常微分方程及其應(yīng)用第1頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月第一節(jié)微分方程的基本概念第二節(jié)可分離變量的微分方程第三節(jié)齊次方程第四節(jié)一階線性微分方程第五節(jié)可降階的高階微分方程第六節(jié)二階常系數(shù)齊次線性微分方程第2頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例一曲線通過點，且在該曲線上任意點處的切線斜率為橫坐標的兩倍，求這曲線的方程。在許多實際問題中，往往不能找出所需要的函數(shù)關(guān)系，但是根據(jù)問題所提供的情況，有時可以列出含有要找的函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式，這樣的關(guān)系式就是所謂的微分方程。第3頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月一、微分方程凡表示未知函數(shù)、未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及自變量之間的關(guān)系的方程。（未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)必須出現(xiàn)。）如果其中的未知函數(shù)只與一個自變量有關(guān)，則稱為常微分方程；如果未知函數(shù)是兩個或兩個以上自變量的函數(shù)，并且在方程中出現(xiàn)偏導(dǎo)數(shù)，則稱為偏微分方程.

判斷下列方程是否為微分方程：否是是第4頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月二、微分方程的階微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)。一階三階三階第5頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月三、微分方程的一般形式1、一階微分方程或2、二階微分方程或第6頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月四、微分方程的解若函數(shù)滿足，把它及它的導(dǎo)數(shù)代入微分方程時，能使方程恒成立，這樣的函數(shù)稱為微分方程的解。1、微分方程的通解如果微分方程的解中含有任意常數(shù)，且任意常數(shù)的個數(shù)與微分方程的階數(shù)相同，這樣的解稱為微分方程的通解。２、微分方程的特解微分方程的解如果是完全確定的（即不含任意常數(shù)），就稱為微分方程的特解。第7頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月五、初值條件

在通解中含有任意常數(shù)，為了得到特解必須根據(jù)一些條件來確定這些常數(shù)，這種條件稱為初值條件。一階微分方程二階微分方程第8頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月求一階微分方程滿足初值條件的特解這樣一個問題，稱為一階微分方程的初值問題。六、初值問題記為第9頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例1驗證函數(shù)

是微分方程的通解。例2求例1中滿足初始條件，的特解。第10頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3已知曲線上點處的法線與x軸的交點為Q，且線段PQ被y軸平分，求曲線方程。第11頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定義如果一個一階微分方程能化成（１）的形式，那么原方程稱為可分離變量的微分方程。設(shè)和的原函數(shù)分別為和。對(1)兩邊積分，則得（2）

二元方程（２）就稱為微分方程（１）的隱式通解。第12頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例3設(shè)降落傘下落后，所受空氣阻力與速度成正比（系數(shù)為k，k>0）。設(shè)開始速度為0，求降落傘下落速度與時間的函數(shù)關(guān)系。例2求微分方程的通解。例1求微分方程滿足的通解。第13頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例4質(zhì)量為1g的質(zhì)點受外力作用作直線運動，這外力和時間成正比。在時，速度等于

，外力為。問從運動開始經(jīng)過了后質(zhì)點的速度是多少？第14頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月

一、定義

如果一階微分方程可化成

的形式，則稱為齊次方程。二、分離變量(換元法)設(shè)問：是否為齊次方程？則代入齊次方程第15頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月分離變量,得兩邊積分,得到u和x的函數(shù),再將u換成,即得所給齊次方程的解.例１求解方程例２求解微分方程例3求解微分方程第16頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例4探照燈的聚光鏡是一張旋轉(zhuǎn)曲面，它的形狀由XOY坐標面上的一條曲線L繞x軸旋轉(zhuǎn)而成。按聚光鏡性能的要求，在其旋轉(zhuǎn)軸（X軸）上一點O處發(fā)出的一切光線，經(jīng)它反射后都與旋轉(zhuǎn)軸（X軸）平行。求曲線L的方程。P建立微分方程第17頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月（１）

