修正增廣拉格朗日函數(shù)的凸半無限規(guī)劃

0對偶問題的處理考慮到以下問題，動態(tài)平面無限規(guī)劃（sip）。其中:Ω為R半無限規(guī)劃問題的一個特例為線性半無限規(guī)劃(linearsemi-infiniteprogramming,LSIP)問題。文獻[1-2]給出了LSIP問題的拉格朗日函數(shù),并利用該函數(shù)得到對偶問題,給出了原問題與對偶問題的強對偶定理。在假設退化條件成立的前提下,文獻[3]利用標準的拉格朗日函數(shù)研究了凸半無限規(guī)劃的對偶定理,并且將半無限問題轉化為有限問題。文獻[4-8]也在標準拉格朗日函數(shù)的基礎上,利用鞍點準則討論了無對偶間隙問題。文獻[9-12]討論了錐上的半無限規(guī)劃問題,在錐約束下,利用標準拉格朗日函數(shù)證明了強對偶性。文獻[13]討論了在標準拉格朗日對偶下,集值最優(yōu)化問題的對偶。文獻[14]討論了多目標規(guī)劃的對偶問題。文獻[15]利用增廣拉格朗日函數(shù)討論了零對偶間隙問題。在增廣拉格朗日函數(shù)的基礎上,文獻[16]用新的拉格朗日乘子法求解約束非線性優(yōu)化問題。現(xiàn)有的大部分文獻,均是在拉格朗日函數(shù)的基礎上得到約束規(guī)劃的對偶問題,而利用增廣拉格朗日函數(shù)研究對偶問題的內(nèi)容較少見。本文首先給出了修正的增廣拉格朗日函數(shù),然后在此函數(shù)基礎上得到了對偶函數(shù),從而得到多變量的對偶問題,證明了原問題與對偶問題的強對偶性。本文采用增廣拉格朗日函數(shù),其形式為:其中:Ω為R1對偶問題的拉格朗日對偶線性對于問題(1),對應的拉格朗日函數(shù)為:其中:λ≥0為拉格朗日乘子。繼續(xù)考慮拉格朗日對偶,給出增廣拉格朗日函數(shù)。定義修正的增廣拉格朗日函數(shù)為:其中:λ,μ為增廣的拉格朗日乘子,λ≥0,μ≥0。由式(3)可知:因此,問題(1)可以寫成極大極小形式則問題(1)的拉格朗日對偶問題是:定義對偶函數(shù)為:則問題(1)的拉格朗日對偶問題為:其中:下面給出原問題(P)和對偶問題(D)最優(yōu)值之間的關系。定理1弱對偶定理假設x∈R證明由θ(λ,μ)的定義可以得到:結論得證。推論1假設x∈R根據(jù)定理1,易得該結論。推論2如果證明結合即對任意的x,推論3若根據(jù)推論1,易得該結論。2生長參數(shù)vy該部分討論使得強對偶關系val(P)=val(D)成立的條件。給出下面符號:(Ⅰ)令(Ⅱ)令(Ⅲ)令<y,x>表示x與y的標準數(shù)量積。定義1(對偶間隙)如果f這樣,val(P)=val(D)等價于δ=0?？紤]如下含參問題D其中:易得ψ(λ,μ,y)關于變量λ,μ,y是線性的,則ψ(λ,μ,y)關于變量λ,μ,y也是凸函數(shù)。定義如下函數(shù):根據(jù)函數(shù)上確界與下確界的關系,有:因為一個線性函數(shù)的上確界函數(shù)或者下確界函數(shù)既是凸函數(shù)又是凹函數(shù),因此,v(y)是廣義實值凸函數(shù)。顯然val(D假設1f:R假設2g(x,w):R定理2對任意的增廣拉格朗日乘子λ,μ≥0,函數(shù)L(x,λ,μ)關于x是正常凸且下半連續(xù)的。證明根據(jù)假設2,由g(x,w),w∈Ω的凸性可以得到是正常凸且下半連續(xù)的。結論得證。定義2定義的函數(shù)f定理3在假設1和假設2下,對任意的λ,μ≥0,有L(x,λ,μ)=L根據(jù)定理2和文獻[18]的推論12.2.1,易得該結論?，F(xiàn)在計算函數(shù)v(y)的共軛函數(shù),有:其中:L引理1假定假設1和假設2成立,則val(D)=-v(0),val(P)=-v證明(Ⅰ)易得val(D)=val(D(Ⅱ)由于則而且(Ⅲ)因為特別地,當x=0時,因此,Sol(P)=-?v下面尋找使得強對偶特性val(P)=val(D)成立的條件。定理4假定假設1和假設2成立,且v證明因為v定理5假定假設1和假設2成立,且v證明如果v(y)在y=0處次可微,即?v(0)≠Φ,由v(y)-v(0)≥<ξ,y>,得v(0)有限且v(y)在y=0處下半連續(xù),?v(0)=?v反之,如果val(P)=val(D),即-v(0)=-v注意到y(tǒng)=0在結果分析中起著關鍵作用,給出下面局部性質。定理6假定假設1和假設2成立,且v證明假設條件成立,那么對任意的y∈B,存在增廣拉格朗日乘子λ,μ≥0,使得ψ(λ,μ,y)>-∞,因此,對任意的y∈B有v(y)<+∞。在假設下有v(0)=v反過來,假定Sol(P)非空且有界,則?v3增廣拉格朗日乘子的確定考慮如下的LSIP問題:其中:c=(c對任意的增廣拉格朗日乘子λ,μ≥0,則因此,對問題(19),定理6中的條件等價于如下條件:這說明拉格朗日函數(shù)改變后結論仍成立。4修正的增廣拉格朗日函數(shù)對偶理論是凸半無限規(guī)劃中一個重要的部分。然而,實際中的很多問題與其對偶問題之間存在對偶間隙。本文為消除對偶間隙,給出了一種修正的增廣拉格朗日函數(shù),