第九章壓桿穩(wěn)定第1頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月§9-1壓桿穩(wěn)定的概念

一、壓桿失穩(wěn)

細(xì)長壓桿不能正常工作并非其強(qiáng)度不夠，而是不能保持它原有的直線狀態(tài)的平衡的現(xiàn)象。二、臨界力

使彈性壓桿從直線狀態(tài)平衡開始轉(zhuǎn)變?yōu)榍€狀態(tài)平衡的軸向壓力稱為臨界力，用Pcr表示。QPPQ當(dāng)P<Pcr時，壓桿保持直線狀態(tài)平衡；當(dāng)P>Pcr時，壓桿過渡到曲線狀態(tài)平衡。施加一橫向干擾力Q。撤除橫向干擾力Q。第2頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月yxl§9-2細(xì)長壓桿的臨界力

一、兩端鉸支約束細(xì)長壓桿的臨界力

設(shè)距原點(diǎn)x處的任意截面的撓度為y。在小變形前提下，撓曲線的近似微分方程為：令上式變?yōu)椋哼吔鐥l件：因y不恒等于零，—?dú)W拉公式

即取Pyx則彎矩方程為：亦即

第3頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月二、其它約束情況下的臨界力

歐拉公式

μ—長度系數(shù)，取決于壓桿兩端的約束情況；μl—相當(dāng)長度，即折算成兩端鉸支細(xì)長壓桿的長度。球鉸約束，由橫截面圖形最小慣性矩來確定臨界力。壓桿的長度系數(shù)

壓桿兩端約束情況兩端鉸支一端夾緊一端自由一端夾緊一端鉸支兩端夾緊長度系數(shù)μ120.70.5第4頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月§9-3歐拉公式的適用范圍

中小柔度壓桿的臨界應(yīng)力一、臨界應(yīng)力和柔度

臨界應(yīng)力：臨界力作用下壓桿截面上的平均應(yīng)力。令—橫截面圖形對某一中性軸的慣性半徑。于是令—壓桿柔度或細(xì)長比，無量綱量。反映了桿端約束情況、壓桿長度、橫截面形狀和尺寸等因素對臨界力的綜合影響。臨界應(yīng)力：顯然，不同的彎曲平面內(nèi)，壓桿的柔度值可能不同，但壓桿總是在柔度最大的平面內(nèi)失穩(wěn)。第5頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月二、歐拉公式的適用范圍

壓桿的臨界應(yīng)力σcr不超過材料比例極限σP時歐拉公式才適用。即令—材料比例極限柔度

則當(dāng)壓桿的柔度不小于材料比例極限柔度時歐拉公式才適用，滿足該條件的桿稱為大柔度桿或細(xì)長桿。當(dāng)σcr>

σP即λ

<λ

P時，稱為中小柔度桿，壓桿橫截面上應(yīng)力已超過材料的比例極限，不能用歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力。第6頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月三、中小柔度桿的臨界應(yīng)力

當(dāng)即時，稱中柔度桿或中長桿，其中λ

u為與材料極限應(yīng)力σu相對應(yīng)的柔度。若取臨界應(yīng)力為直線公式：其中a、b為與材料有關(guān)的常數(shù)，與應(yīng)力同量綱，由實(shí)驗(yàn)確定。由令—與材料極限應(yīng)力σu相對應(yīng)的柔度。故當(dāng)時用給定的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力。在工程中一般按經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力。第7頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月當(dāng)即時，稱為小柔度桿或粗短桿，壓桿破壞不發(fā)生失穩(wěn)現(xiàn)象，臨界應(yīng)力可取為材料的極限應(yīng)力。臨界應(yīng)力：四、臨界應(yīng)力圖

臨界應(yīng)力和壓桿柔度關(guān)系見臨界應(yīng)力圖。Oσcr

σu

σPλuλPλσcr=σuσcr=a-bλ壓桿實(shí)際工作柔度滿足λ

≥λP時，按歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力；壓桿實(shí)際工作柔度滿足λu

<λ

<

λP，按給定的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力；壓桿實(shí)際工作柔度滿足λ

≤λu

時，取材料的極限應(yīng)力為臨界應(yīng)力。第8頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月§9-4壓桿穩(wěn)定計(jì)算

壓桿穩(wěn)定計(jì)算包括壓桿橫截面選擇、壓桿穩(wěn)定性校核、臨界壓力計(jì)算等問題。一、壓桿穩(wěn)定條件

或P—工作壓力；[Pcr]—穩(wěn)定許用臨界力；

Pcr—臨界力；

[nst]—規(guī)定穩(wěn)定安全系數(shù)；nst—工作穩(wěn)定安全系數(shù)。工程實(shí)際中，[nst]通常要求比ns或大nb；局部削弱的壓桿，穩(wěn)定性計(jì)算時橫截面積A和慣性矩I仍按未削弱時的計(jì)算，但必須按“凈”面積增加強(qiáng)度校核。壓桿穩(wěn)定條件可用于校核穩(wěn)定性、確定壓桿工作壓力、壓桿截面尺寸、壓桿長度、兩端約束、安全系數(shù)、材料等。即第9頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月二、解題步驟

根據(jù)支承情況等計(jì)算壓桿的柔度λ；必要時計(jì)算材料的比例極限柔度λP和由給定的經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算與材料極限應(yīng)力σu相對應(yīng)的柔度λu；根據(jù)λ與λP、λu

之間的大小關(guān)系，由臨界應(yīng)力圖確定計(jì)算臨界應(yīng)力的適宜公式并計(jì)算臨界應(yīng)力σcr和臨界壓力Pcr；根據(jù)規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)計(jì)算工作壓力P；必要時如壓桿存在局部削弱等應(yīng)增加強(qiáng)度校核。第10頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月三、例題

【例9-1】矩形截面木質(zhì)壓桿尺寸(單位為m)及端部支承情況如圖示。彈性模量E=10GPa，λP=59，壓桿若為中柔度桿時臨界應(yīng)力按直線經(jīng)驗(yàn)公式σcr=a-bλ計(jì)算，其中a=40MPa，b=0.203MPa，規(guī)定的穩(wěn)定安全系數(shù)[nst]=3，求壓桿安全工作的最大壓力Pmax?！窘狻?)計(jì)算壓桿柔度壓桿可能在xz平面內(nèi)失穩(wěn)也可能在xy平面內(nèi)失穩(wěn)。壓桿橫截面對中性軸y軸、中性軸z軸有不同的慣性半徑，故有不同的柔度。Pmaxx40.20.12yzPmaxx40.20.12yz第11頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月橫截面圖形對y軸、z軸的慣性半徑為：根據(jù)壓桿約束情況知，壓桿的柔度分別為：Pmaxx40.20.12yzPmaxx40.20.12yz第12頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月b)因λ

z<

λ

P，故按直線經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算臨界應(yīng)力σcrz臨界壓力：3)求

Pmaxa)因λ

y>

λ

P

，故按歐拉公式計(jì)算臨界應(yīng)力σcry

臨界壓力：2)求臨界應(yīng)力和臨界壓力第13頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月【例9-2】圖示長為l、直徑為d的線彈性大柔度圓截面直桿在溫度為t0時夾持安裝在兩固定墻面之間，此時桿不受力。已知桿材料的線膨脹系數(shù)為α，若升高溫度，求桿失穩(wěn)時的臨界溫度t1?！窘狻?）設(shè)桿的臨界壓力Pcr，則：PcrPcr2）桿件因溫度升高引起的變形量與Pcr引起的變形量代數(shù)和為零。故：第14頁，課件共15頁，創(chuàng)作于2023年2月§9-5