..正態(tài)分布教學(xué)設(shè)計(jì)與反思恒來(lái)1．教學(xué)容解析正態(tài)分布是高中新教材人教A版選修2-3的第二章"隨機(jī)變量及其分布〞的最后一節(jié)容，在學(xué)習(xí)了離散型隨機(jī)變量之后，正態(tài)分布作為連續(xù)型隨機(jī)變量，在這里既是對(duì)前面容的一種補(bǔ)充，也是對(duì)前面知識(shí)的一種拓展，是必修3第二章頻率分別直方圖和第三章概率知識(shí)的后續(xù)。該節(jié)容通過(guò)研究頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線，引出擬合的函數(shù)式，進(jìn)而得到正態(tài)分布的概念、分析正態(tài)曲線的特點(diǎn)，最后研究了它的應(yīng)用。舊教材采用直接給出正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式的方法，這使學(xué)生在很長(zhǎng)一段時(shí)間里不理解正態(tài)分布的來(lái)源。課標(biāo)教材利用高爾頓釘板試驗(yàn)引入正態(tài)分布的密度曲線更直觀，易于解釋曲線的來(lái)源。本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)確定為：正態(tài)分布密度曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)；正態(tài)分布密度曲線所表示的意義。2．教學(xué)目標(biāo)分析在上次教材改革中增加了正態(tài)分布，此次新課程標(biāo)準(zhǔn)中理科選修2-3仍然保存了正態(tài)分布的容，只是在容上作了一些調(diào)整，課本刪除了標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布和正態(tài)分布函數(shù)表，只要求利用對(duì)稱性和"3σ〞原那么分析實(shí)際問(wèn)題，從而考察難度有所降低，注重考察閱讀理解能力。正態(tài)分布在概率和統(tǒng)計(jì)中占有重要的地位，如現(xiàn)今德國(guó)10馬克的鈔票印有高斯頭像，其上還印有正態(tài)分布的密度曲線。這是給高斯的最高榮譽(yù)，同時(shí)傳達(dá)了一種想法：在高斯的一切科學(xué)奉獻(xiàn)中，其對(duì)人類文明影響最大者，就是正態(tài)分布。正態(tài)分布是概率論中最重要的一種分布，也是自然界最常見(jiàn)的一種分布。自然界、人類社會(huì)、心理和教育量現(xiàn)象均按正態(tài)形式分布，例如能力的上下，學(xué)生成績(jī)的好壞等都屬于正態(tài)分布。正態(tài)分布還具有很多優(yōu)良的性質(zhì)，在數(shù)學(xué)、物理及工程控制、醫(yī)學(xué)檢測(cè)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。在大學(xué)的理工科根本上都要學(xué)習(xí)正態(tài)分布的相關(guān)容，在高中新課標(biāo)中仍保存了正態(tài)分布是很有必要的。因此，我們要提高認(rèn)識(shí)。本節(jié)課作為新授課，加上正太密度曲線函數(shù)式很復(fù)雜，容抽象，我力圖通過(guò)flash動(dòng)畫(huà)模擬高爾頓釘板實(shí)驗(yàn)激發(fā)學(xué)生的興趣，幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示，小組合作探究，教師引導(dǎo)點(diǎn)撥，學(xué)生歸納總結(jié)，讓學(xué)生對(duì)正態(tài)密度曲線的生成、性質(zhì)有更直觀的認(rèn)知。結(jié)合課標(biāo)要求，制定如下教學(xué)目標(biāo)：(1)知識(shí)目標(biāo)：①認(rèn)識(shí)正態(tài)分布曲線的特點(diǎn)及曲線表示的意義。②會(huì)根據(jù)對(duì)稱性進(jìn)展簡(jiǎn)單正態(tài)分布的相關(guān)概率計(jì)算，并能解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題?！?