細(xì)說“否命題”與“命題的否定”江蘇省姜堰中學(xué)張圣官（225500）在學(xué)習(xí)《常用邏輯用語》的過程中，不少同學(xué)常常把“否命題”與“命題的否定”混為一談。其實(shí)這兩個概念是在不同的層面上研究問題時所出現(xiàn)的。“否命題”出現(xiàn)在“命題及其關(guān)系”中，指的是當(dāng)原有命題（即原命題）為“若P則q”形式時，同時否定它的條件和結(jié)論得到“若-P則-q（讀作若非p則非q）”，這稱為原命題的否命題；而“命題的否定”是指將命題p（通常是較簡單的命題）直接進(jìn)行否定得到-P，也即是直接得到命題的反面。要寫出否命題，首先要將原命題改寫成“若P則q”形式例1.已知命題“全等三角形一定相似”，試寫出它的否命題，并判斷這兩個命題的真假。解:將原命題改寫為：若兩個三角形全等，則它們一定相似。其否命題即為：若兩個三角形不全等，則它們一定不相似。原命題為真，否命題為假。點(diǎn)評：將原命題首先改寫成“若P則q”形式，是正確寫出否命題的關(guān)鍵。當(dāng)然還要注意這里的“一定”是語氣助詞而不是謂語動詞，不能把否命題寫成：若兩個三角形不全等，則它們不一定相似。這樣寫就錯了！違背了常用邏輯的基本規(guī)則。事實(shí)上，在處理命題中含有“一定”、“必然”等詞語的問題時有一個辦法是切實(shí)可行的，這就是將它們?nèi)サ簦驗(yàn)樗鼈儍H僅是加強(qiáng)語氣而已。還有一點(diǎn)需要強(qiáng)調(diào)的是，原命題為真（假）時，否命題的真假性并不確定，即否命題可能為真也可能為假，這要根據(jù)具體的問題結(jié)論來確定。在四種命題關(guān)系中，原命題與逆否命題真假性相同，逆命題與否命題真假性相同。例2.寫出命題“若a,b,cgR,ac<0，則方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。”的否命題。分析：本題中對“P”的理解很關(guān)鍵，“a,b,cgR”必須當(dāng)做前提條件才行，而不能對它進(jìn)行否定。否命題應(yīng)該寫成“若a,b,cgR,ac>0，則方程ax2+bx+c=0沒有兩個不相等的實(shí)數(shù)根。”如果命題中含有邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”、“非”時，那么在寫“-p”和“-q”時要注意利用等價命題的原理和規(guī)律。例3.寫出命題“若ab=0，則方程a=?；騜=0”的否命題，并判斷兩個命題的真假。分析：原命題是真命題，逆命題是真命題，因此寫出的否命題必須也為真命題才行。否命題應(yīng)該為“若ab主0，則方程a豐。且b豐0”，假如寫成“若ab主0，則方程a豐?；騜豐0”的話就錯了。要寫出命題的否定，關(guān)鍵先要找到原有命題中省略的量詞命題的否定是對命題p進(jìn)行直接否定，通常針對的命題p是較為簡單的命題。例如要對命題p：3>2進(jìn)行否定，當(dāng)然-p就是“3不大于2”，也即是“3<2”。再如，請寫出命題“實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)”的否定，答案是“實(shí)數(shù)的絕對值不是正數(shù)”還是“不是實(shí)數(shù)的絕對值不是正數(shù)”呢？第二個邏輯上發(fā)生了混亂，這可不是對命題進(jìn)行否定，是不對的；第一個從邏輯關(guān)系上來講是對的，但寫法不太規(guī)范。究竟該怎樣才好呢？較為科學(xué)的做法是先找到原有命題中省略的量詞“任意”或“存在”。具體到這道題而言，命題“實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)”是指“任意實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)”還是指“存在實(shí)數(shù)的絕對值是正數(shù)”？顯然指的是前者，這是一個全稱命題，即p:“任意實(shí)數(shù)的絕對值都是正數(shù)”，那么它的否定應(yīng)該是一個存在性命題，-p：“存在一個實(shí)數(shù)，它的絕對值不是正數(shù)”。寫命題P的否定形式，不能一概在關(guān)鍵詞前加“不”，而要搞清一個命題研究的對象是個體還是全體。如果研究的對象是個體，只須將“是”改成“不是，將“不是”改成“是”即可。如果命題研究的對象不是一個個體，就不能簡單地將“是”改成“不是;'將“不是”改成“是”，而要分清命題是全稱命題還是存在性命題（所謂全稱命題是指含有“所有”“全部”“任意”這一類全稱量訶的命題；所謂存在性命題是指含有“某些”“某個”“至少有一個”這一類存在性量詞的命題，全稱命題的否定形式是存在性命題，存在性命題的否定形式是全稱命題。因此，在表述一個命題的否定形式的時候，不僅“是”與“不是”要發(fā)生變化，有關(guān)命題的關(guān)鍵詞也應(yīng)發(fā)生相應(yīng)的變化，常見關(guān)鍵詞及其否定形式附表如下：關(guān)等大小至至至至任任PP鍵于于于是能都沒多少少多*意兩且或詞(=)(>)(<)是有有有有有的個QQ一一nn個個個個否不不不不至至一至至某-P-P定等大小不不都少少個多少某兩或且詞于于于是能是有有都有有個個-Q-Q（勿(W)(N)一兩沒n-1n+1個個有個個命題p與它的否定-p的真假性一定相反，即命題p為真，-p一定為假；命題p為假，-p一定為真。