八年級數(shù)學(xué)·上新課標(biāo)[人]第十一章三角形

學(xué)習(xí)新知檢測反饋11.3.2多邊形的內(nèi)角和問題1

你還記得三角形內(nèi)角和是多少嗎？

三角形內(nèi)角和定理：三角形內(nèi)角和是180°.

學(xué)習(xí)新知問題2

正方形、長方形的內(nèi)角和是360°，那么任意一個四邊形的內(nèi)角和是否等于360°呢？能證明你的結(jié)論嗎？提醒

利用添加輔助線的方法把四邊形轉(zhuǎn)化為三角形.

一、探究五、六邊形內(nèi)角和

將四邊形分割成兩個三角形，進而將四邊形的內(nèi)角和問題轉(zhuǎn)化為兩個三角形所有內(nèi)角和的問題.

提示

類比前面的過程，你知道五邊形的內(nèi)角和是多少嗎？六邊形呢？十邊形呢？你是怎么得到的呢？

小問題

從五邊形的一個頂點出發(fā)可以作2條對角線，將五邊形分割為三個三角形，得到五邊形的內(nèi)角和為（5-2）×180°=540°.六邊形的內(nèi)角和為（6-2）×180°=720°.提醒

從頂點或邊或三角形內(nèi)部等，分割多邊形，進而得到多邊形的內(nèi)角和.

說明(1)從頂點A可以畫幾條對角線？分別是哪幾條？(2)這樣五邊形被分成了幾個三角形？

(3)五邊形的內(nèi)角和是多少度？ABDCE被分得三角形個數(shù)六邊形的內(nèi)角和探索六邊形的內(nèi)角和ABCDEF44×180°多邊形的邊數(shù)34567…n分成的三角形個數(shù)12…多邊形的內(nèi)角和180°180°

×2180°

×3…(n-2)180°這種探索方法你掌握了嗎？請完成下表345n-2180°

×5180°

×4想一想：從表中你能發(fā)現(xiàn)什么？二、探究多邊形內(nèi)角和計算公式

你知道n

邊形的內(nèi)角和嗎？

小問題

推導(dǎo)出n邊形可以轉(zhuǎn)化為（n-2）個三角形，發(fā)現(xiàn)和概括出邊數(shù)與內(nèi)角和之間的關(guān)系，歸納總結(jié)n邊形的內(nèi)角和公式，即(n-2)180°.

多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角，多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.

小活動總結(jié)解：作圖如下，四邊形ABCD中，∠A+∠C=180°，

因為∠A+∠B+∠C+∠D=360°，如果一個四邊形的一組對角互補，那么另一組對角有什么關(guān)系？

由多邊形的內(nèi)角和公式可知，四邊形的內(nèi)角和為360°，若兩個角的和為180°，那么即可得到另兩個角的和.

分析所以∠B+∠D=180°，所以說，如果四邊形一組對角互補，那么另一組對角也互補.

例1什么叫作三角形的外角？三角形的外角有幾個？

思考三、探究多邊形的外角和

三角形的一邊與另一邊的反向延長線所成的角叫作三角形的外角．三角形有6個外角．觀察

米老鼠沿五邊形廣場順時針方向跑了一圈。思考(1)米老鼠由一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時，身體轉(zhuǎn)過的是哪個角？(2)當(dāng)米老鼠跑完一圈后，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少度？

在一個多邊形的每個頂點處取這個多邊形的一個外角，它們的和叫作這個多邊形的外角和．問題米老鼠身體轉(zhuǎn)過的角度是五邊形的外角，這五個角的和是五邊形的外角和．你能給多邊形的外角和下個定義嗎？（1）先求出三個外角與三個內(nèi)角這六個角的和，為三個平角；

（2）再用三個平角減去三角形的內(nèi)角和，剩下的就是三角形的外角和了．

問題三角形的外角和是3600的解決思路？

四邊形的外角和為多少度？

畫任意四邊形ABCD，在每個頂點處任取一個外角，如∠1,∠2，∠3，∠4．如何用四邊形的內(nèi)角和求出它的外角和？問題問題推導(dǎo)過程∵∠l+∠DAB=180o

，

∠2+∠ABC=180o，

∴∠1+∠2+∠3+4=4×180o-360o=360o.

又∠DAB+∠ABC+∠BCD+∠ADC=360o，

∠4+∠ADC=180o，

∠3+∠BCD=180o

，

∴四邊形的外角和為360o.多邊形三角形四邊形五邊形六邊形…圖形…外角和(1)猜想多邊形的外角和是多少度？(2)你能證明這個結(jié)論嗎？歸納任意多邊形的外角和等于360o．

填表1．多邊形的內(nèi)角和公式、外角和是計算多邊形的角、邊數(shù)的重要依據(jù)．在計算中注意方程思想的應(yīng)用，尤其是計算邊數(shù)時．

2．由內(nèi)角和公式可以看出多邊形每增加一條邊，其內(nèi)角和會增加180o．

3．在利用內(nèi)角和公式（n-2）×180o。求邊數(shù)時，先不要去括號,而把（n-2）看成一個整體先求n-2的值，再求n的值．4．如果多邊形的每個角都相等，通常可從內(nèi)角和、外角和及兩者之間的互補關(guān)系等不同角度采用不同的方法求解．

5．正多邊形鑲嵌有三個限制條件：(1)邊長相等；(2)頂點公共；(3)一個頂點處各正多邊形的內(nèi)角之和為360o.十二

解析：因為多邊形的外角和為360°，每個外角都等于30°，所以360÷30=12，所以這個多邊形為十二邊形.1．一個多邊形的每個外角都等于30°，則這個多邊形為________邊形。

檢測反饋解析:可設(shè)該多邊形為n邊形，則135n=(n-2)180，解得n=8，所以這個多邊形為八邊形八2．一個多邊形的每個內(nèi)角都等于135°，則這個多邊形為_______邊形.3.四邊形ABCD中，∠A+∠B=210°，∠C=4∠D，求∠C和∠D的度數(shù).

答案：因為四邊形的內(nèi)角和為360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D=360°，因為∠A+∠B=210°，所以∠C+∠D=150°，因為∠C=4∠D