廣義逆矩陣及其應用0940503205成芳娟2023/9/151廣義逆矩陣及其應用廣義逆矩陣的定義廣義逆矩陣的求法廣義逆矩陣的應用2023/9/152廣義逆矩陣的定義

1,1956年Penrose廣義逆定義定義（1）AXA=A（2）XAX=X（3）（AX）*=AX（4）（XA）*=XA則滿足（1）式的X記A{1}，A（1）稱為A的減號逆滿足（1）（2）式的X記A{1,2}，A（1,2）稱為A的自反減號逆滿足（1）（3）式的X記A{1,3}，A（1,3）稱為A的{1,3}逆或最小范數(shù)廣義逆滿足（1）（4）式的X記A{1,4}，A（1,4）稱為A的{1,4}逆或最小二乘廣義逆滿足（1）（2）（3）（4）的X記A{1，2,3,4}，A（1,2,3,4）稱為A的加號逆2023/9/1532,1920年Moore廣義逆定義（1）預備知識定義1：設L，M為的子空間并構成直和即唯一的使得稱y為x沿著M到L的投影。將任意變?yōu)槠溲刂鳰到L的投影變換稱為沿著M到L的投影算子，記為即投影算子是線性變換，其矩陣稱為投影矩陣仍記為定義2：設L為的子空間，其正交補空間則稱沿著到L的投影算子為正交投影算子，簡記正交投影算子的矩陣稱為正交投影矩陣，仍記為2023/9/154定義3：設W是數(shù)域P上n維線性空間V的一個m維子空間是W的一組基，那么這組基向量必定可以擴充為整個空間的基，也就是說在V中必定可以找到n-m個向量使得是V的一組基。（2）投影矩陣的構造首先：設已知Cn的子空間L，M構造直和下面構造取L的一個基（設L為r維子空間），M的一個基（則M的維數(shù)為n-r）,由直和關系知即構成的一個基。故如令則2023/9/155為可逆方陣另外即：其次，構造正交投影矩陣設L的一個基為的一個基為令則因為2023/9/1562023/9/157(3),Moore廣義逆定義Moore定義：設且則X為A的Moore廣義逆。2023/9/158廣義逆矩陣的求法一、減號逆1，減號逆A-的求法例1：求證A=Ir0則A-=Ir*其中*是適當階數(shù)的矩陣，A-是減號逆，所有減

00**號逆都可以寫成A-的形式證明：首先AA-A=Ir0Ir*Ir0=Ir0=A則A-是減號逆

00**0000

其次G∈G1G2若G屬于A的減號逆，則G滿足

G3G4AGA=AIr0G1G2Ir0=G10=Ir000G3G4000000

則G1=IrG2，G3，G4是無限制的，故原命題成立2023/9/159引理：設Bm×n=Pm×mAm×nQn×n

其中PQ可逆，則A-=QB-P，B-=Q-A-P-

由引理可知求得Q，B-，P即可得到A的一個特定減號逆初等行變換等價于矩陣左乘一個初等矩陣初等列變換等價于矩陣右乘一個初等矩陣矩陣經(jīng)過初等變換可以變?yōu)镮r000矩陣減號逆的求法對矩陣Am×nIm×m

的前m行做行變換，前n列做列變換可以變?yōu)锽PIn×n0Q0則A=PBQA-=QB-P則可以求得矩陣A的減號逆例2：10-11A=0222則求A的減號逆？

-14532023/9/1510解：先對A進行行變換

10-1110010-111000222010011101/20-145300100001/4-1/21/4再對10-11進行列變換變?yōu)?0000111010000000000則可以得到1000100101-1B=0100P=0?0Q=01-1-10000?-1/2?001000012023/9/1511則A-=QB-P=101-1100010001-1-101000?000100000-1/4-1/2?0001=1001000100?0000-1/4-1/2?000

=1000?00000002，減號逆A{1}的求法定理：設Ａ∈Ｃｍ×ｎＡ－是Ａ的一個特定｛１｝逆，則①Ａ｛１｝＝｛Ａ－＋Ｕ－Ａ－ＡＵＡＡ－其中Ｕ∈Ｃｎ×ｍ｝②Ａ｛１｝＝｛Ａ－＋Ｚ（Ｉｍ－ＡＡ－）＋（Ｉｎ－ＡＡ－）Ｙ其中ＺＹ∈Ｃｎ×ｍ｝2023/9/1512證明：驗證ＡＸＡ＝ＡＸ＝Ａ－＋Ｕ－Ａ－ＡＵＡＡ－

則A（A－+U－Ａ－ＡＵＡＡ－）Ａ＝ＡＡ－Ａ＋ＡＵＡ－ＡＡ－ＡＵＡＡ－Ａ＝Ａ＋ＡＵＡ－ＡＵＡ＝Ａ對Ｘ∈A｛１｝令Ｕ＝X－Ａ－

Ａ－＋Ｘ－Ａ－－Ａ－Ａ（Ｘ－Ａ－）ＡＡ－

＝Ｘ－Ａ－ＡＸＡＡ－＋Ａ－ＡＡ－ＡＡ－

＝Ｘ－Ａ－ＡＡ－＋Ａ－ＡＡ－

＝Ｘ則Ｘ∈｛Ａ－＋Ｕ－Ａ－ＡＵＡＡ－其中Ｕ∈Ｃｎ×ｍ｝則原命題是正確的同理可以證明②式是成立的2023/9/1513二、自反減號逆如何求自反減號逆首先設Ａ＝Ｉｒ０Ａ－＝ＩｒＢ００ＣＤ若Ａ－是Ａ的自反減號逆則應該滿足等式Ａ－ＡＡ－＝Ａ－即ＩｒＢＩｒ０ＩｒＢ＝ＩｒＢＣＤ００ＣＤＣＤ則IrB=IrB則D=CBCCBCD