〕能力目標(biāo)①能用正態(tài)分布、正態(tài)曲線研究有關(guān)隨機(jī)變量分布的規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)觀察并探究規(guī)律，提高分析問(wèn)題，解決問(wèn)題的能力。②培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合，函數(shù)與方程等數(shù)學(xué)思想方法。〔3〕情感目標(biāo)通過(guò)教學(xué)中一系列的探究過(guò)程使學(xué)生體驗(yàn)發(fā)現(xiàn)的快樂(lè)，形成積極的情感，培養(yǎng)學(xué)生的進(jìn)取意識(shí)和科學(xué)精神。3．教學(xué)問(wèn)題診斷分析在必修三的學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)掌握了統(tǒng)計(jì)等知識(shí)，這為學(xué)生理解利用頻率分布直方圖來(lái)研究小球的分布規(guī)律奠定了根底。但正態(tài)分布的密度函數(shù)表達(dá)式較為復(fù)雜抽象，學(xué)生理解比擬困難。正態(tài)分布有涉及到要用積分的思想求曲面梯形面積的問(wèn)題，高中階段學(xué)生掌握的積分知識(shí)要求正態(tài)密度函數(shù)的定積分還是很困難的，學(xué)生想通過(guò)定積分來(lái)求，這里教師要做好引導(dǎo)。而且課標(biāo)的要求只要求學(xué)生知道正態(tài)分布在的概率就是通過(guò)用定積分來(lái)求曲邊梯形的面積，而中學(xué)階段正態(tài)分布的題目主要是根據(jù)正態(tài)曲線的對(duì)稱性、3σ原那么及結(jié)合概率為1來(lái)設(shè)置的，那么正態(tài)曲線的特點(diǎn)和性質(zhì)既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。本節(jié)的教學(xué)難點(diǎn)確定為：在現(xiàn)實(shí)生活中什么樣的隨機(jī)變量服從正態(tài)分布；正態(tài)分布密度曲線所表示的意義。4．教學(xué)支持條件分析本節(jié)課是概念課教學(xué)，應(yīng)該有一個(gè)讓學(xué)生參與討論、發(fā)現(xiàn)規(guī)律、總結(jié)特點(diǎn)的探索過(guò)程，所以在教學(xué)中我采取了flash動(dòng)畫(huà)模擬、幾何畫(huà)板動(dòng)態(tài)演示的直觀教學(xué)法、學(xué)生分組討論合作探究教學(xué)法。通過(guò)"觀察—探究—再觀察—再探究〞等思維途徑完成整個(gè)教學(xué)過(guò)程。而多媒體的輔助教學(xué)，不僅激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，還有利于培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)向觀察、抽象概括、分析歸納的邏輯思維能力，提高了課堂教學(xué)的有效性。5．教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖以境激情通過(guò)對(duì)高爾頓板試驗(yàn)進(jìn)展演示。教師創(chuàng)設(shè)情境，為導(dǎo)入新知做準(zhǔn)備。學(xué)生感悟體驗(yàn)，對(duì)試驗(yàn)的結(jié)果進(jìn)展定向思考。學(xué)生經(jīng)過(guò)觀察發(fā)現(xiàn)：下落的小球在槽中的分布是有規(guī)律的。教師利用多媒體進(jìn)展動(dòng)態(tài)演示，能提高學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。研探論證1．用頻率分布直方圖從頻率角度研究小球的分布規(guī)律⑴將球槽編號(hào)，算出各個(gè)球槽的小球個(gè)數(shù)，做出頻率分布表。