第二章解析函數(shù)第1頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.1可導(dǎo)與可微

定義

設(shè)單值函數(shù)，，滿足稱(chēng)f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，此極限稱(chēng)為f(z)在點(diǎn)z的導(dǎo)數(shù)，記作。若在點(diǎn)z的改變量可寫(xiě)為，其中，則稱(chēng)在z點(diǎn)可微，稱(chēng)為w在z點(diǎn)的微分，記作。定義

第2頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理w=f(z)在z點(diǎn)可導(dǎo)，則一定在該點(diǎn)可微，反之亦然，且。函數(shù)可導(dǎo)的必要條件——柯西-黎曼方程（C-R條件）若函數(shù)f(z)在z=x+iy點(diǎn)可導(dǎo)，以任意方式→0，同樣值。第3頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特殊路經(jīng)一：（平行于實(shí)軸）函數(shù)按虛部實(shí)部分開(kāi)：極限按虛部實(shí)部分開(kāi)：zII

xyI第4頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月特殊路經(jīng)二：（平行于虛軸）函數(shù)按虛部實(shí)部分開(kāi)：極限按虛部實(shí)部分開(kāi)：分子分母同乘以-i：第5頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月——C-R條件，必要而非充分條件。則有：第6頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月定理若u、v的偏導(dǎo)數(shù)存在且連續(xù)，C-R條件是函數(shù)可導(dǎo)的充要條件。證明(1)必要性：由推理過(guò)程已證。(2)充分性：∵存在且連續(xù)，∴和可微，即第7頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月∵高階無(wú)窮小量有

∴

（根據(jù)C-R條件）第8頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月∴f(z)可導(dǎo)。第9頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月導(dǎo)數(shù)的幾何意義第10頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.2解析函數(shù)區(qū)域G內(nèi)每一點(diǎn)都可導(dǎo)的函數(shù)稱(chēng)為G內(nèi)的解析函數(shù)。[，處處可導(dǎo)，f(z)為G的解析函數(shù)。]定義

解析函數(shù)柯西-黎曼方程，u、v不是相互獨(dú)立的，第11頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題解已知，求。

涉及到的高數(shù)知識(shí)：

①，②反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)=(直接函數(shù)的導(dǎo)數(shù))-1③∵

第12頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月分子提取后

且第13頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月又∵C-R方程，∴當(dāng)，并取積分路經(jīng)為時(shí)，得第14頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月代入和有令第15頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月已知，求。

例題解方法一：當(dāng)，并取積分路經(jīng)為時(shí)，得第16頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月方法二：將，代入

而

所以

第17頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月若符合以下三條之一：①f(z)在z0處無(wú)定義；②f(z)在z0處不可導(dǎo)；③f(z)在z0處不解析，則z0是f(z)的奇點(diǎn)。解析函數(shù)的實(shí)部和虛部的二階導(dǎo)數(shù)一定存在并且連續(xù)。（以后證明）定義

定理即滿足u，v二維拉普拉斯方程u，v都是調(diào)和函數(shù)。

第18頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.3初等函數(shù)①冪函數(shù)

當(dāng)時(shí)，在復(fù)平面C上解析，為奇點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，在上（包括∞點(diǎn)）處處解析。②指數(shù)函數(shù)可知在復(fù)平面C上解析，為奇點(diǎn)。周期為第19頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月③三角函數(shù)

復(fù)指數(shù)函數(shù)，④雙曲函數(shù)與三角函數(shù)是互化的。周期：

導(dǎo)數(shù)公式：

由于與在復(fù)平面C上解析，故在復(fù)平面C上解析，周期為，?？梢源笥?。實(shí)三角函數(shù)的各種恒等式對(duì)復(fù)三角函數(shù)仍然成立。第20頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題求證：證明第21頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月⑤對(duì)數(shù)函數(shù)（指數(shù)函數(shù)的反函數(shù)）第22頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2.4多值函數(shù)根式函數(shù)

令，w2+a是的反函數(shù)，故時(shí)，

對(duì)于z存在兩個(gè)w與之對(duì)應(yīng)函數(shù)的多值性來(lái)源于輻角的多值性。第23頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月也就是說(shuō)，對(duì)于自變量z的每一個(gè)值，若有兩個(gè)或兩個(gè)以上的函數(shù)值w與之對(duì)應(yīng)，則稱(chēng)w=f(z)為z的多值函數(shù)。在復(fù)平面上，若z繞某點(diǎn)z0一周回到原處時(shí)，對(duì)應(yīng)的多值函數(shù)值不還原，則稱(chēng)z0

