8.1預(yù)備知識三類典型的偏微分方程8.1預(yù)備知識三類典型的偏微分方程1

一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、L兩點(diǎn)，當(dāng)它在平衡位置附近做垂直于OL方向的微小橫向振動時，求這根弦上各點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律。OLxy8.1.1波動方程☆

一維波動方程

最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。一根緊拉著的均勻柔軟弦，長為l，兩端固定在X軸上O、2

討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題。要確定弦的運(yùn)動方程，需要明確：確定弦的運(yùn)動方程（2）被研究的物理量遵循哪些物理定理？牛頓第二定律.

（3）按物理定理寫出數(shù)學(xué)物理方程（即建立泛定方程）要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移

條件：均勻柔軟的細(xì)弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小的橫振動。不受外力影響。研究對象：線上某點(diǎn)在t

時刻沿垂直方向的位移。討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)上的定解問題3簡化假設(shè)：

由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的切線方向。在弦上任取一小段它的弧長為：由于假定弦在平衡位置附近做微小振動，很小，從而

可以認(rèn)為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點(diǎn)所受張力在運(yùn)動過程中保持不變，與時間無關(guān)。即點(diǎn)處的張力記為。

由于振幅極小，張力與水平方向的夾角很小。簡化假設(shè)：由于弦是柔軟的，弦上的任意一點(diǎn)的張力沿弦的4橫向：其中：

作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)牛頓運(yùn)動定律，寫出它們的表達(dá)式和平衡條件。

也就是說，張力

是一個常數(shù)。橫向：橫向：其中：作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面5由中值定理：縱向：由中值定理：縱向：6………一維波動方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)------齊次方程忽略重力作用：a就是弦的振動傳播速度………一維波動方程令：------非齊次方程自由項(xiàng)-----7假設(shè)外力在處外力密度為：方向垂直于軸。等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點(diǎn)處所受外力。當(dāng)存在外力作用時：等號兩邊除以等號兩邊用中值定理：并令為單位質(zhì)量在點(diǎn)處所受外力。當(dāng)存8

弦振動方程中只含有兩個自變量：。由于它描寫的是弦的振動，因而它又稱為一維波動方程。類似可以導(dǎo)出二維波動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：二維波動方程：三維波動方程：弦振動方程中只含有兩個自變量：。由于它9

建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程。由于客觀事物的復(fù)雜性，要求對所研究的對象能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化。建立數(shù)學(xué)物理方程是一個辯證分析的過程。10☆均勻桿的縱振動

考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振動。假設(shè)在垂直桿長方向的任一截面上各點(diǎn)的振動情況(即偏移平衡位置位移)完全相同。試寫出桿的振動方程。在任一時刻t，此截面相對于平衡位置的位移為u(x,t)。在桿中隔離出一小段(x,x+dx)，分析受力：☆均勻桿的縱振動考慮一均勻細(xì)桿，沿桿長方向作微小振11通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用通過截面x+dx受到彈性力P(x+dx,t)S的作用P(x,t)為單位面積所受的彈性力(應(yīng)力)，沿x方向?yàn)檎鶕?jù)Newton第二定律，就得到：根據(jù)胡克定律通過截面x，受到彈性力P(x,t)S的作用根據(jù)Newton第12☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力誘導(dǎo)的速度，由一維歐拉方程：動力學(xué)方程連續(xù)性方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，u是一階小量，是二階小量☆靜止空氣中一維微小壓力波的傳播設(shè)ρ為空氣的密度，u為壓力13代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。代入得對t求導(dǎo)，得利用得一維聲波方程。14☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動方程式中：水面波高為ξ為聲波速度

水波速度為雙曲型方程☆靜止空氣中三維聲波方程☆微幅水波動方程式中：水158.1.2擴(kuò)散方程（拋物型方程）

問題：一根長為l的均勻?qū)峒?xì)桿，截面為一個單位面積。側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源。其熱傳導(dǎo)系數(shù)為k，比熱為c，線密度為ρ。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。AB☆一維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)熱傳導(dǎo)現(xiàn)象：當(dāng)導(dǎo)熱介質(zhì)中各點(diǎn)的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。8.1.2擴(kuò)散方程（拋物型方程）16所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向?yàn)閤

