2022-2023學(xué)年北京市高一下冊(cè)期中數(shù)學(xué)模擬考試試卷（含解析）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.每小題均有四個(gè)選項(xiàng)，其中只有一個(gè)符合題意.1.（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用誘導(dǎo)公式及特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算可得.【詳解】.故選：A2.若，且，則角α的終邊在（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【正確答案】C【分析】根據(jù)角的象限與余弦函數(shù)的函數(shù)值和正切函數(shù)的函數(shù)值的正負(fù)的關(guān)系判斷.【詳解】因?yàn)?，所以角α的終邊在第二象限或軸的負(fù)半軸或第三象限，因?yàn)?，所以角α的終邊在第一象限或第三象限，所以角α的終邊在第三象限，故選：C.3.在四邊形中，（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)平面向量加減運(yùn)算法則計(jì)算.【詳解】.故選：B4.若角的終邊經(jīng)過點(diǎn)，則的值為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】利用正切函數(shù)的定義求解即可.【詳解】因?yàn)榻堑慕K邊上有一點(diǎn)，所以，故選：A5.在半徑為的扇形中，圓心角為，則扇形的面積是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)扇形的面積公式即可求解.【詳解】由扇形面積可得，，故選：B.6.如圖，△中，，，為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，用和表示為，則（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則及平面向量基本定理求出、，即可得解.【詳解】因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，為中點(diǎn)，所以，所以，則.故選：D7.把函數(shù)的圖像上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得圖像上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的（縱坐標(biāo)不變），得到的圖像所表示的函數(shù)是A. B.C D.【正確答案】C【分析】根據(jù)左右平移和周期變換原則變換即可得到結(jié)果.【詳解】向左平移個(gè)單位得：將橫坐標(biāo)縮短為原來的得：本題正確選項(xiàng)：本題考查三角函數(shù)的左右平移變換和周期變換的問題，屬于基礎(chǔ)題.8.已知，是單位向量，.若，則與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】依題意可得，根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，最后根據(jù)夾角公式計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，是單位向量，所以，又且，所以，即，所以，所以，因?yàn)?，所?故選：C9.已知函數(shù)，則“函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，1）”是“函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）”的A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【正確答案】A【分析】先由的圖象經(jīng)過點(diǎn)求出；再由的圖象經(jīng)過點(diǎn)求出，根據(jù)充分條件與必要條件的概念，即可得出結(jié)果.【詳解】函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（，1）時(shí)，有，所以，，因?yàn)樗?，函?shù)為：，當(dāng)時(shí)，，所以，充分性成立；當(dāng)函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（）時(shí)，，所以，，即,，，當(dāng)時(shí)，不一定等于1，所以，必要性不成立．故選A本題主要考查充分條件與必要條件的判定，熟記概念即可，屬于?？碱}型.10.已知點(diǎn)，，．若平面區(qū)域由所有滿足（,）的點(diǎn)組成，則的面積為（）A B. C. D.【正確答案】B【分析】以，為鄰邊作平行四邊形，延長到，使，延長到，使，以，為鄰邊作平行四邊形，平行四邊形及內(nèi)部便是區(qū)域，可求出的坐標(biāo)，然后求出平行四邊形的面積即可．【詳解】如圖，以，為鄰邊作平行四邊形，延長到，使，延長到，使，以，為鄰邊作平行四邊形，因?yàn)椋?），則平行四邊形為區(qū)域，且，，所以，，，，且，，區(qū)域的面積為．故選：B．二、填空題共5小題，每小題5分，共25分.11.cos15°＋sin15°＝________.【正確答案】【詳解】cos15°＋sin15°＝cos60°cos15°＋sin60°sin15°＝cos(60°－15°)＝cos45°＝.12.已知向量，，若，則實(shí)數(shù)的值為______.【正確答案】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示列方程求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，所以，又，所以，解得，故答案?13.如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為.從四點(diǎn)中任取兩個(gè)點(diǎn)作為向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，則的最大值為____________【正確答案】【分析】由圖可知，要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，然后再根據(jù)圖形即可求出結(jié)果．【詳解】由題意可知：則，所以要使取到最大值，即要求向量在向量上的投影最大，由圖形可知：當(dāng)向量時(shí)，向量在向量上的投影最大，即即的最大值為．故3．本題考查向量的數(shù)量積幾何意義的應(yīng)用，考查數(shù)形結(jié)合以及計(jì)算能力．14.用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象時(shí)，列表如下：則______；______.【正確答案】①.②.0【分析】根據(jù)表格中數(shù)據(jù)求出、、的值，可得出函數(shù)的解析式，然后代值計(jì)算可得出和的值.【詳解】由表格中的數(shù)據(jù)可知，，函數(shù)的最小正周期為，所以，則，當(dāng)時(shí)，則，解得，則，所以，.故；.15.已知函數(shù)，，其中，是這兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)，且不共線.①當(dāng)時(shí)，面積最小值為_____；②若存在是等邊三角形，則的最小值為_____.【正確答案】①.②.