湖南省株洲市潞水中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試卷含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.若不等式,對一切x恒成立,則a的取值范圍是A．

B．(-2,2]

C．(-2,2)

D．(參考答案：B2.如圖所示，長方體ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB=2，AD=1，點E、F、G分別是DD1、AB、CC1的中點，則異面直線A1E與GF所成的角是（

）A、30°

B、45°

C、60°

D、90°參考答案：D3.從四棱錐P-ABCD的五個頂點中，任取兩個點，則這兩個點均取自側(cè)面PAB的概率是（

）A. B. C. D.參考答案：D從四棱錐的五個頂點中，任取兩個點，共有種取法，其中兩個點均取自側(cè)面的有種取法，所以所求概率為選D.點睛：古典概型中基本事件數(shù)的探求方法(1)列舉法.(2)樹狀圖法：適合于較為復(fù)雜的問題中的基本事件的探求.對于基本事件有“有序”與“無序”區(qū)別的題目，常采用樹狀圖法.(3)列表法：適用于多元素基本事件的求解問題，通過列表把復(fù)雜的題目簡單化、抽象的題目具體化.(4)排列組合法：適用于限制條件較多且元素數(shù)目較多的題目.4.設(shè)F1、F2分別是雙曲線C：（a＞0，b＞0）的左、右焦點，P是雙曲線C的右支上的點，射線PQ平分∠F1PF2交x軸于點Q，過原點O作PQ的平行線交PF1于點M，若|MP|=|F1F2|，則C的離心率為（）A． B．3 C．2 D．參考答案：C【考點】雙曲線的簡單性質(zhì)．【分析】運用極限法，設(shè)雙曲線的右頂點為A，考察特殊情形，當(dāng)點P→A時，射線PT→直線x=a，此時PM→AO，即|PM|→a，結(jié)合離心率公式即可計算得到．【解答】解：設(shè)雙曲線的右頂點為A，考察特殊情形，當(dāng)點P→A時，射線PT→直線x=a，此時PM→AO，即|PM|→a，特別地，當(dāng)P與A重合時，|PM|=a．由|MP|=|F1F2|=c，即有a=c，由離心率公式e==2．故選：C．5.在△ABC中，若，則角A等于（

）A.30° B.60° C.120° D.150°參考答案：A【分析】利用正弦定理可求的大小.注意用“大邊對大角”來判斷角的大小關(guān)系.【詳解】由正弦定理可得，所以，所以，因，所以，故為銳角，所以，故選A.【點睛】三角形中共有七個幾何量（三邊三角以及外接圓的半徑），一般地，知道其中的三個量（除三個角外），可以求得其余的四個量.（1）如果知道三邊或兩邊及其夾角，用余弦定理；（2）如果知道兩邊即一邊所對的角，用正弦定理（也可以用余弦定理求第三條邊）；（3）如果知道兩角及一邊，用正弦定理.6.已知橢圓E：（a＞b＞0）的右焦點為F（3，0），過點F的直線交橢圓E于A、B兩點．若AB的中點坐標(biāo)為（1，﹣1），則E的方程為（）A． B．

C．D．參考答案：D【考點】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得，利用“點差法”可得．利用中點坐標(biāo)公式可得x1+x2=2，y1+y2=﹣2，利用斜率計算公式可得==．于是得到，化為a2=2b2，再利用c=3=，即可解得a2，b2．進而得到橢圓的方程．【解答】解：設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），代入橢圓方程得，相減得，∴．∵x1+x2=2，y1+y2=﹣2，==．∴，化為a2=2b2，又c=3=，解得a2=18，b2=9．∴橢圓E的方程為．故選D．【點評】熟練掌握“點差法”和中點坐標(biāo)公式、斜率的計算公式是解題的關(guān)鍵．7.已知長方體ABCD-A1B1C1D1中，，，則異面直線B1C和C1D所成角的余弦值為A. B. C. D.參考答案：A【分析】依據(jù)題意作出長方體圖形，連接,，由長方體性質(zhì)可得：就是異面直線和所成角（或補角），再利用余弦定理計算即可?！驹斀狻恳罁?jù)題意作出長方體圖形如下，連接,由長方體性質(zhì)可得：所以就是異面直線和所成角（或補角）.由已知可得：，所以故選：A【點睛】本題主要考查了異面直線所成角的概念，還考查了余弦定理知識，屬于基礎(chǔ)題。8.已知直線l過點且與以、為端點的線段相交，則直線l的斜率的取值范圍為(

)A.

B.

C.

D.或

參考答案：D9.設(shè)a∈R，則a＞1是＜1的（）A．必要但不充分條件 B．充分但不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件參考答案：B【考點】不等關(guān)系與不等式；充要條件．【分析】根據(jù)由a＞1，一定能得到＜1．但當(dāng)＜1時，不能推出a＞1（如a=﹣1時），從而得到結(jié)論．【解答】解：由a＞1，一定能得到＜1．但當(dāng)＜1時，不能推出a＞1（如a=﹣1時），故a＞1是＜1的充分不必要條件，故選

B．【點評】本題考查充分條件、必要條件的定義，通過給變量取特殊值，舉反例來說明某個命題不正確，是一種簡單有效的方法．10.設(shè)a，b是實數(shù)，則“a+b＞0”是“ab＞0”的（） A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件 參考答案：D【考點】必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 【專題】簡易邏輯． 【分析】利用特例集合充要條件的判斷方法，判斷正確選項即可． 【解答】解：a，b是實數(shù)，如果a=﹣1，b=2則“a+b＞0”，則“ab＞0”不成立． 如果a=﹣1，b=﹣2，ab＞0，但是a+b＞0不成立， 所以設(shè)a，b是實數(shù)，則“a+b＞0”是“ab＞0”的既不充分也不必要條件． 故選：D． 【點評】本題考查充要條件的判斷與應(yīng)用，基本知識的考查． 二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知中,,若該三角形有兩解,則的取值范圍是

