2021年新疆高考數(shù)學(xué)第三次診斷性試卷（文科）一、選擇題（每小題5分，共60分．）1．若集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，則A∩B＝（）A．{x|x≤3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a﹣i）（a＞0），則z對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．已知x∈R，則“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件4．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是（）A．直線AA1 B．直線A1B1 C．直線A1D1 D．直線B1C15．“二萬五千里長征”是1934年10月到1936年10月中國工農(nóng)紅軍進行的一次戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，是人類歷史上的偉大奇跡，向世界展示了中國工農(nóng)紅軍的堅強意志，某中學(xué)組織了“長征英雄事跡我來講”活動，已知該中學(xué)共有高中生2700名，其中高三年級抽取了14人，高二年級抽取了15人（）A．720 B．960 C．1020 D．16806．函數(shù)f（x）＝2x+lnx﹣1的零點所在的區(qū)間為（）A．（） B．（） C．（） D．（）7．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＝2，S9＝27，則S20＝（）A．95 B．105 C．115 D．1258．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（0，1）上單調(diào)遞減的是（）A．f（x）＝x+ B．f（x）＝ex+ C．f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x） D．f（x）＝sinx+9．明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷水位．其采用的主要工具是牽星板，其由12塊正方形模板組成（稱一指），木板的高度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的高約24厘米（稱十二指），將木板立起，一手拿著木板，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，上邊緣對著所觀測的星辰依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測中，則sin2α約為（）A． B． C． D．10．已知A，B，C為球O的球面上三個點，球心O到平面ABC的距離為，∠BAC＝90°，則球O的體積為（）A． B．24π C． D．48π11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線（a＞0，b＞0）交于M，N兩點，且滿足|MN|＝2|OF|，若△MNF的面積為a2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．312．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an+1+an＝2n，S2n＝682，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．已知向量＝（1，﹣2），＝（m，4），且（﹣）∥，則m＝．14．記x是[﹣3，3]上的隨機數(shù)，則滿足|x|≤1的概率為．15．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A為C上一點，F(xiàn)A為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于B，D兩點，F(xiàn)，B三點共線，且|AF|＝3．16．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）﹣（ω＞0）在區(qū)間[0，下述四個結(jié)論：①在區(qū)間（0，π）上存在x1，x2，滿足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有2個極大值點；③f（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞增；④ω的取值范圍是[]．其中所有正確結(jié)論的編號是．三、解答題：第17～21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，說明過程或演算步驟.17．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝8（1）求AC；（2）若△ABC為銳角三角形，在BC的延長線上取一點D，使得∠BAD＝90°18．《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是促進學(xué)生體質(zhì)健康發(fā)展、激勵學(xué)生積極進行身體鍛煉的教育手段．所選用的指標(biāo)可以反映與身體健康關(guān)系密切的身體成分、心血管系統(tǒng)功能、肌肉的力量和耐力、以及關(guān)節(jié)和肌肉的柔韌性等要素的基本狀況．