第6章最優(yōu)變現(xiàn)策略

6.1基于的最優(yōu)變現(xiàn)策略：數(shù)值求解基于的最優(yōu)策略為使得式(56)最小的交易策略，即：(1)

顯然，式(1)為一個(gè)動(dòng)態(tài)最優(yōu)問(wèn)題，尋求函數(shù)使得取極小值，相應(yīng)的邊界條件為，。

1動(dòng)態(tài)最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題在常用的最優(yōu)化計(jì)算方法中，通?？梢杂邢薏罘址ā⒂邢拊ǖ确椒▽?dòng)態(tài)最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成其他易于求解的優(yōu)化問(wèn)題（葉慶凱

王肇明,1986）.本文將利用有限差分法，將動(dòng)態(tài)最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題。

假定最優(yōu)策略可以由它在I+1個(gè)分點(diǎn)()上的值來(lái)確定，故可以在區(qū)間上由來(lái)近似。定義，則可以利用來(lái)近似。

由此，式(56)可化為：(2)由于給定邊界條件，和是已知的，式(2)所代表的指標(biāo)泛函是I－1個(gè)參數(shù)的函數(shù)。這樣，動(dòng)態(tài)最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)換成參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題(2)。

2參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成非線性方程組求解問(wèn)題對(duì)于式(2)所表示的參數(shù)優(yōu)化問(wèn)題同樣可以利用多種方法進(jìn)行求解，這里將首先將參數(shù)最優(yōu)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成非線性方程組求解問(wèn)題，而后利用求解非線性方程組的Newton-Raphson方法進(jìn)行求解.

令下面為書(shū)寫(xiě)簡(jiǎn)便，引入向量符號(hào)：

根據(jù)多元函數(shù)極值存在的必要條件，尋求可微函數(shù)的極值問(wèn)題，可以轉(zhuǎn)化為求解非線性方程組(3)

不等式線性約束為：

3非線性方程組求解的N-R方法

(1)基本的N-R方法設(shè)是第K+1次迭代的起始點(diǎn)，而第K+1次迭代所取的改變量設(shè)為，根據(jù)不等式線性約束，必須滿足

令當(dāng)改變量的大小很小時(shí)，利用泰勒展開(kāi)式可以把表示成：(4)

其中為改變量的第個(gè)j分量。略去高階小量，并引入Hessian陣H，其元素為

利用H的對(duì)稱性，式(4)可簡(jiǎn)化為

(5)其中(6)

為函數(shù)的梯度向量。

假定為函數(shù)的極值點(diǎn)，那么它也是的根。由式(5)得到：(7)

如果H可逆，可以解出方程(7)：

(8)即(9)

可以驗(yàn)證具有2階連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，并且相應(yīng)的Hessian陣

H

可逆。需要指出的是，通過(guò)解方程組(3)來(lái)替代求極值問(wèn)題，求得的只是駐點(diǎn)。不過(guò)，當(dāng)H為正定矩陣時(shí)，可以保證該駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)。

(2)改進(jìn)的N－R方法在基本的N－R方法中，要求Hessian陣是正定的，要求必須選取使得H正定的初始點(diǎn)，這為初始點(diǎn)的選取帶來(lái)較大的限制。

下面將考慮放寬Hessian陣正定要求：通過(guò)適當(dāng)改變基本Newton－Raphson算法中的步長(zhǎng)，同時(shí)保留它所確定的方向，即將迭代公式(9)改為(10)

其中由單維搜索決定。這樣可以保證，從而提高了算法的穩(wěn)定性，防止迭代趨向極大值，因而不再要求Hessian陣正定了。

4基于最優(yōu)變現(xiàn)策略的數(shù)值求解考慮投資者在2001年1月8日持有深發(fā)展1千萬(wàn)股，其中4百萬(wàn)股是準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的頭寸，即，一旦發(fā)生外生沖擊，它不得不對(duì)股票進(jìn)行變現(xiàn)時(shí)，在持有期末它會(huì)保留4百萬(wàn)股的頭寸，從而有初始頭寸X和目標(biāo)頭寸Y：

