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關于函數(shù)空間乘子的討論

fp,q,s相關定義[0.1）向上的正連接函數(shù)。設μ是正規(guī)的,如果f∈H(B)且設a∈B,g(z,a)=log|φ稱f屬于一般函數(shù)空間F(p,q,s),當取某些特殊參數(shù)p,q和s時F(p,q,s)包括許多函數(shù)空間本文中z=(z引理2.1(文獻.引理2.2設0<p<∞,0<s<∞,-n-1<q<∞,-1<q+s<∞,若f∈F(p,q,s),則證對于0<s<∞部分,文獻若f∈F(p,q,0),取固定的0<r引理2.3(文獻引理2.4(文獻p,q,s當n+1+p時,f設X,Y為B上兩個全純函數(shù)空間,如果對一切f∈X都有ψf∈Y,就稱ψ為空間X到Y的一個點乘子,記為M(X,Y).函數(shù)空間乘子理論的研究已有很長的歷史,乘子理論對于更有效的解決Gleason問題和加權復合算子問題,拓展函數(shù)空間和研究函數(shù)空間的許多基本性質等都有相當?shù)淖饔?因此歷史上研究乘子理論的數(shù)學工作者大有人在,不少結果已被給出(例如定理3.1設0<p<∞,0≤s<∞,-n-1<q<∞,-1<q+s<∞,μ在[0,1)上正規(guī),ψ∈H(B),則ψ∈M(F(p,q,s),β(ⅰ)當n+1+q<p時,ψ∈β(ⅱ)當n+1+q=p時,(3.1)成立且(ⅲ)當n+1+q>p時,(3.1)成立且證當q+n+1≠p且s>0以及q+n+1=p,s>n的結果在文獻(ⅰ)情形q+n+1=p,0<s≤n.對任意w∈B且|w|>1/2,取利用(3.4)式和引理2.3有另外,根據(jù)文獻這表明由閉圖像定理知M這表明(3.1)式成立.再取另外,利用q+n+1=p還有從而‖g從上式和(3.1)式得(3.2)式成立.利用文獻[16]中命題1.4.10知這表明‖h這表明(3.1)式成立.若n+1+q>p,取通過上式和(3.1)式知(3.3)式成立.如果n+1+q=p,由于當z,w∈B時從而‖T從上式和(3.1)式以及ψ∈β反過來,對任意f∈F(p,q,s),由引理2.2知(ⅰ)當n+1+q<p時,假定ψ∈β(ⅱ)當n+1+q=p時,假定ψ∈H(B),且(3.1)和(3.2)式成立,由引理2.1知(ⅲ)當n+1+q>p時,假定ψ∈H(B),且(3.1)和(3.3)式成立,由引理2.1知綜上所述,ψf∈β利用定理3.1結合文獻推論1下列幾條是等價的:(1)ψ是Bloch空間上的點乘子;(2)ψ是BMOA空間到Bloch空間的點乘子;(3)ψ是Besove空間B(4)ψ∈H推論2下列幾條是等價的:(1)ψ是Bergman空間由于總有推論30<p<∞,0<s<∞,-n-1<q<∞,-1<q+s<∞,則ψ是F(p,q,s)到(2)當n+1+q=p時,ψ∈H

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