⑵以球槽的編號(hào)為橫坐標(biāo)，以小球落入各個(gè)球槽的頻率與組距的比值為縱坐標(biāo)，畫(huà)出頻率分布直方圖。連接各個(gè)長(zhǎng)方形上端的中點(diǎn)得到頻率分布折線圖。⑶將高爾頓板下面的球槽去掉，試驗(yàn)次數(shù)增多，頻率分布直方圖無(wú)限分割，于是折線圖就越來(lái)越接近于一條光滑的曲線。引導(dǎo)學(xué)生思考回憶，教師通過(guò)課件演示作圖過(guò)程。在這里引導(dǎo)學(xué)生回憶得到，此處的縱坐標(biāo)為頻率除以組距。教師提出問(wèn)題：這里每個(gè)長(zhǎng)方形的面積的含義是什么？學(xué)生經(jīng)過(guò)回憶，容易得到：長(zhǎng)方形的面積代表的是相應(yīng)區(qū)間數(shù)據(jù)的頻率教師引導(dǎo)學(xué)生得到：此時(shí)小球與底部接觸時(shí)的橫坐標(biāo)是一個(gè)連續(xù)型隨機(jī)變量。教師通過(guò)課件動(dòng)態(tài)演示頻率分布直方圖無(wú)限分割的過(guò)程。通過(guò)把與新容有關(guān)的舊知識(shí)抽出來(lái)作為新知識(shí)的"生長(zhǎng)點(diǎn)〞，為引入新知搭橋鋪路，形成正遷移。通過(guò)這里的思考回憶，加深了對(duì)頻率分布直方圖的理解。這個(gè)步驟實(shí)現(xiàn)了由離散型隨機(jī)變量到連續(xù)型隨機(jī)變量的過(guò)渡。通過(guò)幾何畫(huà)板讓學(xué)生直觀感受正態(tài)曲線的形成過(guò)程。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖研探論證2．正態(tài)曲線：曲線中任意的一個(gè)均對(duì)應(yīng)著唯一的一個(gè)值，經(jīng)過(guò)擬合，這條曲線是〔或近似地是〕以下函數(shù)的圖像：,其中是圓周率，是自然對(duì)數(shù)的底，實(shí)數(shù)和〔＞0〕為參數(shù)。我們稱的圖像為正態(tài)分布密度曲線，簡(jiǎn)稱正態(tài)曲線。與分別反映的是均值與標(biāo)準(zhǔn)差。教師提出課題并板書(shū)：正態(tài)分布教師分析正態(tài)分布密度曲線表達(dá)式的特點(diǎn)，并指出兩個(gè)參數(shù)的實(shí)際意義。與舊教材不同的是，該處在學(xué)生從形的角度直觀認(rèn)識(shí)了正態(tài)曲線之后才給出曲線對(duì)應(yīng)的表達(dá)式，這樣處理能更直觀演示正態(tài)曲線來(lái)源。3．正態(tài)曲線對(duì)應(yīng)的解析式中含有兩個(gè)參數(shù)和。下面結(jié)合函數(shù)解析式研究曲線特點(diǎn)，并分析參數(shù)和對(duì)曲線的影響：⑴固定的值，觀察對(duì)圖像的影響學(xué)生研探新知，并進(jìn)展推理論證。其中教師對(duì)學(xué)生進(jìn)展學(xué)法指導(dǎo)，優(yōu)化學(xué)生思維。教師利用幾何畫(huà)板，先后固定參數(shù)和，通過(guò)變化參數(shù)和的值得到一系列正態(tài)曲線，學(xué)生觀察圖像，分組討論并派代表發(fā)言。學(xué)生通過(guò)觀察得到：當(dāng)一定時(shí)，曲線隨著的變化而沿軸平移；結(jié)合解析式分析知時(shí)它是個(gè)偶函數(shù)，于是參數(shù)決定了正態(tài)曲線的對(duì)稱軸，時(shí)的圖像可由時(shí)的圖像平移得到。〔教師板書(shū)：曲線是單峰的，它關(guān)于直線對(duì)稱〕同時(shí)得到：曲線在時(shí)到達(dá)峰值〔教師板書(shū)〕。針對(duì)解析式中含有兩個(gè)參數(shù)，學(xué)生較難獨(dú)立分析，教師通過(guò)固定一個(gè)參數(shù)，討論另一個(gè)參數(shù)對(duì)圖像的影響，這樣的處理大大降低了難度。該環(huán)節(jié)教師利用多媒體引導(dǎo)學(xué)生歸納正態(tài)曲線的特點(diǎn)，既加強(qiáng)了學(xué)生的直觀理解，也增強(qiáng)了學(xué)生觀察歸納的能力。