參考答案：略12.若動點P在上，則點P與點Q（0，-1）連線中點的軌跡方程是

.參考答案：略13.先后擲一枚質(zhì)地均勻骰子（骰子的六個面上分別標(biāo)有、、、、、個點）兩次，落在水平桌面后，記正面朝上的點數(shù)分別為,,設(shè)事件為“為偶數(shù)”，事件為“,中有偶數(shù)且”，則概率等于

。參考答案：14.若實數(shù)滿足則的最大值為

；參考答案：915.在△中，c=5,△的內(nèi)切圓的面積是

。參考答案：16.已知△ABC的三個頂點為A(1，－2,5)，B(－1,0,1)，C(3，－4,5)，則邊BC上的中線長為________．參考答案：2略17.在一次籃球練習(xí)課中，規(guī)定每人最多投籃4次，若投中3次就稱為“優(yōu)秀”并停止投籃，已知甲每次投籃投中的概率是，設(shè)甲投中藍的次數(shù)為X，則期望E（X）=．參考答案：考點：離散型隨機變量的期望與方差．

專題：概率與統(tǒng)計．分析：由題意得X的可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出甲投中藍的次數(shù)X的數(shù)學(xué)期望．解答：解：由題意得X的可能取值為0，1，2，3，P（X=0）=（1﹣）4=，P（X=1）==，P（X=2）==，P（X=3）=1﹣（）=，∴EX=0×=．故答案為：．點評：本題考查離散型隨機變量的數(shù)學(xué)期望的求法，是基礎(chǔ)題，解題時要注意n次獨立重復(fù)試驗中事件A恰好發(fā)生k的概率公式的合理運用．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知點、點，向量，令（1）求函數(shù)的解析式；（2）若在時恒成立，求整數(shù)的最大值。參考答案：解：（1）…1分……………3分（2）時恒成立，即在時恒成立，令，所以的最小值大于……………5分，上單調(diào)遞增。又存在唯一實根，且滿足…………8分……………9分

…………………10分

略19.（本題滿分10分）（理）如圖，P—ABCD是正四棱錐，是正方體，其中

（1）求證：；（2）求平面PAD與平面所成的銳二面角的余弦值；

參考答案：（理）解：以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系（1）證明:設(shè)E是BD的中點，P—ABCD是正四棱錐，∴

又，∴

∴∴∴

，

即.-----------------5分（2）解:設(shè)平面PAD的法向量是，

∴

取得，又平面的法向量是∴

，∴.-----------------10分20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的一個長軸頂點為A（2，0），離心率為，直線y=k（x﹣1）與橢圓C交于不同的兩點M，N，（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）當(dāng)△AMN的面積為時，求k的值．參考答案：【考點】直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓一個頂點為A（2，0），離心率為，可建立方程組，從而可求橢圓C的方程；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0，從而可求|MN|，A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離，利用△AMN的面積為，可求k的值．【解答】解：（Ⅰ）∵橢圓一個頂點為A（2，0），離心率為，∴∴b=∴橢圓C的方程為；（Ⅱ）直線y=k（x﹣1）與橢圓C聯(lián)立，消元可得（1+2k2）x2﹣4k2x+2k2﹣4=0設(shè)M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2=，∴|MN|==∵A（2，0）到直線y=k（x﹣1）的距離為∴△AMN的面積S=∵△AMN的面積為，∴∴k=±1．21.若不等式的解集是，(1)求的值；

(2)求不等式的解集.參考答案：依題意，可知方程的兩個實數(shù)根為和2，由韋達定理得：+2=

解得：=－2

（2）略22.如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD為直角梯形，且AD∥BC，∠ABC=∠PAD=90°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，若PA=AB=BC=，AD=1．（I）求證：CD⊥平面PAC（II）側(cè)棱PA上是否存在點E，使得BE∥平面PCD？若存在，指出點E的位置，并證明，若不存在，請說明理由．參考答案：【考點】直線與平面平行的判定；空間圖形的公理．【專題】計算題；空間位置關(guān)系與距離．【分析】（I）由面面垂直的性質(zhì)證出PA⊥底面ABCD，可得PA⊥CD．在底面梯形ABCD中利用勾股定理和余弦定理，利用題中數(shù)據(jù)算出CD2+AC2=1=AD2，從而AC⊥CD．最后利用線面垂直的判定定理，即可證出CD⊥平面PAC；（II）取PD的中點F，連結(jié)BE、EF、FC．利用三角形的中位線定理和已知條件BC∥AD且BC=AD，證出四邊形BEFC為平行四邊形，可得BE∥CF．最后利用線面平行判定定理，即可證出BE∥平面PCD．【解答】解：（I）∵∠PAD=90°，∴PA⊥AD．又∵側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA?側(cè)面PAD，且側(cè)面PAD∩底面ABCD=AD，∴PA⊥底面ABCD．∵CD?底面ABCD，∴PA⊥CD．∵在底面ABCD中，∠ABC=∠BAD=90°，PA=AB=BC=，AD=1．∴AC==，∠CAB=∠CAD=45°△CAD中由余弦定理，得CD==可得CD2+AC2=1=AD2，得AC⊥CD．