軸，考慮桿上從到的一段(代表)，設(shè)桿中溫度分布為滿足的物理規(guī)律：均勻物體：物體的密度為常數(shù)各向同性：物體的比熱和熱傳導(dǎo)系數(shù)均為常數(shù)假設(shè)條件：所要研究的物理量：分析：設(shè)桿長方向?yàn)閤軸，考慮桿上從到的17利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方程。

由Fourier熱力學(xué)定律，單位時間內(nèi)通過A端面的熱量為：單位時間內(nèi)通過B端面的熱量為：利用Fourier熱力學(xué)定律和能量守恒定律來建立熱傳導(dǎo)方18在dt

時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時段內(nèi)，同時在此時段內(nèi),微元內(nèi)各點(diǎn)的溫度由流入微元的熱量

升高為

在dt時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量在任意時段內(nèi)，同時19為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：

由和的任意性可得為此所需的熱量為由能量守恒定律可得：由和的任意性可得20即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中

分析：設(shè)熱源強(qiáng)度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為F(x,t)，代表段的吸熱為Fdxdt。即：其中☆內(nèi)部有熱源的情況：其中分析：設(shè)熱21根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時刻t1到t2通過S流入V的熱量為高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）熱場☆三維熱傳導(dǎo)方程的推導(dǎo)根據(jù)熱學(xué)中的傅立葉定律在dt時間內(nèi)從dS流入V的熱量為：從時22流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：

溫度發(fā)生變化需要的熱量為：三維熱傳導(dǎo)方程熱場有熱源三維熱傳導(dǎo)方程流入的熱量導(dǎo)致V內(nèi)的溫度發(fā)生變化流入的熱量：溫度發(fā)生變23☆一維濃度擴(kuò)散方程☆動量輸運(yùn)方程C為物質(zhì)濃度，λ為擴(kuò)散系數(shù)。u為速度，fx為流體體積力，ν

為流體粘性系數(shù)。

顯然，熱傳導(dǎo)、物質(zhì)擴(kuò)散、動量輸運(yùn)這些過程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程來描述。拋物型方程☆一維濃度擴(kuò)散方程☆動量輸運(yùn)方程C為物質(zhì)濃度，λ為擴(kuò)散系248.1.3穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程)

穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過程達(dá)到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。熱傳導(dǎo)問題，控制方程為：設(shè)場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為f(x,y,z)

流場溫度不隨時間變化，即T=T(x,y,z)

則有8.1.3穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程)穩(wěn)態(tài)問題也25這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。如果場內(nèi)無熱源，g(x,y,z,t)=0，則有：這個方程又稱為拉普拉斯方程。其中：這就是穩(wěn)態(tài)方程，稱為泊松方程。如果場內(nèi)無熱源，g(x,y26

又如在理想勢流場中，存在速度勢φ(x,y,z)，速度與φ(x,y,z)的關(guān)系為：帶入連續(xù)方程中

由上所述，泊松方程或拉普拉斯方程是表征穩(wěn)態(tài)問題的控制方程。得橢圓型方程又如在理想勢流場中，存在速度勢φ(x,y27三類典型的偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方程（雙曲型）熱傳導(dǎo)問題和擴(kuò)散問題滿足熱傳導(dǎo)方程（拋物型）靜電場和引力勢滿足拉普拉斯方程或泊松方程（橢圓型方程）三類典型的偏微分方程振動與波（振動波，電磁波）傳播滿足波動方288.1.3有限差分法的基本知識1、差分方程2、截?cái)嗾`差3、收斂性4、穩(wěn)定性8.1.3有限差分法的基本知識29§8.1.3差分方程

有限差分法和有限元法是解偏微分方程的兩種主要的數(shù)值方法。由于數(shù)字電子計(jì)算機(jī)只能存儲有限個數(shù)據(jù)和作有限次運(yùn)算，所以任何一種適用于計(jì)算機(jī)解題的方法，都必須把連續(xù)問題離散化，最終化成有限形式的代數(shù)方程組。§8.1.3差分方程有限差分法和有限元法是30