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖研探論證⑵固定的值，觀察對(duì)圖像的影響⑶綜合以上圖像，你還能得到正態(tài)曲線的哪些特點(diǎn)？學(xué)生通過(guò)觀察并結(jié)合參數(shù)與的意義可以分析得到：當(dāng)一定時(shí)，影響了曲線的形狀。即：越小，偏離均值的程度越小，那么曲線越瘦高；越大，偏離均值的程度越大，那么曲線越矮胖〔教師板書(shū)〕。綜合以上的圖像并結(jié)合解析式分析得到：曲線位于軸上方，與軸不相交。〔教師板書(shū)〕。最后引導(dǎo)學(xué)生由概率知識(shí)知：曲線與軸之間的面積為1〔教師板書(shū)〕。該環(huán)節(jié)通過(guò)幾何畫(huà)板呈現(xiàn)了教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程容，很好地鍛煉了學(xué)生觀察歸納的能力，表達(dá)了歸納分類、化難為易、數(shù)形結(jié)合的思想。這樣的處理很好地突出了重點(diǎn)，突破了難點(diǎn)。這為接下來(lái)提出問(wèn)題，引入正態(tài)分布的定義做鋪墊。4．曲線與軸之間的面積為1。根據(jù)對(duì)稱性知，隨機(jī)變量落在對(duì)稱軸兩側(cè)的概率都是。請(qǐng)思考：對(duì)于任意一個(gè)隨機(jī)變量，如何求出落在給定區(qū)間的概率？OOyx引導(dǎo)學(xué)生回憶得到：落在區(qū)間的概率的近似值其實(shí)就是在上的陰影局部即曲邊梯形的面積，曲邊梯形面積等于函數(shù)在區(qū)間上的定積分。即：通過(guò)設(shè)疑，引起學(xué)生對(duì)問(wèn)題的深入思考，通過(guò)復(fù)習(xí)、鞏有知識(shí)，以確保新容的自然引入，同時(shí)加深了對(duì)定積分幾何意義的理解。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖研探論證正態(tài)分布概念：一般地，如果對(duì)于任何實(shí)數(shù)＜，隨機(jī)變量滿足，那么稱的分布為正態(tài)分布，常記作。如果隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，那么記作。教師在前面分析的根底上引出正態(tài)分布的概念，并說(shuō)明記法。引導(dǎo)學(xué)生分析得到，所落區(qū)間的端點(diǎn)是否能夠取值，均不影響變量落在該區(qū)間的概率。以舊引新，雖然概念較抽象，但這樣的處理過(guò)程學(xué)生不會(huì)覺(jué)得太突兀，易于承受新知識(shí)。同時(shí)培養(yǎng)了學(xué)生把前后知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)展思維的習(xí)慣。6．3原那么幾何畫(huà)板演示3原那么：引導(dǎo)學(xué)生分析，求定積分，通常需要求出原函數(shù)。根據(jù)現(xiàn)有知識(shí)，無(wú)法求原函數(shù)。得尋求別的方法求概率。教師通過(guò)利用幾何畫(huà)板演示隨機(jī)變量落在區(qū)間,與這三個(gè)區(qū)間的概率，引入3原那么的容，并指出：在區(qū)間以外取值的概率只有0.0026，通常認(rèn)為這種情況在一次試驗(yàn)中幾乎不可能發(fā)生。所以，在實(shí)際應(yīng)用中，我們通常認(rèn)為服從于正態(tài)分布的隨機(jī)變量只取之間的值，簡(jiǎn)稱原那么。我們可以利用3原那么解決一些簡(jiǎn)單的與正態(tài)分布有關(guān)的概率計(jì)算問(wèn)題。(教師板書(shū)3原那么的容)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了所學(xué)知識(shí)無(wú)法解決的問(wèn)題，從而引起了他們的疑問(wèn)，激發(fā)了他們要解決問(wèn)題的欲望，變"要我學(xué)〞為"我要學(xué)〞。