下面將利用改進(jìn)的N-R算法求解可以使得95%置信水平下、持有期為5個(gè)交易日的最大可能損失，即，最小的交易策略。

利用2000年10月9日~2000年12月31日深發(fā)展的分時(shí)交易數(shù)據(jù)，計(jì)算得到永久沖擊系數(shù)、瞬時(shí)沖擊系數(shù)、日收益波動(dòng)率為，調(diào)整后的日波動(dòng)率；置信水平為。利用MATLAB編程，并在程序中設(shè)定最大迭代次數(shù)M=600，迭代精度為，最終得到的交易策略如圖5?1所示：

圖6?1基于的最優(yōu)變現(xiàn)策略(數(shù)值解法)Figure6?1OptimalstrategybasedonLrVaR(Numericalmethod)

投資者采用該交易策略，得到的為：從圖6?1可以看出基于最優(yōu)變現(xiàn)策略的大致形狀，不過(guò)，最優(yōu)策略究竟具有何種表達(dá)式？單純的數(shù)值解法無(wú)法給出確切的答案。為此，第4節(jié)將利用變分法求出該最優(yōu)策略的解析形式，以確定該最優(yōu)策略的具體形狀。6.2基于的最優(yōu)變現(xiàn)策略：解析求解

基于最優(yōu)策略求解實(shí)際上是求解最優(yōu)軌跡，滿足： （11）首先，不加證明的給出引理6.1，該引理的證明很容易在有關(guān)變分法的教科書(shū)中找到）。

1最優(yōu)策略求解的準(zhǔn)備：有關(guān)引理、命題的證明

引理6.1：如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，又

對(duì)任何具有如下性質(zhì)的函數(shù)成立：對(duì)任何具有如下性質(zhì)的函數(shù)成立：1）在[a,b]上有n階連續(xù)導(dǎo)數(shù)（n為任何給定的非負(fù)整數(shù)）；2）；3）（為任意給定的正數(shù)）。則，函數(shù)在[a,b]上恒為零。

令

則式(11)所定義的最優(yōu)策略也將使得泛函取得最小值：(12)利用引理6.1，我們有命題6.1，得到滿足的微分方程。命題6.1：式(12)所定義的泛函在某條確定的曲線上取極值，且在(0,T)上有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，那么函數(shù)滿足微分方程(13)2最優(yōu)策略解析形式的推導(dǎo)

這樣，通過(guò)命題6.1，求解最優(yōu)軌跡的問(wèn)題(1)轉(zhuǎn)化為求解2階微分方程：(14)邊界條件為，其中2階微分方程(14)的通解形式為：利用邊界條件，可得即：

(15)將式(15)代入式(13)，并化簡(jiǎn)得到：

(16)至此，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解超越方程(16)，利用數(shù)值解法可以得到滿足方程(16)的解，最后得到極值曲線：(17)式(17)表明，基于的最優(yōu)變現(xiàn)策略為時(shí)間的雙曲正弦和雙曲余弦函數(shù)的線性組合。該最優(yōu)策略如圖6?2所示。

圖6?2基于的最優(yōu)變現(xiàn)策略（解析解法）Figure6?2OptimalstrategybasedonLrVaR(Analyticalmethod)3基于LrVaR最優(yōu)策略與其他策略的比較

為從直觀上說(shuō)明，這里所求得基于最優(yōu)變現(xiàn)策略的是所有交易策略的最小值，下面以線性、折線和下凸二次函數(shù)等三種策略作為例子，分別求出它們的，并與已經(jīng)求得的基于的最優(yōu)策略的做比較，這三種策略的表達(dá)式如下：

圖6?3給出了三種策略的圖示。

圖6?3其他交易策略圖示（線性策略、折線策略、下凸二次函數(shù)策略）Figure6?3Illustrationofsometradingstrategies(Linearstrategy,foldedlinestrategy,convexquadraticstrategy)注：實(shí)線為線性策略，破折線為折線策略，虛線為下凸二次函數(shù)策略6.3基于均值方差效用的最優(yōu)策略1問(wèn)題的提出

