直線和圓知識點總結(jié)直線的傾斜角：定義：在平面直角坐標系中，對于一條與軸相交的直線，如果把軸繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合時所轉(zhuǎn)的最小正角記為，那么就叫做直線的傾斜角。當直線與軸重合或平行時，規(guī)定傾斜角為0；（2）傾斜角的范圍。如（1）直線的傾斜角的范圍是____（答：）；（2）過點的直線的傾斜角的范圍值的范圍是______（答：）2、直線的斜率：（1）定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切值叫這條直線的斜率，即＝tan(≠90°)；傾斜角為90°的直線沒有斜率；（2）斜率公式：經(jīng)過兩點、的直線的斜率為；（3）直線的方向向量，直線的方向向量與直線的斜率有何關系？（4）應用：證明三點共線：。如(1)兩條直線鈄率相等是這兩條直線平行的____________條件（答：既不充分也不必要）；（2）實數(shù)滿足()，則的最大值、最小值分別為______（答：）3、直線的方程：（1）點斜式：已知直線過點斜率為，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（2）斜截式：已知直線在軸上的截距為和斜率，則直線方程為,它不包括垂直于軸的直線。（3）兩點式：已知直線經(jīng)過、兩點，則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線。（4）截距式：已知直線在軸和軸上的截距為,則直線方程為，它不包括垂直于坐標軸的直線和過原點的直線。（5）一般式：任何直線均可寫成(A,B不同時為0)的形式。如（1）經(jīng)過點（2，1）且方向向量為=(－1,)的直線的點斜式方程是___________（答：）；（2）直線，不管怎樣變化恒過點______（答：）；（3）若曲線與有兩個公共點，則的取值范圍是_______（答：）提醒：(1)直線方程的各種形式都有局限性.（如點斜式不適用于斜率不存在的直線，還有截距式呢？）；(2)直線在坐標軸上的截距可正、可負、也可為0.直線兩截距相等直線的斜率為-1或直線過原點；直線兩截距互為相反數(shù)直線的斜率為1或直線過原點；直線兩截距絕對值相等直線的斜率為或直線過原點。如過點，且縱橫截距的絕對值相等的直線共有___條（答：3）4.設直線方程的一些常用技巧：（1）知直線縱截距，常設其方程為；（2）知直線橫截距，常設其方程為(它不適用于斜率為0的直線)；（3）知直線過點，當斜率存在時，常設其方程為，當斜率不存在時，則其方程為；（4）與直線平行的直線可表示為；（5）與直線垂直的直線可表示為.提醒：求直線方程的基本思想和方法是恰當選擇方程的形式，利用待定系數(shù)法求解。5、點到直線的距離及兩平行直線間的距離：（1）點到直線的距離；（2）兩平行線間的距離為。6、直線與直線的位置關系：（1）平行（斜率）且（在軸上截距）；（2）相交；（3）重合且。提醒：（1）、、僅是兩直線平行、相交、重合的充分不必要條件！為什么？（2）在解析幾何中，研究兩條直線的位置關系時，有可能這兩條直線重合，而在立體幾何中提到的兩條直線都是指不重合的兩條直線；直線與直線垂直。如（1）設直線和，當＝_______時∥；當＝________時；當_________時與相交；當＝_________時與重合（答：－1；；；3）；（2）已知直線的方程為，則與平行，且過點（—1，3）的直線方程是______（答：）；兩條直線與相交于第一象限，則實數(shù)的取值范圍是____（答：）；設分別是△ABC中∠A、∠B、∠C所對邊的邊長，則直線與的位置關系是____（答：垂直）；（5）已知點是直線上一點，是直線外一點，則方程＝0所表示的直線與的關系是____（答：平行）；（6）直線過點（１，０），且被兩平行直線和所截得的線段長為9，則直線的方程是________（答：）7、到角和夾角公式：（1）到的角是指直線繞著交點按逆時針方向轉(zhuǎn)到和直線重合所轉(zhuǎn)的角，且tan=()；（2）與的夾角是指不大于直角的角且tan=︱︱()。提醒：解析幾何中角的問題常用到角公式或向量知識求解。如已知點M是直線與軸的交點，把直線繞點M逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到的直線方程是______（答：）8、對稱（中心對稱和軸對稱）問題——代入法：如（1）已知點與點關于軸對稱，點P與點N關于軸對稱，點Q與點P關于直線對稱，則點Q的坐標為_______（答：）；（2）已知直線與的夾角平分線為，若的方程為，那么的方程是___________（答：）；（3）點Ａ（４，５）關于直線的對稱點為Ｂ(－2,7)，則的方程是_________（答：）；（4）已知一束光線通過點Ａ（－３，５），經(jīng)直線:3x－4y+4=0反射。如果反射光線通過點Ｂ（２，15），則反射光線所在直線的方程是_________（答：）；（5）已知ΔABC頂點A(3，－１)，ＡＢ邊上的中線所在直線的方程為6x+10y－59=0，∠B的平分線所在的方程為x－4y+10=0，求ＢＣ邊所在的直線方程（答：）；（6）直線2x―y―4=0上有一點Ｐ，它與兩定點Ａ（4,－1）、Ｂ（3,4）的距離之差最大，則Ｐ的坐標是______（答：（5,6））；（7）已知軸，，C（2，1），周長的最小值為______（答：）。