有限差分法求解偏微分方程的基本過程是：首先將求解區(qū)域劃分為差分網(wǎng)格，用有限個網(wǎng)格點(diǎn)代替連續(xù)的求解域，將待求解的變量（如密度、速度等）存儲在各網(wǎng)格點(diǎn)上，并將偏微分方程中的微分項(xiàng)用相應(yīng)的差商代替，從而將偏微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)形式的差分方程，得到含有離散點(diǎn)上的有限個未知變量的差分方程組。求出該差分方程組的解，也就得到了網(wǎng)格點(diǎn)上流動變量的數(shù)值解。差分法概述有限差分法求解偏微分方程的基本過程是：首先將求解區(qū)31模型方程

為了抓住問題的實(shí)質(zhì)，同時又不使討論的問題過于復(fù)雜，常用一些簡單的方程來闡明關(guān)于一些離散方法的概念。這些方程就叫做模型方程。常用的模型方程：

對流方程：

對流－擴(kuò)散方程：

熱傳導(dǎo)方程：模型方程為了抓住問題的實(shí)質(zhì)，同時又不使討論的問32

Poisson方程：

Laplace方程：模型方程Poisson方程：Laplac33

模型方程模型方程34

1區(qū)域的剖分(區(qū)域的離散化）xt01區(qū)域的剖35離散網(wǎng)格點(diǎn)離散網(wǎng)格點(diǎn)36高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過Taylor公式：2微分方程離散(差分方程）高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過Taylor公式：2微分方程離散(差37

38有限差分法的基本知識ppt課件39有限差分法的基本知識ppt課件40有限差分法的基本知識ppt課件41高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過Green公式：2積分插值法高等數(shù)學(xué)中，我們學(xué)習(xí)過Green公式：2積分插值法42

oHxtEFGL1L2L3L4oHxtEF43

44

oxtj-1jj+1n-1nn+1EFGHoxtj-145

46

oxtj-1jj+1nn+1EFGH),1,1(),1,1(),1,(),1,(,,,-++++-jnjnjnjnHGFE依次為，在網(wǎng)格中，點(diǎn)現(xiàn)在換一種方式，如圖oxtj-147

48差分方程的建立過程

以對流方程說明差分方程的建立過程。差分方程的建立過程以對流方程說明差分方程的建立過程。

1.劃分網(wǎng)格

選定步長和，然后在坐標(biāo)平面用平行于坐標(biāo)軸的兩族直線劃分網(wǎng)格：

2.針對某一點(diǎn)，用差商近似代替導(dǎo)數(shù)

對流方程在點(diǎn)為差分方程的建立過程1.劃分網(wǎng)格選定步長和有限差分法的基本知識ppt課件

時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：

空間導(dǎo)數(shù)用一階中心差商近似代替：則對流方程在點(diǎn)對應(yīng)的差分方程為時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：空間差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程問題的差分格式。上述初值問題的差分格式可改寫為：觀察上述差分格式可看出：若知道第層的，可由一個差分式子直接算出第層的，故稱這類格式為顯示格式。差分方程和其定解條件一起，稱為相應(yīng)微分方程觀

顯式有限差分模板：顯式有限差分模板：

時間推進(jìn)：時間推進(jìn)：

例

考慮長度為1的均勻直桿，其表面是絕熱的，而且桿截面足夠細(xì)，可以把斷面上的所有點(diǎn)的溫度看成是相同的。軸取為沿桿軸方向，對應(yīng)桿的端點(diǎn)，則桿內(nèi)溫度分布隨時間變化由下面的擴(kuò)散方程來描述：例考慮長度為1的均勻直桿，其表面是絕熱的，而且桿截面足夠

時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：

空間導(dǎo)數(shù)用二階中心差商近似代替：

取，則最終的差分方程：時間導(dǎo)數(shù)用一階向前差商近似代替：空間

顯式有限差分模板：顯式有限差分模板：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.52.02.53.0100100000000000100100100100100100100100100100100100505062.562.568.868.80252537.537.545.30012.512.521.921.90006.256.2514.100006.256.250006.256.2514.10012.512.521.921.90252537.537.545.3505062.562.568.868.80.00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

如仍取而為縮短計(jì)算時間，時間步長取，則最終的差分方程：0.00.10.20.30.40.50.60.70.80.91.00.00.51.01.510010000000000010010010010010010010002000100-10000100000000000001000100-1001000200如仍取§8.1.4截?cái)嗾`差§8.1.4截?cái)嗾`差61有限差分法的基本知識ppt課件62有限差分法的基本知識ppt課件63