第五章四邊形第二節(jié)矩形、菱形、正方形(建議時間：分鐘)基礎(chǔ)過關(guān)1.(2019婁底)順次連接菱形四邊中點得到的四邊形是()A.平行四邊形 B.菱形C.矩形 D.正方形2.(2019畢節(jié))如圖，點E在正方形ABCD邊AB上，若EB＝1，EC＝2，那么正方形ABCD的面積為()A.eq\r(3) B.3 C.eq\r(5) D.5第2題圖3.(2019天津)如圖，四邊形ABCD為菱形，A，B兩點的坐標分別是(2，0)，(0，1)，點C，D在坐標軸上，則菱形ABCD的周長等于()第3題圖A.eq\r(5) B.4eq\r(3) C.4eq\r(5) D.204.(2019攀枝花)下列說法錯誤的是()A.平行四邊形的對邊相等B.對角線相等的四邊形是矩形C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形D.正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形5.(2019呼和浩特)已知菱形的邊長為3，較短的一條對角線的長為2，則該菱形較長的一條對角線的長為()A.2eq\r(2) B.2eq\r(5) C.4eq\r(2) D.2eq\r(10)6.如圖，在正方形ABCD中，A，B，C三點的坐標分別是(－1，2)、(－1，0)、(－3，0)，將正方形ABCD向右平移3個單位，則平移后點D的坐標是()A.(－6，2) B.(0，2) C.(2，0) D.(2，2)第6題圖7.如圖，在矩形ABCD中，點E在BC上，AE＝AD，DF⊥AE，垂足為F，若∠FDC＝30°，且AB＝3，則AD的長為()第7題圖A.3 B.4 C.5 D.68.(2020原創(chuàng))如圖，四邊形ABCD是菱形，對角線AC，BD相交于點O，DH⊥AB于點H，連接OH，若∠DHO＝20°，則∠ADC的度數(shù)是()A.120° B.130° C.140° D.150° 第8題圖 第9題圖9.(2020原創(chuàng))如圖，在矩形ABCD中，BF＝eq\f(1,3)BC，DF的延長線與AB的延長線相交于點E，且與AC相交于點O，若S△COD＝2，則S△AOE＝()A.eq\f(4,3) B.3 C.eq\f(8,9) D.eq\f(9,2)10.(2019徐州)如圖，矩形ABCD中，AC、BD交于點O，M、N分別為BC、OC的中點，若MN＝4，則AC的長為.第10題圖11.(2019廣西北部灣經(jīng)濟區(qū))如圖，在菱形ABCD中，對角線AC，BD交于點O，過點A作AH⊥BC于點H，已知BO＝4，S菱形ABCD＝24，則AH＝.第11題圖12.(2019蘭州)如圖，矩形ABCD，∠BAC＝60°，以點A為圓心，以任意長為半徑作弧分別交AB，AC于M，N兩點，再分別以點M，N為圓心，以大于eq\f(1,2)MN的長為半徑作弧交于點P，作射線AP交BC于點E，若BE＝1，則矩形ABCD的面積等于.第12題圖 第13題圖13.(2020原創(chuàng))如圖，正方形ABCD中，AC為對角線，延長AB至點E，使BE＝AC，則∠BED＝°.14.(2020原創(chuàng))如圖，矩形ABCD中，過對角線AC的中點O作OE⊥AC交AB于點E，連接CE.若BC＝eq\r(3)，OE＝BE，則CE的長為.第14題圖15.(2019三明5月質(zhì)檢)如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交BC邊于點E，若E恰為BC的中點，則圖中陰影部分的面積為.第15題圖16.(2019福建黑白卷)如圖，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且CE＝CF，連接AE，AF，EF.求證：∠BAF＝∠DAE.第16題圖17.(2019云南)如圖，四邊形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，AO＝OC，BO＝OD，且∠AOB＝2∠OAD.(1)求證：四邊形ABCD是矩形；(2)若∠AOB∶∠ODC＝4∶3，求∠ADO的度數(shù).