教堂頂部曲面面積的計算

某阿拉伯國家有一座伊斯蘭教堂，它的大廳拱形圓頂部需重新貼金箔裝飾.據(jù)檔案，大廳的頂部形狀為半球面，其半徑為30m.考慮到可能的損耗和其他技術(shù)因素，實際用量會比教堂頂部面積多1.5％，據(jù)此財政部門撥出了可制造5750m2有規(guī)定厚度金箔的黃金.建筑商哈桑計算了一下，覺得黃金會有盈余，于是他以較低的承包價得到了這項工程.但在施工前的測量中，工程師發(fā)現(xiàn)教堂頂部實際上是半橢球面，其半立軸恰是30m，而半長軸和半短軸分別是30.6m和29.6m.這一來哈桑犯了愁，他擔(dān)心黃金是否還有盈余？甚至是否可能短缺？最后的結(jié)果究竟如何？

教堂頂部曲面面積的計算某阿拉伯國家有一座伊斯蘭教堂1應(yīng)用背景

計算曲面面積是常見的重積分在幾何中應(yīng)用，其近似方法有廣泛的實際用途。

應(yīng)用背景2相關(guān)知識點

1.用參數(shù)方程表示的曲面面積的計算

2.二元函數(shù)泰勒公式

3.定積分的近似計算（矩形法）

相關(guān)知識點3解題方法

問題歸結(jié)為一個二重積分的計算，但無法求出初等函數(shù)形式的原函數(shù)；通過引進小參數(shù)后將被積函數(shù)Taylor展開取得近似解析解再進行積分；另一種方法是將積分離散化作數(shù)值積分來求結(jié)果

。解題方法4解題過程第一步：建立模型取橢球面中心為坐標(biāo)原點建立直角坐標(biāo)系，則教堂頂部半橢球面的方程可寫為，

其中，而其表面積為這里積分區(qū)域為:

解題過程第一步：建立模型其中5解題過程第二步：化為極坐標(biāo)通過簡單的計算易得引進變量代換得到

（*）解題過程第二步：化為極坐標(biāo)引進變量代換得到6解題過程第三步：求積分若記，那么上面累次積分中關(guān)于的積分可以求出為（這里的情況要對表達式求極限）.注意若將的表達式代入以上結(jié)果得到的是一個極為復(fù)雜的積分式.事實上,這是一個無法最終以初等函數(shù)形式來表達的積分，因此我們必須使用近似方法來處理它.考慮到這一積分形式相當(dāng)復(fù)雜，我們寧可直接對原來的積分式（*）來進行處理.解題過程第三步：求積分（這里的情況要對表達式求極限7解題過程第四步：近似方法由于十分接近，可以引進小參數(shù)，那么面積表達式(*)成為解題過程第四步：近似方法，那么面積表達式(*)成為8解題過程對被積函數(shù)中關(guān)于和展開（可用二元函數(shù)的Taylor公式展開或者將函數(shù)中的看作一個整體來借助一元函數(shù)的Taylor公式進行展開），從而可得解題過程對被積函數(shù)中關(guān)于和展開（可用二元函數(shù)的Tay9解題過程第五步：計算結(jié)果注意由于都是很小的數(shù).可以用上述展開式的前三項近似代入原積分式，從而就能夠逐項積分，求得：解題過程第五步：計算結(jié)果都是很小的數(shù).可以用上述展開式的前三10解題過程這樣求得教堂頂部表面積為（m）.加上耗損等因素，使用金箔.故哈桑在金箔上將得不敷出，從而招受損失.

以上將關(guān)于小參數(shù)展開取得近似解析式的方法稱為攝動法.

解題過程這樣求得教堂頂部表面積為（m）.加上耗損等因素，11解題過程第六步：數(shù)值積分法對于二重積分，可如同定積分那樣，將區(qū)域劃分為小塊，然后在每個小區(qū)域上對被積函數(shù)作近似求積，再把所得的值求和.考慮矩形區(qū)域上的積分將劃分作個相等的小矩形,其中分別是和方向的分點:，而,,那么小矩形上的積分可寫為解題過程第六步：數(shù)值積分法將劃分作個相等的小矩形12解題過程記，則

若對這兩個單積分都用梯形法，就有以及這樣便可求得在D上的積分I的近似值解題過程記，則若對這兩13數(shù)學(xué)實驗使用Mathematica實現(xiàn)上述數(shù)值積分計算：將區(qū)域分成m2個小矩形鍵入

Clear[m,n,k,h,a,b,s,R];a=30.6;b=29.6;R=30.;M={4,8,16,32,64};f[x_,t_]:=a*b*Sqrt[t^2+R^2(1-t^2)*(Cos[x]^2/a^2+Sin[x]^2/b^2)];Y[i_,j_]:=k*h/4(f[x[i],t[j]]+f[x[i-1],t[j]]+f[x[i],t[j-1]]+f[x[i-1],t[j-1]]);For[n=1,n<=Length[M],n++,m=M[[n]];k=2Pi/m;h=1./m;x[0]=0;t[0]=0;數(shù)學(xué)實驗使用Mathematica實現(xiàn)上述數(shù)值積分計算：將區(qū)14數(shù)學(xué)實驗For[i=1,i<=m,i++,x[i]=i*k; For[j=1,j<=m,j++,t[j]=j*h] ];s=Sum[Y[i,j],{i,1,m},{j,1,m}];Print[m,"",s]輸出結(jié)果（s表示面積）

m=4,s＝5679.78;m=8,s＝5679.86;m=16,s＝5679.82;m=32,s＝5679.82;m=64,s＝5679.81;數(shù)學(xué)