假定所考慮的投資者在初始零時(shí)刻持有一種股票的頭寸為X，其中他準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的頭寸為Y，一旦發(fā)生外部沖擊，他必須在T個(gè)交易日內(nèi)變現(xiàn)股票以獲得現(xiàn)金，而且在變現(xiàn)期末他仍將持有Y頭寸。

我們已經(jīng)知道，投資者的執(zhí)行成本是與交易策略有關(guān)的隨機(jī)變量，第5章第1節(jié)給出了當(dāng)組合中只有一種資產(chǎn)、證券價(jià)格服從算術(shù)布朗運(yùn)動(dòng)時(shí)，執(zhí)行成本的期望和方差的表達(dá)式分別為：

(18)(19)顯然，E[EC]和V[EC]為交易策略x(t)的泛函。

對(duì)于具有均值方差效用的投資者而言，其損失效用泛函為：

(20)其中，為投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)：

在下文中，我們只將風(fēng)險(xiǎn)厭惡型投資者作為研究對(duì)象，即只考慮的情況。

該投資者的決策目標(biāo)是使得損失效用泛函最小化，則投資者變現(xiàn)的最優(yōu)策略滿足：

(21)2基于均值方差效用最優(yōu)交易策略的求解

令

則使得取得最小值，等價(jià)于使得指標(biāo)泛函取得最小值。

令

為使取得最小值，應(yīng)滿足如下形式的歐拉方程：(23)(22)由于，式(23)可化為：(24)將式(22)代入式(24)，并化簡(jiǎn)得到:(25)

當(dāng)時(shí)，利用邊界條件，可得方程(25)的通解為：(26)當(dāng)時(shí)，方程(25)為二階微分方程，利用邊界條件，可得通解為：(27)其中容易驗(yàn)證，當(dāng)時(shí)，

與時(shí)的通解相同。即，當(dāng)時(shí)，可以使得投資者損失效用泛函最小的最優(yōu)策略為：(28) 式(28)表明，最優(yōu)策略實(shí)際上是由所確定的，故將稱為“形狀參數(shù)”。3數(shù)值算例與圖示本部分將利用實(shí)際市場(chǎng)的數(shù)據(jù)，給出投資者最優(yōu)策略的實(shí)例和圖示。考慮某投資者在2001年1月8日持有1千萬(wàn)股深發(fā)展(000001)，他準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的頭寸為4百萬(wàn)股，一旦發(fā)生外部沖擊，他必須在5個(gè)交易日內(nèi)變現(xiàn)股票，而考慮到他準(zhǔn)備長(zhǎng)期持有的頭寸，則變現(xiàn)結(jié)束時(shí)他仍將持有4百萬(wàn)頭寸，首先假定變現(xiàn)期為5個(gè)交易日則在零時(shí)刻和T=5時(shí)刻：利用2000年10月9日～2000年12月31日的分時(shí)數(shù)據(jù)得到永久沖擊系數(shù)、瞬時(shí)沖擊系數(shù)及調(diào)整后的日波動(dòng)率：假定投資者的風(fēng)險(xiǎn)厭惡系數(shù)為，則形狀參數(shù)為：

(1)不同形狀參數(shù)下最優(yōu)策略的比較

圖6-4給出了不同形狀參數(shù)時(shí)的最優(yōu)策略。

注：圖中實(shí)線、破折線、虛線分別為、、，點(diǎn)劃線表示的最優(yōu)交易策略，即線性策略圖6-4形狀參數(shù)對(duì)最優(yōu)交易策略的影響