稱為一階線性微分方程。所謂線性微分方程是指方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)及未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)都是一次的。例如是一階線性微分方程。其中不是一階線性微分方程。形如第18頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，稱(2)是對應(yīng)于(1)的齊次線性微分方程現(xiàn)在要求非齊次微分方程（1）的解，先來研究齊次線性方程（2）的解。當(dāng)時，稱（1）是非齊次線性微分方程分離變量第19頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月接下來采用常數(shù)變易法設(shè)，則（3）這就是一階非齊次線性微分方程的通解。代入(1)得第20頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月結(jié)論：一階非齊次線性方程的通解等于對應(yīng)的齊次方程的通解與非齊次方程的一個特解之和。把通解拆開齊次方程通解非齊次方程C=0時的特解第21頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例１求解微分方程例2求方程滿足條件

x=2時y=1的特解。第22頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例３一容器內(nèi)盛鹽水100L，含鹽50g?，F(xiàn)以濃度為g／L的鹽水注入容器內(nèi)，其流量為L／min。設(shè)注入之鹽水與原有鹽水被攪拌而迅速成為均勻的混合液，同時，此混合液又以流量為L／min流出。試求容器內(nèi)的鹽量與時間t的函數(shù)關(guān)系。第23頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月定義二階及二階以上的微分方程稱為高階微分方程。下面介紹三種典型的容易降階的微分方程,相應(yīng)求解方法稱為降階法。一、型二、型三、型第24頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求的通解。例2質(zhì)量為m的質(zhì)點受力F作用沿OX軸作直線運動，設(shè)力F僅是時間t的函數(shù)：。在t=0時，，隨著時間t的增大，力F均勻地減小，直到t=T時，。若開始時質(zhì)點位于原點，且初速度為0，求這質(zhì)點的運動規(guī)律。F0xtF(t)T第25頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè),則方程可化為通解為得到微分方程分離變量或者直接積分得到通解第26頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例1求微分方程的通解例2設(shè)子彈以200m/s的速度射入厚為0.1m的木板，受到的阻力大小與子彈的速度平方成正比，如果子彈穿出木板時的速度為80m/s，求子彈穿過木板所需的時間。設(shè)子彈質(zhì)量為m；子彈剛射入木板時為原點且t=0，取運動方向為正方向0.1m0x第27頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月設(shè)，則原方程化為通解為又得微分方程分離變量，得通解例求方程滿足的特解。第28頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月形如（1）稱為二階常系數(shù)齊次線性微分方程。P、q為常數(shù)。定理設(shè)及是方程（1）的兩

個解，則對于任意常數(shù)、，仍然是（１）的解。第29頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)時，

，是兩個不相等的實根。(ii)當(dāng)時，(iii)當(dāng)時，

是一對共軛復(fù)根。稱為對應(yīng)于(1)的特征方程第30頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月(i)特征方程有兩個不相等的實根：(ii)特征方程有兩個相等的實根：(iii)特征方程有一對共軛復(fù)根：第31頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月解下列微分方程:1、2、3、4、5、6、7、第32頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月例8設(shè)有一彈簧，它的上端固定，下端掛一個質(zhì)量為m的物體。當(dāng)物體處于靜止狀態(tài)時，作用在物體上的重力與彈簧作用于物體的彈性力大小相等、方向相反。（這個位置就是物體的平衡位置）?，F(xiàn)有一外力使物體離開平衡位置，并隨即撤去外力，那么物體便在平衡位置附近作上下振動，求物體的振動規(guī)律。第33頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月取X軸鉛直向下，平衡位置為原點。設(shè)在時刻t物體所在的位置為x，則x=x(t)為所要求的振動規(guī)律。1、當(dāng)振幅不大時，彈簧使物體回到平衡位置時的彈性恢復(fù)力f和物體離開平衡位置的位移x成正比：第34頁，課件共41頁，創(chuàng)作于2023年2月2、物體在運動中，受到阻尼介質(zhì)的阻力作用，使得振動逐漸停止。當(dāng)物體的速度不太大時，阻力與運動速度成正比。物體自由振動的微分方程第35頁，課件