數(shù)分平面曲線的弧長與曲率_第1頁
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文檔簡介

§10.3平面曲線的弧長平面曲線弧長的概念并稱曲線是可求長的，并稱極限為曲線的弧長

1、參數(shù)方程情形定理10.1設(shè)沒有自交點的非閉平面曲線

若是可求長的，且弧長為的參數(shù)方程為與在上連續(xù)可微，則性質(zhì)設(shè)是一條沒有自交點的非閉的是上一點，則和也是可求長的，并且的弧長等于的弧長與弧長的和

可求長的平面曲線.如果定義2設(shè)是一條沒有自交點的閉的任取一點將分成兩段非閉曲線，如果和都是可求長的，則稱閉的平面曲線是可求長的，并把的弧長與弧長的和定義為的弧長

平面曲線.在注1根據(jù)性質(zhì)，顯然定義2中是否可求點的選擇無關(guān)，并且當可求長時，其弧長也與注2公式也可以直接推廣到有自交點的（非）閉的長與點的選擇無關(guān).平面曲線的情形

設(shè)平面曲線的參數(shù)方程為.若與在上連續(xù)可微，且與不同時為零，則稱為一條光滑曲線

定義3

推論設(shè)平面曲線為一光滑曲線，則是可求長的，且弧長為

的參數(shù)方程為若例1求擺線一拱的弧長.

由公式得

解若曲線則當在上連續(xù)可微時，此曲線為的方程為一光滑曲線，它的弧長公式為2、直角坐標情形例2求懸鏈線從到一段的弧長.

由公式得

解曲線弧為3、極坐標情形弧長例3求心形線的周長.

解由公式得若將定理1中公式的上限改為變量，就得到曲線由端點到動點的弧長,即

由于被積函數(shù)連續(xù)，所以有

與

稱為弧微分.

考察由參數(shù)方程給出的光滑曲線我們看到弧段與而其彎曲程度卻很不一樣.從點移動至時，切線轉(zhuǎn)比動點從移動至時切線轉(zhuǎn)過的角度要大得多.二曲率曲線上各點處的彎曲程度是描述曲線局部性態(tài)的又一重要標志.的長度相差不多曲線過的角度這反映為當動點沿設(shè)表示曲線在點處切線的傾角，表示動點由沿曲線移至時切線傾角的增量.若之長為則稱為弧段的平均曲率

曲率的定義如果存在有限極限

則稱此極限為曲線在點處的曲率

曲

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