第17題圖18.(2020原創(chuàng))如圖，已知A，F(xiàn)，C，D四點在同一直線上，AF＝CD，EF＝EC，AB∥DE，且AB＝DE.(1)求證：四邊形EFBC為菱形；(2)若EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，求AF的長度.第18題圖19.(2018株洲)已知矩形ABCD中，E是AD邊上的一個動點，點F，G，H分別是BC，BE，CE的中點.(1)求證：△BGF≌△FHC；(2)設(shè)AD＝a，當四邊形EGFH是正方形時，求矩形ABCD的面積.第19題圖能力提升1.(2019眉山)如圖，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，過對角線交點O作EF⊥AC交AD于點E，交BC于點F，則DE的長是()A.1 B.eq\f(7,4) C.2 D.eq\f(12,5)第1題圖2.如圖，在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，點E是BC中點，點F是邊CD上的任意一點，則AF＋EF的最小值為()第2題圖A.12 B.14C.12eq\r(5)D.14eq\r(5)3.(2019百色)四邊形具有不穩(wěn)定性.如圖，矩形ABCD按箭頭方向變形成平行四邊形A′B′C′D′，當變形后圖形面積是原圖形面積的一半時，則∠A′＝°.第3題圖4.(2019揚州)如圖，已知點E在正方形ABCD的邊AB上，以BE為邊向正方形ABCD外部作正方形BEFG，連接DF，M、N分別是DC、DF的中點，連接MN.若AB＝7，BE＝5，則MN＝.第4題圖5.(2019寧波)如圖，矩形EFGH的頂點E、G分別在菱形ABCD的邊AD、BC上，頂點F、H在菱形ABCD的對角線BD上.(1)求證：BG＝DE；(2)若E為AD中點，F(xiàn)H＝2，求菱形ABCD的周長.第5題圖滿分沖關(guān)1.如圖，在矩形ABCD中，AB＝1，對角線AC，BD相交于點O，過點O作EF⊥AC分別交射線AD與射線CB于點E和點F，連接CE，AF.(1)若AD＝2，求四邊形AFCE的面積；(2)若△ODE是等腰三角形，求AD的長.第1題圖

參考答案第二節(jié)矩形、菱形、正方形基礎(chǔ)過關(guān)1.C【解析】順次連接任意四邊形的四邊中點，得到的四邊形一定是平行四邊形，如果原四邊形的對角線相等，則可得中點四邊形的鄰邊相等，即是菱形；如果原四邊形的對角線互相垂直，則可得中點四邊形的鄰邊垂直，即是矩形(如解圖所示)；∵菱形的對角線互相垂直，∴菱形的中點四邊形是矩形.第1題解圖2.B【解析】∵EC＝2，EB＝1，∠B＝90°，利用勾股定理可得BC＝eq\r(3)，則正方形ABCD的面積為(eq\r(3))2＝3.3.C【解析】∵A(2，0)、B(0，1)，∴OA＝2，OB＝1，在Rt△AOB中，由勾股定理知AB＝eq\r(22＋12)＝eq\r(5)，∵四邊形ABCD為菱形，∴菱形ABCD的周長為4AB＝4eq\r(5).4.B【解析】A.平行四邊形的對邊相等，選項A正確；B.對角線相等的四邊形不一定是矩形，如等腰梯形的對角線相等，它不是矩形，選項B錯誤；C.對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，選項C正確；D.正方形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，選項D正確.5.C【解析】∵菱形的對角線相互垂直且平分，∴另一條對角線長為2×eq\r(32－12)＝4eq\r(2).6.B7.D【解析】∵∠ADF＋∠FDC＝90°，∠DAF＋∠ADF＝90°，∴∠FDC＝∠DAF＝30°，∴AD＝2DF.∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DAF＝∠AEB，∠A＝90°，∴∠BAE＝∠FDA＝60°，∵AE＝AD，∴△ADF≌△EAB(ASA)，∴DF＝AB，∴AD＝2AB＝6.8.C【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴OB＝OD，AC⊥BD，∠ADC＝∠ABC，∵DH⊥AB，∴OH＝OB＝eq\f(1,2)BD，∵∠DHO＝20°，∴∠OHB＝90°－∠DHO＝70°，∴∠ABD＝∠OHB＝70°，∴∠ADC＝∠ABC＝2∠ABD＝140°.9.D【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴△BEF∽△CDF.∵BF＝eq\f(1,3)BC，∴BF＝eq\f(1,2)CF.∴eq\f(BE,CD)＝eq\f(BF,CF)＝eq\f(1,2).∴BE＝eq\f(1,2)CD.∴AE＝eq\f(3,2)CD.∵AB∥CD，∴△AOE∽△COD.∴eq\f(S△AOE,S△COD)＝(eq\f(AE,CD))2＝eq\f(9,4).∵S△COD＝2，∴S△AOE＝eq\f(9,2).10.16【解析】在△OBC中，根據(jù)三角形中位線等于它所對的第三邊的一半，得到OB＝2MN＝8，又根據(jù)矩形的性質(zhì)：對角線相等且互相平分，得到AC＝BD＝2OB＝16.11.eq\f(24,5)【解析】∵S菱形ABCD＝eq\f(1,2)AC·BD＝eq\f(1,2)×AC×8＝24，∴AC＝6，∴OC＝eq\f(1,2)AC＝3，∴BC＝eq\r(42＋32)＝5.∵S菱形ABCD＝BC·AH＝24，∴AH＝eq\f(24,5).12.3eq\r(3)【解析】由作圖步驟可知AE是∠BAC的平分線，∵在矩形ABCD中，∠B＝90°，∠BAC＝60°，∴∠ACB＝30°，∠BAE＝∠CAE＝30°.∴CE＝AE＝2BE＝2，AB＝eq\f(BE,tan30°)＝eq\r(3).∴BC＝BE＋CE＝3，∴S矩形ABCD＝AB·BC＝3eq\r(3).13.22.5【解析】如解圖，連接DB，∵四邊形ABCD為正方形，BE＝AC，∴DB＝BE，DB平分∠ABC，∴∠DBE＝∠DBC＋90°＝45°＋90°＝135°，∴在等腰三角形△DBE中，∠BED＝eq\f(1,2)(180°－135°)＝22.5°.第13題解圖14.2【解析】由題意知，OE是線段AC的垂直平分線，∴AE＝CE，∠B＝∠COE＝90°.在Rt△BCE和Rt△OCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(BE＝OE，,CE＝CE，))∴Rt△BCE≌Rt△OCE(HL).∴OC＝BC，∠OCE＝∠BCE.∴AC＝2OC＝2BC＝2eq\r(3).又∵△ABC是直角三角形，∴sin∠CAB＝eq\f(BC,AC)＝eq\f(1,2)，∴∠ACE＝∠BCE＝∠CAB＝30°.又∵BC＝eq\r(3)，∴CE＝eq\f(BC,cos30°)＝2.15.eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3)【解析】如解圖，連接AE，根據(jù)題意得，AD＝BC＝AE＝2，∴BE＝eq\f(1,2)BC＝1，∴∠BAE＝30°，∴∠DAE＝60°，CD＝AB＝eq\r(3)，∴S陰影＝S梯形CEAD－S扇形EAD＝eq\f(1,2)×(1＋2)×eq\r(3)－eq\f(60·π·22,360)＝eq\f(3\r(3),2)－eq\f(2π,3).第15題解圖16.證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D＝90°.∵CE＝CF，∴BC－CE＝CD－CF，即BE＝DF.在△ABE和△ADF中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(AB＝AD，,∠B＝∠D,BE＝DF，))，∴△ABE≌△ADF(SAS).∴∠BAE＝∠DAF.∵∠BAF＝∠BAE＋∠EAF，∠DAE＝∠DAF＋∠EAF，∴∠BAF＝∠DAE.17.(1)證明：∵AO＝OC，BO＝OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形.又∵∠AOB＝2∠OAD，∠AOB是△AOD的外角，∴∠AOB＝∠OAD＋∠ADO.∴∠OAD＝∠ADO.∴AO＝OD.