提醒：在解幾中遇到角平分線、光線反射等條件常利用對稱求解。9、簡單的線性規(guī)劃：（1）二元一次不等式表示的平面區(qū)域：①法一：先把二元一次不等式改寫成或的形式，前者表示直線的上方區(qū)域，后者表示直線的下方區(qū)域；法二：用特殊點判斷；②無等號時用虛線表示不包含直線，有等號時用實線表示包含直線；③設點，，若與同號，則P，Q在直線的同側(cè)，異號則在直線的異側(cè)。如已知點A（—2，4），B（4，2），且直線與線段AB恒相交，則的取值范圍是__________（答：）（2）線性規(guī)劃問題中的有關概念：①滿足關于的一次不等式或一次方程的條件叫線性約束條件。②關于變量的解析式叫目標函數(shù)，關于變量一次式的目標函數(shù)叫線性目標函數(shù)；③求目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題，稱為線性規(guī)劃問題；④滿足線性約束條件的解（）叫可行解，由所有可行解組成的集合叫做可行域；⑤使目標函數(shù)取得最大值或最小值的可行解叫做最優(yōu)解；（3）求解線性規(guī)劃問題的步驟是什么？①根據(jù)實際問題的約束條件列出不等式；②作出可行域，寫出目標函數(shù)；③確定目標函數(shù)的最優(yōu)位置，從而獲得最優(yōu)解。如（1）線性目標函數(shù)z=2x－y在線性約束條件下，取最小值的最優(yōu)解是____（答：（－1，1））；（2）點（－２，）在直線2x－3y+6=0的上方，則的取值范圍是_________（答：）；（3）不等式表示的平面區(qū)域的面積是_________（答：8）；（4）如果實數(shù)滿足，則的最大值_________（答：21）（4）在求解線性規(guī)劃問題時要注意：①將目標函數(shù)改成斜截式方程；②尋找最優(yōu)解時注意作圖規(guī)范。10、圓的方程：⑴圓的標準方程：。⑵圓的一般方程：，特別提醒：只有當時，方程才表示圓心為，半徑為的圓（二元二次方程表示圓的充要條件是什么？（且且））；⑶圓的參數(shù)方程：（為參數(shù)），其中圓心為，半徑為。圓的參數(shù)方程的主要應用是三角換元：；。⑷為直徑端點的圓方程如（1）圓C與圓關于直線對稱，則圓C的方程為____________（答：）；（2）圓心在直線上，且與兩坐標軸均相切的圓的標準方程是__________（答：或）；（3）已知是圓（為參數(shù)，上的點，則圓的普通方程為________，P點對應的值為_______，過P點的圓的切線方程是___________（答：；；）；（4）如果直線將圓：x2+y2-2x-4y=0平分，且不過第四象限，那么的斜率的取值范圍是____（答：[0，2]）；（5）方程x2+y２－x+y+k=0表示一個圓，則實數(shù)k的取值范圍為____（答：）；（6）若（為參數(shù)，，，若，則b的取值范圍是_________（答：）11、點與圓的位置關系：已知點及圓，（1）點M在圓C外；（2）點M在圓C內(nèi)；（3）點M在圓C上。如點P(5a+1,12a)在圓(x－１)２＋y2=1的內(nèi)部,則a的取值范圍是______（答：）12、直線與圓的位置關系：直線和圓有相交、相離、相切?？蓮拇鷶?shù)和幾何兩個方面來判斷：（1）代數(shù)方法（判斷直線與圓方程聯(lián)立所得方程組的解的情況）：相交；相離；相切；（2）幾何方法（比較圓心到直線的距離與半徑的大?。涸O圓心到直線的距離為，則相交；相離；相切。提醒：判斷直線與圓的位置關系一般用幾何方法較簡捷。如（1）圓與直線，的位置關系為____（答：相離）；（2）若直線與圓切于點，則的值____（答：2）；（3）直線被曲線所截得的弦長等于（答：）；（4）一束光線從點A(－1,1)出發(fā)經(jīng)x軸反射到圓C:(x-2)2+(y-3)2=1上的最短路程是（答：4）；（5）已知是圓內(nèi)一點，現(xiàn)有以為中點的弦所在直線和直線，則A．，且與圓相交B．，且與圓相交C．，且與圓相離D．，且與圓相離（答：C）；（6）已知圓C：，直線L：。①求證：對，直線L與圓C總有兩個不同的交點；②設L與圓C交于A、B兩點，若，求L的傾斜角；③求直線L中，截圓所得的弦最長及最短時的直線方程.（答：②或③最長：，最短：）13、圓與圓的位置關系（用兩圓的圓心距與半徑之間的關系判斷）：已知兩圓的圓心分別為，半徑分別為，則（1）當時，兩圓外離；（2）當時，兩圓外切；（3）當時，兩圓相交；（4）當時，兩圓內(nèi)切；（5）當時，兩圓內(nèi)含。如雙曲線的左焦點為F1，頂點為A1、A2，P是雙曲線右支上任意一點，則分別以線段PF1、A1A2為直徑的兩圓位置關系為（答：內(nèi)切）14、圓的切線與弦長：(1)切線：①過圓上一點圓的切線方程是：，過圓上一點圓的切線方程是：，一般地，如何求圓的切線方程？（抓住圓心到直線的距離等于半徑）；②從圓外一點引圓的切線一定有兩條，可先設切線方程，再根據(jù)相切的條件，運用幾何方法（抓住圓心到直線的距離等于半徑）來求；③過兩切點的直線（即“切點弦”）方程的求法：先求出以已知圓的圓心和這點為直徑端點的圓，該圓與已知圓的公共弦就是過兩切點的直線方程；③切線長：過圓（）外一點所