##【分析】畫出兩函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合得到面積最小值；當(dāng)相鄰三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形時(shí)，取得最小值，結(jié)合列出方程，求出答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，畫出兩函數(shù)圖象，如下：過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，當(dāng)為如圖所示的三個(gè)相鄰的交點(diǎn)時(shí)，面積最小，其中，故，，所以；因?yàn)椋瘮?shù)最小正周期，故當(dāng)相鄰三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成等邊三角形時(shí)，兩函數(shù)的最小正周期最大，則取得最小值，則，，因?yàn)椋?，解得，即為最小?故，三、解答題共6小題，共85分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知角是第三象限角，且.（1）化簡；（2）若，求的值.【正確答案】（1）（2）【分析】（1）利用誘導(dǎo)公式化簡即可；（2）由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，再利用誘導(dǎo)公式計(jì)算可得.【小問1詳解】.【小問2詳解】因?yàn)?，即，又是第三象限角，所以，所?17.已知向量，（1）若與共線，求實(shí)數(shù)的值；（2）若與的夾角是鈍角，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【正確答案】（1）或（2）【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算公式，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意，利用且與不共線，結(jié)合向量的坐標(biāo)表示和數(shù)量積的運(yùn)算，即可求解.【小問1詳解】因與共線，且向量，，所以，即，解得或.【小問2詳解】因?yàn)榕c的夾角是鈍角，所以，解得或.又由向量與不共線，可得，解得且，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的定義域及的值；（2）若，求的值.【正確答案】（1），（2）或【分析】（1）根據(jù)有意義求解定義域，化簡函數(shù)代入求值即可解答；（2）由題意，.，再利用同角函數(shù)的基本關(guān)系求解即可.【小問1詳解】由題意，函數(shù)有意義，只需有意義即可，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋驗(yàn)?，所?【小問2詳解】因?yàn)?，且，所?又因?yàn)?，所以，所?解方程組，得或，則或.19.已知函數(shù)（1）求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間及最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，的取值范圍為，求的最大值.【正確答案】（1）；（2）【分析】（1）代入正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間結(jié)論計(jì)算即可，利用周期公式計(jì)算即可；（2）先求出整體變量的范圍，然后利用正弦函數(shù)性質(zhì)解答即可.【小問1詳解】令，因?yàn)榈膯握{(diào)遞增區(qū)間是，所以令，即，解得，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為最小正周期為；【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，所以的取值范圍為，由的性質(zhì)可知，，解得，所以的最大值為.20.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示.（1）直接寫出的值；（2）再從條件①、條件②中選擇一個(gè)作為已知，求函數(shù)在區(qū)間上的最小值.條件①：直線為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸；條件②：為函數(shù)的圖象的一個(gè)對(duì)稱中心【正確答案】（1）；（2）條件選擇見解析，在區(qū)間上的最小值為.【分析】（1）求出函數(shù)的最小正周期，由此可求得的值；（2）根據(jù)所選條件求得的表達(dá)式，結(jié)合的取值范圍可求得的值，再由求得的值，由求出的取值范圍，利用正弦型函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】（1）由圖象可知，函數(shù)的最小正周期滿足，，則；（2）選擇條件①：因?yàn)橹本€為函數(shù)的圖象的一條對(duì)稱軸，所以，，即，，，則，，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值，即；選擇條件②：因?yàn)槭呛瘮?shù)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心，則，解得，，，則，，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)或時(shí)，即當(dāng)或時(shí)，函數(shù)取得最小值，即.方法點(diǎn)睛：求函數(shù)在區(qū)間上最值的一般步驟：第一步：三角函數(shù)式的化簡，一般化成形如的形式或的形式；第二步：由的取值范圍確定的取值范圍，再確定（或)的取值范圍；第三步：求出所求函數(shù)的值域（或最值）.21.對(duì)于正整數(shù)，如果個(gè)整數(shù)滿足，且，則稱數(shù)組為的一個(gè)“正整數(shù)分拆”.記均為偶數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為均為奇數(shù)的“正整數(shù)分拆”的個(gè)數(shù)為.(Ⅰ)寫出整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”;(Ⅱ)對(duì)于給定的整數(shù)，設(shè)是的一個(gè)“正整數(shù)分拆”，且，求的最大值;(Ⅲ)對(duì)所有的正整數(shù)，證明:;并求出使得等號(hào)成立的的值.(注:對(duì)于的兩個(gè)“正整數(shù)分拆”與，當(dāng)且僅當(dāng)且時(shí)，稱這兩個(gè)“正整數(shù)分拆”是相同的.)【正確答案】(Ⅰ)，，，，；(Ⅱ)為偶數(shù)時(shí)，，為奇數(shù)時(shí)，；(Ⅲ)證明見解析，，【分析】(Ⅰ)根據(jù)題意直接寫出答案.(Ⅱ)討論當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，最大為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，最大為，得到答案.(Ⅲ)討論當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆分，故，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，根據(jù)對(duì)應(yīng)關(guān)系得到，再計(jì)算，，得到答案.【詳解】(Ⅰ)整數(shù)4的所有“正整數(shù)分拆”為：，，，，.(Ⅱ)當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，時(shí)，最大為；綜上所述：為偶數(shù)，最大為，為奇數(shù)時(shí)，最大為.(Ⅲ)當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，至少存在一個(gè)全為1的拆