《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的實施使學(xué)生和社會能夠?qū)τ绊懮眢w健康的主要因素有一個更加明確的認(rèn)識和理解，引導(dǎo)人們?nèi)シe極追求身體的健康狀態(tài)，實現(xiàn)學(xué)校體育的目標(biāo)．身高體重指數(shù)（BMI）（BMI），在某年級全體學(xué)生中隨機抽取的100名學(xué)生進行了體質(zhì)健康檢測，其中將測得的學(xué)生身高（單位：c），165），[165，…，[180，185]共五組后組號分組頻數(shù)頻率第1組[160，165）15第2組[165，170）①第3組[170，175）第4組175，180）20②第5組[180，185]10合計100（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；（2）為了向?qū)W校國旗班補充新生力量，學(xué)校決定在身高位于的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入下一項測試，最終從6位學(xué)生中隨機抽取2位進行全面測試19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AC的中點1與A1C1所成角的正切值為．（1）證明：AB1∥平面BC1D；（2）求B1到平面ABC1的距離．20．已知點A，B分別為橢圓＝1（a＞b＞0），過左焦點F（﹣2，0）的直線l與橢圓C交于P，當(dāng)直線l與x軸垂直時，|PQ|＝．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，求證：為定值．21．已知函數(shù)f（x）＝．（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；（2）求證：4f（x）＞lnx+3．選考題：共10分。請考生在第22，23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分。作答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目的題號涂黑.22．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（α為參數(shù)），又以坐標(biāo)原點O為極點，直線l的極坐標(biāo)方程為（ρ∈R）．（1）求曲線C的極坐標(biāo)方程和直線l的直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C交于M、N兩點，且|MN|≥，求a的取值范圍．選做題。23．設(shè)函數(shù)f（x）＝|x﹣1|+|2x+1|．（1）求f（x）的最小值；（2）若存在x∈R，使得f（x）+ax﹣1＜0有解參考答案一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若集合A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，則A∩B＝（）A．{x|x≤3} B．{x|1＜x≤3} C．{x|x＞1} D．{x|x≤1}解：∵A＝{x|x≤3}，B＝{x|x≤1}，∴A∩B＝{x|x≤3}，故選：D．2．在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝i（a﹣i）（a＞0），則z對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限解：∵z＝i（a﹣i）＝ai﹣i2＝1+ai，∴z對應(yīng)的點的坐標(biāo)為（2，a），又a＞0，∴z對應(yīng)的點位于第一象限．故選：A．3．已知x∈R，則“x＞2”是“x2﹣3x+2＞0”成立的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解：由x2﹣3x+8＞0得x＞2或x＜﹣6，則“x＞2”是“x2﹣5x+2＞0”成立的充分不必要條件，故選：A．4．如圖，在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為BC、BB1的中點，則下列直線中與直線EF相交的是（）A．直線AA1 B．直線A1B1 C．直線A1D1 D．直線B1C1解：根據(jù)異面直線的概念可看出直線AA1，A1B4，A1D1都和直線EF為異面直線；B4C1和EF在同一平面內(nèi)，且這兩直線不平行；∴直線B1C5和直線EF相交，即選項D正確．故選：D．5．“二萬五千里長征”是1934年10月到1936年10月中國工農(nóng)紅軍進行的一次戰(zhàn)略轉(zhuǎn)移，是人類歷史上的偉大奇跡，向世界展示了中國工農(nóng)紅軍的堅強意志，某中學(xué)組織了“長征英雄事跡我來講”活動，已知該中學(xué)共有高中生2700名，其中高三年級抽取了14人，高二年級抽取了15人（）A．720 B．960 C．1020 D．1680解：設(shè)該校高一年級學(xué)生人數(shù)為x人，則＝，解得x＝960．所以該校高一年級學(xué)生人數(shù)為960人．故選：B．6．函數(shù)f（x）＝2x+lnx﹣1的零點所在的區(qū)間為（）A．（） B．（） C．（） D．（）解：f（x）＝2x+lnx﹣1是在（7，+∞）上的增函數(shù)．