Figure6?4Effectofscaleparameteronoptimaltradingstrategy圖6?4顯示，當(dāng)形狀參數(shù)較大時(shí)，投資者會(huì)在變現(xiàn)初期迅速變現(xiàn)，甚至在一段時(shí)期內(nèi)只持有低于目標(biāo)頭寸的股票，以降低所承受的風(fēng)險(xiǎn)，而后在臨近變現(xiàn)期末轉(zhuǎn)而買(mǎi)入以彌補(bǔ)與目標(biāo)頭寸的差額。

(2)不完全變現(xiàn)與等價(jià)的完全變現(xiàn)時(shí)最優(yōu)策略比較

Almgren&Chriss(2000)

在研究完全變現(xiàn)的最優(yōu)策略時(shí)提出可以將不完全變現(xiàn)轉(zhuǎn)化為等價(jià)的完全變現(xiàn)問(wèn)題。例如，初始頭寸為X、目標(biāo)頭寸為Y的不完全變現(xiàn)問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為等價(jià)的初始頭寸為X-Y的完全變現(xiàn)問(wèn)題。本文認(rèn)為兩個(gè)問(wèn)題之間存在較大的差異。圖6?5比較了形狀參數(shù)時(shí)不完全變現(xiàn)和等價(jià)完全變現(xiàn)的最優(yōu)策略。圖6?5不完全變現(xiàn)和等價(jià)完全變現(xiàn)的最優(yōu)策略Figure6?5Optimaltradingstrategyofincompleteliquidationandequivalentcompleteliquidation.注：1.圖中實(shí)線為不完全變現(xiàn)時(shí)的最優(yōu)策略，虛線為等價(jià)完全變現(xiàn)的最優(yōu)策略2.在等價(jià)的完全變現(xiàn)中，投資者的頭寸始終高于目標(biāo)頭寸，直至變現(xiàn)期末達(dá)到目標(biāo)頭寸；而在不完全變現(xiàn)中，投資者在變現(xiàn)初期迅速將頭寸降至目標(biāo)頭寸以下，在臨近變現(xiàn)期末時(shí)再行買(mǎi)入以補(bǔ)足與目標(biāo)頭寸的差額。

造成兩種情況下最優(yōu)策略差別的主要原因在于等價(jià)的完全變現(xiàn)中不考慮目標(biāo)頭寸那部分股票的波動(dòng)性對(duì)執(zhí)行成本方差的影響，而不完全變現(xiàn)時(shí)將這一因素考慮在內(nèi)。這樣，在不完全變現(xiàn)時(shí)，投資者有可能將頭寸持有量降至目標(biāo)頭寸以下，以便降低風(fēng)險(xiǎn)，實(shí)現(xiàn)預(yù)期執(zhí)行成本和所承受的執(zhí)行成本不確定性之間的平衡，使得損失效用最小。

1、

怎樣預(yù)測(cè)和度量波動(dòng)性、瞬時(shí)沖擊、永久沖擊、短期收益和短期價(jià)格中樞。2、

怎樣估計(jì)靜態(tài)風(fēng)險(xiǎn)、吸籌風(fēng)險(xiǎn)、拉高風(fēng)險(xiǎn)、變現(xiàn)風(fēng)險(xiǎn)和買(mǎi)人賣出交替風(fēng)險(xiǎn)。3、

買(mǎi)入沖擊和賣出沖擊是否有一定關(guān)系。4、

沖擊系數(shù)與波動(dòng)性是否有一定關(guān)系。5、

多頭頭寸的VaR與空頭頭寸的VaR有什么差異。6、

怎樣分解證券組合的風(fēng)險(xiǎn)7、

怎樣度量證券組合中資產(chǎn)的波動(dòng)性相關(guān)、沖擊性相關(guān)情況下的風(fēng)險(xiǎn)。8、

是否能找到更好的運(yùn)動(dòng)方式描述股價(jià)。[1]

AcharyaVV,PedersenLH.Assetpricingwithliuquidityrisk,LondonBusinessSchool,workingpaper,2002.[2]

CetinU,JarrowRA,ProtterP.Liquidityriskandarbitragepricingtheory,CornellUniversity,workingpaper,2003.[3]

BertsimasD，LoAW