新知識(shí)的直接給出，學(xué)生承受或多或少會(huì)有點(diǎn)困難。教師利用幾何畫(huà)板，從數(shù)與形上表達(dá)了3原那么的容，能很好加深學(xué)生的印象便于理解。這為后面3原那么的應(yīng)用作了鋪墊。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖反饋矯正例題1把一條正態(tài)曲線沿著橫軸方向向右移動(dòng)2個(gè)單位，得到新的一條曲線，以下說(shuō)法不正確的選項(xiàng)是〔〕A．曲線仍然是正態(tài)曲線B．曲線和的最高點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等C．以曲線為正態(tài)分布的總體的方差比以曲線為正態(tài)分布的總體的方差大2D．以曲線為正態(tài)分布的總體的期望比以曲線為正態(tài)分布的總體的期望大2學(xué)生獨(dú)立分析，并學(xué)生間互問(wèn)互檢，質(zhì)疑辯論。教師排難解惑，幫助學(xué)生穩(wěn)固深化所學(xué)知識(shí)。學(xué)生易分析知：正態(tài)曲線經(jīng)過(guò)平移仍是正態(tài)曲線，峰值不變。而曲線的左右平移與即均值〔期望〕有關(guān)。故C選項(xiàng)的說(shuō)法不正確。通過(guò)該例的設(shè)置，深化了學(xué)生對(duì)正態(tài)曲線的特點(diǎn)及正態(tài)分布密度函數(shù)表達(dá)式中參數(shù)與的理解。例題2某地區(qū)數(shù)學(xué)考試的成績(jī)服從正態(tài)分布，其密度函數(shù)曲線如以下圖：2040608010020406080100yxO寫(xiě)出的分布密度函數(shù)；求成績(jī)位于區(qū)間的概率是多少？求成績(jī)位于區(qū)間的概率是多少？假設(shè)該地區(qū)有10000名學(xué)生參加考試，從理論上講成績(jī)?cè)?6分以上的考生有多少人？學(xué)生相互討論，根據(jù)對(duì)稱軸可知，根據(jù)峰值可知，代入正態(tài)曲線表達(dá)式可得：由知：通過(guò)一個(gè)貼近生活的實(shí)例，學(xué)生體會(huì)到了數(shù)學(xué)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用，培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情。本例是由課本74頁(yè)練習(xí)2進(jìn)展變式處理，做到了一題多用。該環(huán)節(jié)設(shè)置的②③④這三個(gè)小問(wèn)，分別要求學(xué)生根據(jù)原那么直接求出對(duì)稱區(qū)間概率，利用對(duì)稱性及結(jié)合概率為1，求不對(duì)稱區(qū)間的概率。表達(dá)了數(shù)形結(jié)合的思想，同時(shí)問(wèn)題的設(shè)置由易到難，形成坡度。例3設(shè)正態(tài)總體落在區(qū)間和區(qū)間的概率相等，落在區(qū)間的概率為，求該正態(tài)總體對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線的最高點(diǎn)的坐標(biāo)。學(xué)生分析易知：落在和概率相等知,由區(qū)間概率為99.74%，知,,即，代入正態(tài)分布密度函數(shù)解析式知最高點(diǎn)的坐標(biāo)為.要求學(xué)生能根據(jù)題意畫(huà)出草圖，分析已有條件得到兩個(gè)參數(shù)的解，利用解析式求出結(jié)果。再一次強(qiáng)化了數(shù)形結(jié)合的解題思想。教學(xué)環(huán)節(jié)教學(xué)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)意圖應(yīng)用評(píng)價(jià)正態(tài)曲線有哪些具體的特點(diǎn)？2．原那么是什么？它對(duì)、取任何數(shù)，數(shù)據(jù)落到相對(duì)區(qū)間的概率是不變的嗎？3．思想方法：數(shù)形結(jié)合等。4．