f（）＝﹣2＝，∵﹣6＜＝，∴f（﹣1﹣ln4＜0，又∵f（1）＝2+ln4﹣1＝1＞2，∴函數(shù)f（x）的零點所在區(qū)間是（．故選：B．7．記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，若a3＝2，S9＝27，則S20＝（）A．95 B．105 C．115 D．125解：∵Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，且a3＝2，S2＝27，∴?a7＝1，d＝，∴S20＝20a1+d＝115．故選：C．8．下列函數(shù)中既是奇函數(shù)，又在（0，1）上單調(diào)遞減的是（）A．f（x）＝x+ B．f（x）＝ex+ C．f（x）＝ln（1+x）﹣ln（1﹣x） D．f（x）＝sinx+解：A：f（﹣x）＝﹣x﹣＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，∵f′（x）＝4﹣，且當(dāng)x∈（0，，f′（x）＜0，1）時，∴f（x）在（0，）上單調(diào)遞減，1）上單調(diào)遞增．故A錯；B：f（﹣x）＝e﹣x+＝+ex＝f（x），∴f（x）為偶函數(shù)，故B錯；C：f（﹣x）＝In（1﹣x）﹣In（1+x）＝﹣f（x），∴f（x）為奇函數(shù)，∵f′（x）＝+＞0，∴f（x）在（0，3）上單調(diào)遞增，故C錯；D：f（﹣x）＝sin（﹣x）+＝﹣sinx﹣，∴f（x）為奇函數(shù)，∵f′（x）＝cosx﹣＝＝（sin2x﹣sin2x﹣cos2x）＝﹣＜0，∴f（x）在（0，3）上單調(diào)遞減，故D對．故選：D．9．明朝早期，鄭和七下西洋過程中，將中國古代天體測量方面所取得的成就創(chuàng)造性地應(yīng)用于航海，就是通過觀測不同季節(jié)、時辰的日月星辰在天空運行的位置和測量星辰在海面以上的高度來判斷水位．其采用的主要工具是牽星板，其由12塊正方形模板組成（稱一指），木板的高度從小到大依次成等差數(shù)列，最大的高約24厘米（稱十二指），將木板立起，一手拿著木板，眼睛到木板的距離大約為72厘米，使?fàn)啃前迮c海平面垂直，上邊緣對著所觀測的星辰依高低不同替換、調(diào)整木板，當(dāng)被測星辰落在木板上邊緣時所用的是幾指板，然后就可以推算出船在海中的地理緯度．如圖所示，若在一次觀測中，則sin2α約為（）A． B． C． D．解：由題意可得四指板高為8cm，則tanα＝＝，∵tanα＝，則cosα＝9sinα，∵sin2α+cos8α＝1，∴81cos2α+cos6α＝1，81sin2α+sin3α＝1，∴sinα＝，sin2α＝4sinαcosα＝2×9sin8α＝，故選：D．10．已知A，B，C為球O的球面上三個點，球心O到平面ABC的距離為，∠BAC＝90°，則球O的體積為（）A． B．24π C． D．48π解：A，B，C為球O的球面上三個點，△ABC圓心在BC中點上，∵∠OAB＝∠OAC＝60°，可得△OAC和△OAB是等邊三角形，其邊長為球的半徑R，∴r＝，根據(jù)球心O到平面ABC的距離為，那么球的半徑R＝，解得R＝，則球O的體積V＝．故選：C．11．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y＝kx（k≠0）與雙曲線（a＞0，b＞0）交于M，N兩點，且滿足|MN|＝2|OF|，若△MNF的面積為a2，則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．3解：如圖，由對稱性可知，∵|MN|＝2|OF|，∴|OM|＝|ON|＝|OF|，∴以MN為直徑的圓的方程為x2+y2＝c2，設(shè)|MF|＝m，|NF|＝n．△MNF的面積S△MNF＝m?n＝a2，且m2+n4＝|MN|2＝4c6，聯(lián)立，得，故（）2+（）2＝7c2，解得e＝（e＞4）．故選：A．12．設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，an+1+an＝2n，S2n＝682，則n的值為（）A．4 B．5 C．6 D．7解：S2n＝（a1+a5）+（a3+a4）+?+（a6n﹣1+a2n）＝81+28+?+22n﹣2＝＝，由S2n＝682，得＝682．故選：B．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分.13．已知向量＝（1，﹣2），＝（m，4），且（﹣）∥，則m＝﹣2．解：根據(jù)題意，向量，﹣2），，4），則﹣＝（3﹣m，若（﹣）∥，解可得m＝﹣2，故答案為：﹣2．14．記x是[﹣3，3]上的隨機數(shù)，則滿足|x|≤1的概率為．解：根據(jù)題意，|x|≤1即﹣1≤x≤2，則滿足|x|≤1的概率P＝＝，故答案為：．15．已知拋物線C：y2＝2px（p＞0）的焦點為F，A為C上一點，F(xiàn)A為半徑的圓交C的準(zhǔn)線于B，D兩點，F(xiàn)，B三點共線，且|AF|＝3﹣．解：拋物線C：y2＝2px（p＞7）的焦點為F（，0），因為A，F(xiàn)，B三點共線，所以AD⊥BD，由拋物線的定義可得|AD|＝|AF|＝|AB|，則∠ABD＝30°，所以F到準(zhǔn)線的距離為p＝|BF|sin30°＝，則拋物線的準(zhǔn)線方程為x＝﹣．故答案為：﹣．16．已知函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）﹣（ω＞0）在區(qū)間[0，下述四個結(jié)論：①在區(qū)間（0，π）上存在x1，x2，滿足f（x1）﹣f（x2）＝2；②f（x）在區(qū)間（0，π）上有且僅有2個極大值點；③f（x）在區(qū)間（0，）上單調(diào)遞增；④ω的取值范圍是[]．