認(rèn)識(shí)人口數(shù)量的變化規(guī)律，建立人口模型，作出較準(zhǔn)確的預(yù)報(bào)二、問題分析外來人口自然災(zāi)害出生，死亡，遷入，遷出國家政策婚姻試想一下：影響我國人口數(shù)變化的因素有哪些呢？戰(zhàn)爭出國定居醫(yī)療水平二、問題分析我們知道，人口數(shù)量本應(yīng)取離散值是時(shí)間t的不連續(xù)函數(shù)，但由于人口數(shù)量一般較大，為建立模型，可將人口數(shù)量看作連續(xù)變量，關(guān)于時(shí)間t的連續(xù)可微函數(shù)。人口的變化出生率死亡率遷入率遷出率人口增長率=出生率-死亡率+遷入率-遷出率二、問題分析符號(hào)說明

三、模型建立與求解

得到微分方程

三、模型建立與求解

17世紀(jì)末，英國神父馬爾薩斯調(diào)查了英國一百多年的人口統(tǒng)計(jì)資料，得出了人口增長率不變的假設(shè)，忽略遷入率和遷出率，出版了屬于他自己的人口增長理論著作——《人口論》。其中人口自然增長率即為出生率與死亡率的差值

三、模型建立與求解

指數(shù)增長模型——馬爾薩斯模型

三、模型建立與求解求解結(jié)果

四、模型檢驗(yàn)

在實(shí)際應(yīng)用時(shí)人們常以年為單位來考察人口的變化情況，例如，取t-t0=0，1，2，3，……n，，這樣就得到了以后各年的人口數(shù)為：

四、模型檢驗(yàn)

年17901800181018201830184018501860人口(百萬)3.95.37.29.612.917.123.231.4年18701880189019001910192019301940人口(百萬)38.650.262.976.092.0105.7122.8131.7年1950196019701980199020002010

人口(百萬)150.7179.3203.2226.5248.7281.4308.7

用美國人口數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證四、模型檢驗(yàn)直接用人口數(shù)據(jù)和線性最小二乘法.1790年(t=0)至2000年美國人口數(shù)據(jù)

MATLAB編程計(jì)算最小二乘法

r=0.2053/10年，x0=5.9251程序t=0:1:21;x=[3.95.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692105.7122.8131.7150.7179.3203.2248.7281.4308.7];y=log(x);a=polyfit(t,y,1)x0=exp(a(2));四、模型檢驗(yàn)

美國人口用馬爾薩斯模型計(jì)算結(jié)果的比較程序：r=0.022;x0=5.9551;t=1:10:200;x=x0*exp(r*t)x1=[5.37.29.612.917.123.231.438.650.262.97692105.7122.8131.7150.7179.3203.2248.7281.4];yi=(abs(x1-x))./x1年實(shí)際人口（百萬）馬爾薩斯模型相對誤差17903.918005.35.10.0318107.27.60.0518209.69.40.02183012.911.80.09………1960179.3187.60.131970203.2229.60.151980226.5281.00.261990248.7343.80.282000281.4420.80.41五、模型評價(jià)人口增長率不變？短期人口預(yù)測可行長期人口預(yù)測不可行小結(jié)分析了影響人口數(shù)量變化的因素。1建立了指數(shù)變化模型即馬爾薩斯模型2用實(shí)際數(shù)據(jù)檢驗(yàn)了模型發(fā)現(xiàn)模型可用于短期人口預(yù)測，不適用于長期人口預(yù)測。3崖高的估算微分方程模型知識(shí)點(diǎn)一、問題的提出二、模型一自由落體模型三、模型二線性微分方程模型四、模型三非線性微分方程組模型一、問題的提出一、問題的提出

嵩山的意外之旅一、問題的提出假如你站在崖點(diǎn)A處，身上有一個(gè)帶秒表功能的手機(jī)及紙筆，你會(huì)怎么來估算山崖的高度呢？A?我有一個(gè)帶秒表功能的手機(jī)，我中學(xué)學(xué)過物理。一、問題的提出

假如你站在崖頂且身上有一個(gè)帶秒表功能的手機(jī)以及紙筆，你可以用扔下一塊石頭聽聲音的方法來估計(jì)石頭從山崖落到地面的時(shí)間的高度，假定你能準(zhǔn)確地測定時(shí)間，你又怎樣來推算山崖的高度呢？假定空氣阻力不計(jì)，可以直接利用自由落體運(yùn)動(dòng)的公式我學(xué)過微積分、常微分方程，我可以做得更好，呵呵。

二、模型一（自由落體模型）

來計(jì)算。例如，設(shè)t=4秒，g=9.81米/秒2，則可求得h≈78.5米。三、模型二（線性微分方程模型）mgf空氣阻力

除去地球吸引力外，對石塊下落影響最大的當(dāng)屬空氣阻力。根據(jù)流體力學(xué)知識(shí)，此時(shí)可設(shè)空氣阻力正比于石塊下落的速度，阻力系數(shù)K為常數(shù)，因而，由牛頓第二定律可得：

令