故A的自反減號逆Ar-=IrBBC為任意階數(shù)的矩陣CCB所以A=PIr0Q則A的自反減號逆Ar-=QIrBP00CCB2023/9/1514例3：若A=12-1求A的自反減號逆Ar-0-12解：對A做初等變換AEE00012則可以得到P=120100-10-10100Q=1010120001200100001則Ar-=10即A的自反減號逆為12Q01BP0-1CCB002023/9/1515三、加號逆1，矩陣的奇異值分解（1）預備知識定義1：若實方陣Q滿足QTQ=E，則稱Q是正交矩陣定義2：若存在正交矩陣P，使得PTAP=B則稱A正交相似于B

定義3：A∈Cn×n共軛轉(zhuǎn)置矩陣記為AH

定義4：若AH=A，則稱A為Hermit矩陣定義5：設A∈Cn×n,若AHA=AAH，則稱A為正規(guī)矩陣定義6：設A∈Cn×n，若AHA=AAH=E，則稱A為酉矩陣定義7：設A∈Cn×n，若存在酉矩陣P，使得PHAP=B，則稱A酉相似于B

性質(zhì)1：若A是n階實對稱矩陣，λi(i=1,2,…,n)是A的特征值，則恒存在正交陣Q,使得QAQ=diag(λ1,λ2,…,λn)而且Q的n個列向量是一個完備的標準正交特征向量系。性質(zhì)2：若A∈Rn×n,是非奇異矩陣，則存在正交陣P和Q，使得PTAQ=diag(?1,?2,…?n)其中，?i(i=1,2,…,n)2023/9/1516性質(zhì)3（1）設A∈Cm×nr,(r>0),則AHA是Hermit矩陣，且其特征值均是非負數(shù)（2）rank(AHA)=rank(A)(3)設A∈Cm×n,則A=0的充要條件是AHA=0性質(zhì)4（1）設A∈Cm×n，則A酉相似于對角陣的充分必要條件是A為正規(guī)陣（2）設A∈Rn×n,且A的特征值都是實數(shù)，則正交相似于對角矩陣的充要條件是A為正規(guī)矩陣（2）矩陣的奇異值分解定義：設A∈Cm×nr,(r>0)，AHA的特征值為

λ1≥λ2≥….≥λr>λr+1=…..=λn=0

則稱?i=是A的奇異值;規(guī)定零矩陣的奇異值都是0定理:設A∈Cm×nr,(r>0)則存在m階酉矩陣U和n階酉矩陣V，使得

A=U∑0VH其中矩陣∑=diag(?1,?2,…,?r),而數(shù)?i是矩陣A的00所有非零奇異值，則稱此分解為奇異值分解。2023/9/1517證明：根據(jù)性質(zhì)3，AHA是Hermit矩陣，且其特征值均是非負數(shù)，且λ1≥λ2≥….≥λr>λr+1=…=λn=0

顯然，AHA是正規(guī)矩陣。根據(jù)性質(zhì)4，存在n階酉矩陣V，使得

λ1

VH（AHA）V==∑20

λn00

其中：∑2=λ1

λr設V有分塊形式V=（V1V2），V1∈Cn×rr,V2∈n×(n-r)

r則有AHAV=(AHAV1AHAV2)=(V1V2)∑20=(V1∑20)00即AHAV1=V1∑2AHAV2=0由AHAV1=V1∑2

得V1HAHAV1=∑2

或（AV1∑-1）H(AV1∑-1)=E其中∑=

2023/9/1518由AHAV2=0,得（AV2）H(AV2)=0或AV2=0令U1=AV1∑-1=(u1,u2,…,ur)則U1HU1=Er根據(jù)線性代數(shù)理論知，可將兩兩正交的單位列向量u1,u2,…,ur擴充為Cm的標準正交基u1,u2,…,ur,ur+1…,um記矩陣U2=（ur+1,…,um）,則U=(U1U2)=(u1,…,ur,ur+1,…,um)是m階酉矩陣，且U1HU1=ErU2HU2=0于是UHAV=UH(AV1AV2)=U1HU1∑0U2H

=U1HU1∑0=∑0U2HU1∑000所以A=U∑0VH所以原命題成立

002023/9/1519例4：求矩陣12A=00的奇異值分解00解：可以求得矩陣12

AHA=10000=122000024

的特征值λ1=5，λ2=0，對應的特征向量可取為x1=(1,2)T,x2=(2,-1)T,于是rank(A)=rank(AHA)=1

奇異值?1=，?2=0，∑=（）1×1且使得

VH(AHA)V=λ1=∑20=50

λn0000

成立的正交矩陣為

V=(V1V2)=