生活中的正態(tài)分布教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展課堂小結(jié)，自我評(píng)價(jià)。學(xué)生可以展示自己的所悟所得，與同伴分享成功的喜悅；還可以提出自己的困惑，師生共同探討。將課堂小結(jié)作為自我評(píng)價(jià)的主陣地。教師結(jié)合例子對(duì)正態(tài)分布進(jìn)展介紹。通過(guò)學(xué)生提出學(xué)習(xí)本節(jié)容中的困惑和與同伴分享學(xué)習(xí)成果，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)展反思與自我評(píng)價(jià)。教師不僅引導(dǎo)學(xué)生反思學(xué)習(xí)知識(shí)，還反思思想方法。通過(guò)教師的介紹，學(xué)生能夠體會(huì)到生活中處處有正態(tài)分布，感受到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用。思維創(chuàng)新A組課本75頁(yè)A組第1題B組第2題B組在某校舉行的數(shù)學(xué)競(jìng)賽中，全體參賽學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)近似服從正態(tài)分布，成績(jī)?cè)?0分以上〔含90分〕的學(xué)生有12名。試問(wèn)此次參賽的學(xué)生總數(shù)約有多少人？課外思考：請(qǐng)嘗試從解析式角度分析正態(tài)曲線的對(duì)稱性與最值。學(xué)生通過(guò)作業(yè)進(jìn)展課外反思，通過(guò)思考發(fā)散思維，發(fā)現(xiàn)創(chuàng)新。教師通過(guò)布置作業(yè)，進(jìn)展自我評(píng)價(jià)，更新教法。學(xué)生通過(guò)作業(yè)，及時(shí)反應(yīng)，穩(wěn)固所學(xué)知識(shí)；教師通過(guò)分層次布置作業(yè)，提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，同時(shí)能在作業(yè)中發(fā)現(xiàn)教學(xué)的缺乏。板書(shū)設(shè)計(jì)正態(tài)分布解析式曲線性質(zhì)⑴⑵⑶⑷⑸3．3原那么例1．例2①②③④例3多媒體投影6.教學(xué)設(shè)計(jì)說(shuō)明數(shù)學(xué)知識(shí)之間存在著在的本質(zhì)聯(lián)系，本設(shè)計(jì)充分注意了新舊知識(shí)間的在聯(lián)系，這樣更容易使學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中把前后所學(xué)知識(shí)聯(lián)系起來(lái)進(jìn)展理解記憶，更容易體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)的形成過(guò)程。該教學(xué)設(shè)計(jì)通過(guò)試驗(yàn)引入——舊知鋪墊——生成函數(shù)——層層深入——探究新知——延伸拓展等環(huán)節(jié)展示了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探究過(guò)程。為使課堂生動(dòng)有趣，教學(xué)效果好，該設(shè)計(jì)將信息技術(shù)與課程容進(jìn)展有機(jī)整合，用計(jì)算機(jī)呈現(xiàn)以往教學(xué)中難以呈現(xiàn)的課程容，增大了課堂容量，使學(xué)生對(duì)重點(diǎn)容的掌握更深入。7.教學(xué)反思本節(jié)課以"合作探究〞為主要設(shè)計(jì)思想，教師通過(guò)試驗(yàn)引入——舊知鋪墊——生成函數(shù)——層層深入——探究新知——延伸拓展等環(huán)節(jié)展示了一個(gè)完整的數(shù)學(xué)探究過(guò)程，符合新課標(biāo)以學(xué)生為中心的根本教學(xué)理念。一堂好課，師生一定會(huì)有共同的、積極的情