專題16數(shù)列求和—倒序相加已知函數(shù)，當、，且時，總有．求的值．設(shè)，求．2.一般地，如果函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，那么對定義域內(nèi)的任意，則恒成立已知函數(shù)的定義域為，其圖象關(guān)于點對稱．Ⅰ求常數(shù)的值；Ⅱ解方程：；Ⅲ求證：3.已知函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，記．求的值；求證：為定值；求的值．4.已知函數(shù)．若，求的值；求的值．5.設(shè)，是函數(shù)的圖象上的任意兩點．當時，求的值；設(shè)，其中，求；6.已知函數(shù)滿足，．求實數(shù)和的值；若，其中，求的值．7.已知且是上的奇函數(shù)，且．求的解析式；若關(guān)于的方程在區(qū)間內(nèi)只有一個解，求取值集合；設(shè)，記，是否存在正整數(shù)，使不等式對一切均成立？若存在，求出所有的值，若不存在，說明理由．8.設(shè)，且為奇函數(shù)．Ⅰ求實數(shù)的值；Ⅱ設(shè)函數(shù)，令，求；Ⅲ是否存在實數(shù)，使得不等式對任意的及任意銳角都成立？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由．答案和解析1.【答案】解取，則，所以．因為當、，且時，總有，所以，，因為，故兩式相加得：，所以．【解析】本題考查函數(shù)的求值，考查數(shù)列的求和方法：倒序相加求和，考查運算能力，屬于較易題．由題意，可令，代入函數(shù)，計算即可得到；由當、，且時，總有，運用倒序相加求和方法，即可得到．2.【答案】解：函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，，；解：由知，或；證明：設(shè)可寫成兩式相加，由于，，所以．【解析】本題考查了函數(shù)的對稱性，考查倒序相加法求和及求解對數(shù)方程，屬于中檔題．利用函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱，可得，代入化簡，可得結(jié)論；由知，，代入化簡方程，可求方程的解；利用，倒序相加，可得結(jié)論．3.【答案】解：函數(shù)在上的最大值與最小值之和為，而函數(shù)在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，，解得，或舍去，；證明：由知，，，由知，．，，，，令則得．【解析】本題考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性及其應(yīng)用，利用指數(shù)運算性質(zhì)化簡求值，倒序相加的求和思想，考查了學生的計算能力，培養(yǎng)了學生分析問題與解決問題的能力．因為函數(shù)在上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減，所以最大值和最小值一定取到端點處，列方程即可解得值；利用指數(shù)運算性質(zhì)，代入函數(shù)解析式即可化簡證明；注意到和式中的自變量的特點，利用的結(jié)論，運用倒序相加即可得到4.【答案】解：函數(shù)，，．【解析】本題主要考查與指數(shù)函數(shù)有關(guān)的基本運算，考查了函數(shù)值的求法以及倒序相加法求和，屬于中檔題．由函數(shù)，將和代入，結(jié)合指數(shù)的運算性質(zhì)，可得當時，，由的結(jié)論，兩兩結(jié)合，即可得到答案．5.【答案】解：，是函數(shù)的圖象上的任意兩點，，，且時，即，；由可得，，，，得，，，．【解析】本題考查函數(shù)值的求法，數(shù)列的前項和的求法，考查運算能力，解題時要注意倒序求和法的合理運用．由，推導出；由可得，利用倒序相加求和法得到，由此能求出．6.【答案】解：滿足，，解得，；由可知，，，而，，，．【解析】本題考查了函數(shù)的解析式、倒序相加求和，考查了學生的觀察分析能力．待定系數(shù)法聯(lián)立方程組可解得，的值，由，先求出的值，由此發(fā)現(xiàn)規(guī)律即可求得．7.【答案】解：由奇函數(shù)的性質(zhì)可得：，解方程可得：．此時，滿足，即函數(shù)是奇函數(shù)．，或負值舍去，的解析式為：；函數(shù)的解析式為，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，是定義域內(nèi)的增函數(shù)，由，即，由是定義域內(nèi)的增函數(shù)，可得在區(qū)間內(nèi)只有一個解．轉(zhuǎn)化為在區(qū)間內(nèi)只有一個解．當時，，符合題意；當時，，當時，，解得，此時對稱軸為直線，滿足題意；當時，若，解得且，顯然滿足題意；若，解得，此時對稱軸為直線，可得在內(nèi)有兩解，，不滿足題意．綜上，取值集合或．函數(shù)是奇函數(shù)．關(guān)于對稱，，，，得．，，即，當時，等號成立，當時，，時，，，解得且，當時，，時，，，解得且，綜上，不存在滿足條件的，所以不存在正整數(shù)，使不等式對一切均成立．【解析】本題考查了函數(shù)的奇偶性，單調(diào)性的應(yīng)用，不等式恒成立問題，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題．利用奇函數(shù)得到關(guān)于實數(shù)的方程，解方程求得，再代入的值求出；結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的奇偶性轉(zhuǎn)化求解即可；由函數(shù)的對稱性及圖象平移規(guī)律可得，，代入，分類討論即可求解．8.【答案】解：Ⅰ依題意，，解得，經(jīng)檢驗符合題意；Ⅱ，又，，，；Ⅲ易知在上為增函數(shù)，則原不等式等價于，即，由于，故，兩邊同時除以得，，令，又令，則，，令，由于，故，而當時，單調(diào)遞減，其有最小值，存在符合要求的實數(shù)，且．【解析】本題考查函數(shù)性質(zhì)的綜合運用，考查換元思想，