為該多值函數(shù)的支點(diǎn)。若z繞z0轉(zhuǎn)n周后對(duì)應(yīng)的函數(shù)值還原，就稱(chēng)z0為該多值函數(shù)的n－1階支點(diǎn)，支點(diǎn)必為奇點(diǎn)。定義

對(duì)于多值函數(shù)w=f(z)，若存在z=z0，使在z0

的鄰域內(nèi)當(dāng)z的輻角改變2p時(shí)，w的值并不還原，則z0

為w的支點(diǎn)。支點(diǎn)思考：是和的支點(diǎn)嗎？有什么不同？第24頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是和的支點(diǎn)。qrzxy

z0zplane第25頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月不同之處在于：是的一階支點(diǎn)，當(dāng)繞一周時(shí)（），，與之對(duì)應(yīng)，當(dāng)z繞由時(shí)，又恢復(fù)到。q/2+pw2q/2w1uv

wspace第26頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是的二階支點(diǎn)，當(dāng)繞一周時(shí)（），，，與之對(duì)應(yīng)，當(dāng)z繞由時(shí)，又恢復(fù)到。

第27頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月類(lèi)似地，是的n－1階支點(diǎn)。是的

n－1階支點(diǎn)。第28頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題解若，規(guī)定，求w(2)，w(i)

，w(0)

，w(-i)

。第29頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月第30頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月實(shí)質(zhì)=限制z的變化方式限制多值函數(shù)的自變量的取值范圍后，多值函數(shù)被劃分為若干個(gè)單值函數(shù)，其中的每一個(gè)單值函數(shù)稱(chēng)為多值函數(shù)的單值分支。規(guī)定輻角的變化范圍

多值函數(shù)單值化定義

定義

多值函數(shù)=單值分支1+單值分支2+……+單值分支n，n=∞單值分支連接多值函數(shù)的兩支點(diǎn)割開(kāi)平面的線稱(chēng)為割線。割線第31頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月是支點(diǎn)為a和∞的二值函數(shù)。其單值分支Ⅰ(的割線上岸)和單值分支Ⅱ(的割線上岸)如圖所示。argw=puvo

wspace第32頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月輻角變化范圍的規(guī)定不唯一，如：和或和

割線的做法多種多樣，只要連接分支點(diǎn)，并適當(dāng)規(guī)定割線一側(cè)相關(guān)宗量的輻角值。多值函數(shù)單值化：優(yōu)點(diǎn)——等份于單值函數(shù)，可以討論解析性。缺點(diǎn)——支點(diǎn)為奇點(diǎn)，為各個(gè)單值分支所共有，支點(diǎn)附近的鄰域分屬多個(gè)單值分支，不能討論復(fù)雜問(wèn)題。解決辦法：規(guī)定w在某一點(diǎn)z0的值，明確z的連續(xù)變化路線。

第33頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題解1）z沿C1連續(xù)變化時(shí)，

，規(guī)定，討論z沿C1或C2連續(xù)變化到原點(diǎn)時(shí)，函數(shù)w的值。C1、C2為以z=1為圓心，1為半徑的上半圓周和下半圓周。

第34頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月2）z沿C2連續(xù)變化時(shí)，

理解：

z的路線不受限制，可以從一個(gè)單值分支到另一個(gè)單值分支。相當(dāng)于兩個(gè)z平面相粘接，第一個(gè)面的割線下岸（）和第二個(gè)面的割線上岸（）相連，同時(shí)第一個(gè)面的割線上岸（）和第二個(gè)割線的下岸（）相連。構(gòu)成二葉黎曼面。黎曼面定義

使多值函數(shù)劃分為單值函數(shù)的若干葉割破的互相粘合的復(fù)平面。

第35頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

例題解試討論函數(shù)的多值性。

①z

=1

的情況在z

=1的鄰域內(nèi)取，其中則

∵

∴

第36頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月

虛實(shí)合并后，

當(dāng)即z1繞z=1一周時(shí)，當(dāng)即z1繞z

=1兩周時(shí)，w回復(fù)到輻角為j1時(shí)的值?？梢?jiàn)，z=1是的一階支點(diǎn)。類(lèi)似z=1的討論，可知z=-1也是一階支點(diǎn)。

②

z

=-1

的情況第37頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月則當(dāng)時(shí)，函數(shù)值不變，

可知?jiǎng)t

值與輻角無(wú)關(guān)時(shí)，函數(shù)值不變，

所以③

z

=0

的情況在z

=0的鄰域內(nèi)取，其中z=0不是的支點(diǎn)。

④

z

=∞

的情況在z

=0的鄰域內(nèi)取，其中z=∞不是的支點(diǎn)。

第38頁(yè)，課件共43頁(yè)，創(chuàng)作于2023年2月綜上所述，有兩個(gè)一階支點(diǎn)，其黎曼面如下：割線