其中所有正確結(jié)論的編號是①③．解：令f（x）＝sin（ωx+）﹣，得函數(shù)sin（ωx+（ω＞0）令g（x）＝sin（ωx+）（ω＞8），作圖如下：∵函數(shù)f（x）＝sin（ωx+）﹣，π]上有且僅有6個零點，∴直線y＝與g（x）＝sin（ωx+，π]上有且僅有3個交點，∵x∈[0，π]，∴≤ωx+（ω＞7），當(dāng)x＝0時，g（0）＝sin＝，點A是兩者的第一個交點，B、第三個交點，∴≤ωπ+＜，故④錯誤；由+＝，×+＝，可知f（x）在區(qū)間（3，，故③正確；由圖可知，g（x）＝sin（ωx+，π]上的圖象一定經(jīng)過A、B，曲線未必經(jīng)過CD中間的最高點，∴①正確，②錯誤；綜上所述，①③正確，故答案為：①③．三、解答題：第17～21題每題12分，解答應(yīng)在答卷的相應(yīng)各題中寫出文字說明，說明過程或演算步驟.17．在△ABC中，∠A＝60°，AB＝8（1）求AC；（2）若△ABC為銳角三角形，在BC的延長線上取一點D，使得∠BAD＝90°解：（1）∵△ABC中，∠A＝60°，BC＝7，∴由余弦定理可得：78＝82+AC2﹣2×8×AC×cos60°，可得：AC4﹣8AC+15＝0，∴解得AC＝2，或3．（2）當(dāng)AC＝3時，AC3+BC2﹣AB2＜7，∠ACB為鈍角，當(dāng)CA＝5時，cos∠ACB＝＝＝，∴cos∠ACD＝﹣，sin∠ACD＝，在△ACD中，sin∠ADC＝sin（∠CAD+∠ACD）＝）+×＝，∵＝?AD＝，∴S△ACD＝?AC?AD?sin∠CAD＝×sin30°＝．18．《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》是促進學(xué)生體質(zhì)健康發(fā)展、激勵學(xué)生積極進行身體鍛煉的教育手段．所選用的指標(biāo)可以反映與身體健康關(guān)系密切的身體成分、心血管系統(tǒng)功能、肌肉的力量和耐力、以及關(guān)節(jié)和肌肉的柔韌性等要素的基本狀況．《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》的實施使學(xué)生和社會能夠?qū)τ绊懮眢w健康的主要因素有一個更加明確的認(rèn)識和理解，引導(dǎo)人們?nèi)シe極追求身體的健康狀態(tài)，實現(xiàn)學(xué)校體育的目標(biāo)．身高體重指數(shù)（BMI）（BMI），在某年級全體學(xué)生中隨機抽取的100名學(xué)生進行了體質(zhì)健康檢測，其中將測得的學(xué)生身高（單位：c），165），[165，…，[180，185]共五組后組號分組頻數(shù)頻率第1組[160，165）15第2組[165，170）①第3組[170，175）第4組175，180）20②第5組[180，185]10合計100（1）請先求出頻率分布表中①、②位置的相應(yīng)數(shù)據(jù)，再完成頻率分布直方圖（用陰影表示）；（2）為了向?qū)W校國旗班補充新生力量，學(xué)校決定在身高位于的第3、4、5組中用分層抽樣抽取6名學(xué)生進入下一項測試，最終從6位學(xué)生中隨機抽取2位進行全面測試解：（1）第3組的頻數(shù)為100×0.30＝30人，所以①處應(yīng)填的數(shù)為25；頻率分布直方圖如圖所示：（2）因為第7，4，5組共有60名同學(xué)，所以利用分層抽樣在60名選手中抽取7名同學(xué)進入下一項測試，每組抽取的人數(shù)分別為3人，1人，故最終從7位學(xué)生中隨機抽取2位進行全面測試，抽到的2位學(xué)生在同一組的概率為．19．如圖，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面ABC是邊長為2的等邊三角形，D是AC的中點1與A1C1所成角的正切值為．（1）證明：AB1∥平面BC1D；（2）求B1到平面ABC1的距離．【解答】（1）證明：設(shè)BC1∩B1C＝E，連結(jié)DE，由直棱柱的性質(zhì)可知，四邊形BCC7B1是矩形，則E為B1C的中點，因為D是AC的中點，所以DE∥AB8，又AB1?平面BC1D，DE?平面BC8D，所以AB1∥平面BC1D；（2）解：由異面直線AB8與A1C1所成角的正切值為，且AC∥A1C1，則有tan∠B5AC＝，連結(jié)B1D，在三棱柱ABC﹣A6B1C1中，AB7＝CB1，又D為AC的中點，所以B1D⊥AC，即tan∠B2AC＝，又AC＝6，則B1D＝，在Rt△BB1D中，BD＝4B＝，所以，，設(shè)點B1到平面ABC3的距離為h，由等體積法，即，則，解得，故B1到平面ABC1的距離為．20．已知點A，B分別為橢圓＝1（a＞b＞0），過左焦點F（﹣2，0）的直線l與橢圓C交于P，當(dāng)直線l與x軸垂直時，|PQ|＝．（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線AP，BQ的斜率分別為k1，k2，求證：為定值．【解答】（1）解：將x＝﹣2代入橢圓的方程，可得，則有，因為當(dāng)直線l與x軸垂直時，|PQ|＝，所以，又a2＝b2+4，解得a2＝9，b4＝5，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）證明：由題意可知，直線l的斜率不為0，與橢圓聯(lián)立可得2+9）y4