又∵AC＝AO＋OC＝2AO，BD＝BO＋OD＝2OD，∴AC＝BD.∴四邊形ABCD是矩形；(2)解：設(shè)∠AOB＝4x，∠ODC＝3x，則∠ODC＝∠OCD＝3x.在△ODC中，∠DOC＋∠OCD＋∠CDO＝180°，∴4x＋3x＋3x＝180°，解得x＝18°.∴∠ODC＝3×18°＝54°.∴∠ADO＝90°－∠ODC＝90°－54°＝36°.18.(1)證明：∵AB∥DE，∴∠A＝∠D.又∵AF＝CD，AB＝DE，∴△AFB≌△DCE(SAS).∴BF＝EC，∠AFB＝∠DCE.∴∠CFB＝∠ECF.∴BF∥CE.∴四邊形EFBC為平行四邊形.又∵EF＝EC，∴四邊形EFBC為菱形；(2)解：如解圖，連接EB，交FC于點O，則EO⊥DF，∵EF＝3，DE＝4，∠DEF＝90°，∴DF＝5.∵S△DEF＝eq\f(1,2)EF·ED＝eq\f(1,2)EO·DF，即3×4＝5EO，∴EO＝eq\f(12,5).在Rt△EOF中，OF＝eq\r(EF2－EO2)＝eq\r(9－（\f(12,5)）2)＝eq\f(9,5)，∴FC＝2OF＝eq\f(18,5).∴CD＝DF－FC＝5－eq\f(18,5)＝eq\f(7,5).∵AF＝CD，∴AF＝eq\f(7,5).第18題解圖19.(1)證明：∵點F，H分別是BC，CE的中點，∴FH∥BE，F(xiàn)H＝eq\f(1,2)BE，BF＝CF，∴∠CFH＝∠CBG，又∵點G是BE的中點，∴FH＝BG，又∵BF＝CF，∴△BGF≌△FHC(SAS)；(2)解：如解圖，連接GH、EF，當四邊形EGFH是正方形時，可知EF⊥GH且EF＝GH，∵在△BEC中，點G，H分別是BE，CE的中點，∴GH＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(1,2)AD＝eq\f(1,2)a，且GH∥BC，∴EF⊥BC，又∵AD∥BC，AB⊥BC，∴AB＝EF＝GH＝eq\f(1,2)a，∴S矩形ABCD＝AB·AD＝eq\f(1,2)a·a＝eq\f(1,2)a2.第19題解圖能力提升1.B【解析】如解圖，連接EC，∵OA＝OC，且EF⊥AC，∴EC＝AE，設(shè)DE＝x，則EC＝AE＝8－x，根據(jù)勾股定理可得(8－x)2＝x2＋62，解得x＝eq\f(7,4)，∴DE的長為eq\f(7,4).第1題解圖2.C【解析】如解圖，作點E關(guān)于直線CD的對稱點E′，連接AE′交CD于點F，此時AF＋EF的值最小，最小值為AE′的長.∵在矩形ABCD中，AB＝12，BC＝16，E是BC中點，∴BE＝CE＝CE′＝8，∴BE′＝24，∴AE′＝eq\r(AB2＋BE′2)＝eq\r(122＋242)＝12eq\r(5).第2題解圖3.30【解析】如解圖，過點B′作B′E⊥A′D′于點E.設(shè)矩形ABCD的邊AD長為a，AB長為b，B′E長為c，則S矩形ABCD＝ab，S?A′B′C′D′＝ac.∵S?A′B′C′D′＝eq\f(1,2)S矩形ABCD，∴ac＝eq\f(1,2)ab，∴c＝eq\f(1,2)b，∴sinA′＝eq\f(c,b)＝eq\f(1,2)，∴∠A′＝30°.第3題解圖4.eq\f(13,2)【解析】如解圖，連接FC，∵M、N分別是DC、DF的中點，∴MN是△DFC的中位線，則MN＝eq\f(1,2)CF，在Rt△CFG中，F(xiàn)G＝5，CG＝5＋7＝12，∴CF＝eq\r(52＋122)＝13，∴MN＝eq\f(13,2).第4題解圖5.(1)證明：∵四邊形EFGH為矩形，∴EH＝FG，EH∥FG.∴∠GFH＝∠EHF.∵∠BFG＝180°－∠GFH，∠DHE＝180°－∠EHF，∴∠BFG＝∠DHE.∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC.∴∠GBF＝∠EDH.∴△BGF≌△DEH(AAS).∴BG＝DE；(2)解：如解圖，連接EG.∵四邊形ABCD為菱形，∴AD∥BC，且AD＝BC.∵E為AD中點，∴AE＝DE.∵BG＝DE，∴AE＝BG.∴四邊形ABGE為平行四邊形.∴AB＝EG.在矩形EFGH中，∵EG＝FH＝2.∴A