八年級(jí) 上冊(cè)113.4

課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題看圖思考：

為什么有的人會(huì)經(jīng)常踐踏草地呢？綠地里本沒有路，走的人多了……禁止踐踏愛護(hù)草坪愛護(hù)草坪兩點(diǎn)之間，線段最短2復(fù)習(xí)回顧如圖，從A點(diǎn)到B點(diǎn)有三條線路，哪條最短？依據(jù)：兩點(diǎn)之間，線段最短。3復(fù)習(xí)回顧如圖，點(diǎn)

A

是直線

l

外一點(diǎn)，點(diǎn)

A

到直線的所有線路中，最短的是？依據(jù)：垂線段最短。4將軍飲馬問題：兩點(diǎn)之間線段最短這個(gè)問題早在古羅馬時(shí)代就有了，傳說亞歷山大城有一位精通數(shù)學(xué)和物理的學(xué)

者，名叫海倫．一天，一位羅馬將軍專程去拜訪他，向他請(qǐng)教一個(gè)百思不得其解的問題：將軍每天騎馬從城堡A出發(fā)，到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。將軍問怎樣走路程最短？這就是被稱為"將軍飲馬"而廣為流傳的問題。5P兩點(diǎn)之間線段最短.根據(jù)：BA例1.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，途中馬要到小溪邊飲水一次。問將軍怎樣走路程最短？將軍飲馬：(一)兩點(diǎn)在一條直線兩側(cè)最短路線：A---P---

B.6B河(二)一次軸對(duì)稱： 兩點(diǎn)在一條直線同側(cè)例2.如圖：一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，

途中馬要到河邊飲水一次，問：這位將軍怎樣走路程最短？A7新知探究追問1

這是一個(gè)實(shí)際問題，你打算首先做什么？將A

，

B

兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn)，將河l

抽象為一條直線．B8·A·l新知探究追問2

你能用自己的語言說明這個(gè)問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？如圖，在直線l上找一點(diǎn)C，使AC+BC最短。BA9lC新知探究問題轉(zhuǎn)化 如圖，點(diǎn)A，B

在直線l

的同側(cè)，點(diǎn)C

是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C

在l

的什么位置時(shí)，AC

與CB的和最?。緽10·lA·新知探究如圖，點(diǎn)

A

，

B

在直線

l

的同側(cè)，點(diǎn)

C

是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C

在l的什么位置時(shí)，AC

與CB的和最小？B·lA·B′C作法：作點(diǎn)B

關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B′；連接AB′，與直線l相交于點(diǎn)C．則點(diǎn)C即為所求11例2變式：已知：P、Q是△ABC的邊AB、AC上的點(diǎn)，你能在BC上確定一點(diǎn)R，使△PQR的周長最短嗎？?jī)牲c(diǎn)在一條直線同側(cè)12(二)一次軸對(duì)稱：O13例3.如圖：一位將軍騎馬從駐地A出發(fā)，先牽馬去草地OM吃草，再牽馬去河邊ON喝水， 最后回到駐地A，問：這位將軍怎樣走路程最短？M

草地.駐地AN

河邊(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部(三)二次軸對(duì)稱：一點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部例3變式：已知P是△ABC的邊BC上的點(diǎn)，你能在AB、AC上分別確定一點(diǎn)Q和R，使△PQR的周長最短嗎？14例4：如圖，A為馬廄，B為帳篷，將軍某一天要從馬廄牽出馬，先到草地邊某一處牧馬，再到河邊飲馬，然后回到帳篷，請(qǐng)你幫助確定這一天的最短路線。（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部15ABA/B/PQ最短路線：A

P

Q

Bl16MN例4變式：如圖，OMCN是矩形的臺(tái)球桌面，有黑、白兩球分別位于B、A兩點(diǎn)的位置上，試問怎樣撞擊白球，使白球A依次碰撞球臺(tái)邊OM、ON后，彈擊中黑球？（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部17..A18A'BB'.CDMON例4變式：（四）二次軸對(duì)稱：兩點(diǎn)在兩相交直線內(nèi)部?jī)牲c(diǎn)在一條河兩側(cè)例5.如圖：古希臘一位將軍騎馬從城堡A到城堡B，A和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使將軍從A到B的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）B19A(五)造橋選址問題思維分析B201、如圖假定任選位置造橋AＭＮ，連接ＡＭ和ＢＮ，從A到B的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短呢？ＭＮ問題解決AA1MN如圖，平移A到A1，使ＡA1等于河寬，連接A1Ｂ交河岸于

Ｎ作橋ＭＮ，此時(shí)路徑ＡＭ＋ＭＮ＋ＢＮ最短.Ｎ１B21Ｍ１理由；另任作橋Ｍ１Ｎ１，連接ＡＭ１，ＢＮ１，Ａ１Ｎ１.由平移性質(zhì)可知，ＡＭ＝Ａ１Ｎ，ＡＡ１＝ＭＮ＝Ｍ１Ｎ１，ＡＭ１＝Ａ１Ｎ１.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｂ，而ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１

轉(zhuǎn)化為ＡＡ１＋Ａ１Ｎ１＋ＢＮ１.在△Ａ１Ｎ１Ｂ中，由線段公理知A1N1+BN1＞A1B因此ＡＭ１＋Ｍ１Ｎ１＋ＢＮ１＞AM+MN+BN問題延伸如圖，A和B兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）22思維分析如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+ＱＢ．23思維方法24沿垂直于第一條河岸方向平移Ａ點(diǎn)至Ａ１點(diǎn)，沿垂直于第二條河岸方向平移Ｂ點(diǎn)至Ｂ１點(diǎn)，連接A1B1

分別交A、B的對(duì)岸于N、P兩點(diǎn)，建橋MN和PQ.最短路徑

AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為

AA1+A1B1+BB1.將軍飲馬的實(shí)質(zhì)：（1）求最短路線問題------25通過幾何變換找對(duì)稱圖形。把A，B在直線同側(cè)的問題轉(zhuǎn)化為 在直線的兩側(cè)，化折線為直線，可利用“兩點(diǎn)之間線段最短” 加以解決?！斑x橋選址問題”移動(dòng)橋?qū)捄筮€是可利用“兩點(diǎn)之間線段最短”加以解決。結(jié)束語當(dāng)你盡了自己的最大努力時(shí)，失敗也是偉大的，所以不要放棄，堅(jiān)持就是正確的。When

You

Do

Your

Best,

Failure

Is

Great,

So

Don'T