利用其中的邏輯關(guān)系，有時可以簡化解題過程。例4.已知命題“P:女GR,ax2-2ax-3>0”是假命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。分析：本題若直接求解則較為繁難，由于該命題是存在性命題，因此依據(jù)上述全稱命題與存在性命題的關(guān)系，將該命題的否定形式寫出，依據(jù)“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可推知其否定形式必為真命題，從而求出滿足題設(shè)要求實(shí)數(shù)a的取值范圍。解：因命題P:女gR,ax2-2ax-3>0的否定形式為：「P:VxgR,ax2-2ax-3<0恒成立，由“命題真，其否定假；命題假，其否定真”可知命題「P是真命題.事實(shí)上，當(dāng)a=0時，對任意的xgR，不等式-3<0恒成立；當(dāng)a豐0時，借助二次函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，很容易知道：不等式ax2-2ax-3<0恒成立的等價條件是aV0且其判別式A=4a2+12a<0，即—3<a<0；綜合以上兩種情形可知：「P為真命題時，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是-3<a<0，即命題P是假命題時，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍是[-3,0].點(diǎn)評：這里巧妙地借助全稱命題與存在性命題的關(guān)系及真假的判定，將較為困難的問題等價轉(zhuǎn)化為“在一個不等式ax2-2ax-3<0恒成立的條件下，求實(shí)數(shù)a的取值范圍”的問題，使問題得到了巧妙地化歸與轉(zhuǎn)化，達(dá)到了化難為易，避繁就簡的目的，體現(xiàn)了等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想的應(yīng)用價值。當(dāng)“否命題”與“命題的否定”碰面時，關(guān)鍵是各行其道“否命題”與“命題的否定”這兩個概念是在不同的層面上研究問題時所出現(xiàn)的，它們一般是不會碰面的。但是也需要注意一些特殊的情況下，既需要寫出一個命題的否命題也需要對它進(jìn)行否定。這時怎么辦好呢？一言以蔽之，各行其道就行了。例5.已知命題“對頂角相等”，試寫出它的否命題以及該命題的否定，并分別判斷它們的真假性。分析：寫否命題前，先將原命題改為“若p則q”的形式。命題“對頂角相等”怎么表述呢？“若兩個角是對頂角，則它們相等”，這樣否命題寫成“若兩個角不是對頂角，則它們不相等”就行了；要對它進(jìn)行否定之前，先看看原命題可以加上什么量詞，是任意還是存在?命題“對頂角相等”怎么表述呢？是全稱命題，改為“任意兩個角是對頂角，它們相等”，這樣它的否定是存在性命題，寫成“存在兩個角是對頂角，它們不相等”就行了。在該題中，否命題以及命題的否定均為假命題。例6.已知命題“若x>1則X2>1”，試寫出它的否命題以及該命題的否定，并分別判斷它們的真假性。分析：否命題為“若XV1則X2<1”，是假命題；要對它進(jìn)行否定之前，先將原命題變?yōu)椤癡x>1,X2>1”，這樣它的否定即為“玉>1,使X2V1”，該命題是假命題?！九涮拙毩?xí)題】填空題：命題“若x2-x-2=0，則x=-1或x=2”的否命題是 ，它是 命題.有下列四個命題：(1)“若b=3,則b=9”的逆命題；(2)“全等三角形的面積相等”的否命題；(3)“若c<1，則x2+2x+c=0有實(shí)根”；(4)“若AuB=A，則B匚A”的逆否命題.其中真命題的個數(shù)是.命題p:“存在實(shí)數(shù)m，使方程x2+mx+1=0有實(shí)數(shù)根”，則“非p”形式的命題為.已知命題p：“xER+，x〉1”，命題p的否定為命題g，則q是“ ”；q的X真假為(填“真”或“假”).已知p(x)：x2+2x-m>0，如果p(1)是假命題，p(2)是真命題，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是解答題：已知/(x)在(一8,+8)遞增.(1)求證：若。+b>0，則/(a)+/(b)>/(一。)+/(一b)；(2)寫出(1)的否命題，并判斷真假.已知r(x):BxeR,sinx+cosx>m，s(x):VxgR,x2+mx+1>0，若r(x)為假且s(x)為真，求m的范圍.命題p：“對任意實(shí)數(shù)x，有x—a>0或x—bW0”，其中a、b是常數(shù).寫出命題p的否定；當(dāng)a、b滿足什么條件時，命題p的否定為真？解答：否命題是“若x2-x-2涅0,貝則x否-1且x/2”，為真命題(3),(4)對任意實(shí)數(shù)m,方程x2+mx+1=0無實(shí)數(shù)根xER七xW，假3Wmv8(1)證明：因?yàn)?(尤)在(—8,+8)遞增，且。+力>0,所以，a>-b5.b>-a,故 (_^)-@/(^)>f(_^),從而f(。)+f(。)>/(一。)+f(一。).⑵否命題為“若a+b<0,貝!jf(G)+f(Z?)Vf(—o)+《(—/?)”.它為真命題.解："〃(/): 6R,sinx+cosx>m”為假，等價