飽和多孔介質(zhì)土動力學(xué)研究進展

飽和土是工程中常見的土壤，是流固定相介質(zhì)。飽和土壤肥力特性遠(yuǎn)比單相固體介質(zhì)復(fù)雜，因此對土壤肥力特性的研究主要是一種簡單的單株。結(jié)果表明，采用兩相多孔介質(zhì)模型比使用單一固體介質(zhì)模型更合理，土壤肥力的動態(tài)反應(yīng)更均勻、更真實。關(guān)于飽和土壤肥力方程的研究始于20世紀(jì)50年代。bio首先建立了液體飽和多孔介質(zhì)波的傳播理論，這是后來各種研究中關(guān)于飽和多孔介質(zhì)動態(tài)特性和動態(tài)分析的基礎(chǔ)。bio理論的本質(zhì)是將連續(xù)介質(zhì)力學(xué)應(yīng)用于液體飽和多孔介質(zhì)的兩層材料體系中的軌跡效應(yīng)，并考慮了方程和固體框架之間的應(yīng)變性關(guān)系及其運動。多孔介質(zhì)力學(xué)的理論和應(yīng)用已經(jīng)成為巖石工程、地震工程、工程振動、地球物理等科學(xué)領(lǐng)域的一項重要課題，也是土壤振動和土球物理工程的一個重要分支。以下是飽和多孔介質(zhì)力學(xué)的基本方程、飽和土壤中彈性波的傳播特性，以及飽和土壤肥力分析的時間值解和地震反應(yīng)分析等各個方面的發(fā)展歷史和進步。1動力方程的推導(dǎo)自Biot提出描述飽和多孔介質(zhì)動力特性的基本方程以來,此基本方程已經(jīng)廣泛地應(yīng)用于土動力學(xué)分析中.繼Biot之后,國內(nèi)外很多學(xué)者從不同角度對該問題作過研究,但所提出的表達(dá)式有些混亂,容易讓人產(chǎn)生誤解.事實上,多孔介質(zhì)的動力方程完全可以通過混合物的均勻化理論建立起來,整個推導(dǎo)過程是從有效應(yīng)力原理、應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系、質(zhì)量守恒方程以及動量守恒方程出發(fā),這樣的推導(dǎo)方法不僅理論上比較嚴(yán)密,且容易推廣到多相介質(zhì).1.1ter-qp的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系根據(jù)混合物理論的空間平均方法,飽和多孔介質(zhì)土的總應(yīng)力(不考慮孔隙液體的粘滯性)表示為σij=(1-n)σsij-nδijpw(1)式中:σsij為作用于固相的應(yīng)力;pw為孔隙水(流體)壓力;δij為Kronecker符號;n為孔隙率.根據(jù)Terzaghi有效應(yīng)力原理可以得到固相應(yīng)力σsij與有效應(yīng)力σ′ij之間的關(guān)系式為(1-n)σsij=σ′ij-(1-n)δijpw(2)如果考慮土顆粒本身由于孔隙水壓力作用所引起的壓縮性,基于有效應(yīng)力的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系可以表示為(假設(shè)土骨架是各向同性理想彈性體)σ′ij=2μεij+λδijεkk+(1-α)δijpw(3)式中:α=1-KT/Ks為Biot參數(shù),KT和Ks分別為土骨架和土顆粒的體積彈性模型,ΚΤ=λ+23μ,μ和λ為彈性理論中的Lame常數(shù);εij表示為土骨架的應(yīng)變.同樣,固相應(yīng)力σsij和總應(yīng)力σij可分別表示為(1-n)σsij=2μεij+λδijεkk-(α-n)δijpw(4)σij=2μεij+λδijεkk-αδijρw(5)1.2孔隙水體變模量的計算固相和液相的質(zhì)量守恒方程可以分別表示為對于固相?[(1-n)ρs]?t+(1-n)ρs˙usi,i=0(6)對于液相?(nρw)?t+nρw˙uwi,i=0(7)式中:ρs和ρw分別為固相(土顆粒)和液相(孔隙水)的密度;usi和uwi分別為固相和液相的絕對位移.考慮到土顆粒和孔隙水本身的壓縮性,由式(6)和式(7)相加可得-(1-n)˙σsii3Κs+n˙ρwΚw+(1-n)˙usi,i+n˙uwi,i=0(8)將式(4)代入式(8)可以得到˙pwΜ+(α-n)˙usi,i+n˙uwi,i=0(9)式中:Kw為孔隙水的體變模量;1Μ=α-nΚs+nΚw.引入e=usi,i和ε=uwi,i,由式(9)和式(4)可以得到-npw=Qe+Rε(10)(1-n)σsij=2μεij+δij(Ae+Qε)(11)其中:R=n2M;A=λ+(α-n)2M;Q=n(α-n)M.式(10)和式(11)與Biot所提出的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系式是完全一致的.1.3土體密度的測試固相和液相的動量守恒方程可以分別表示為對于固相-(1-n)ρs??usi+(1-n)σsij,j+nRwi+(1-n)ρsbi=0(12)對于液相-nρw??uwi-npw,i-nRwi+nρwbi=0(13)式中:bi為單位質(zhì)量的體積力.有時更方便的形式是采用整個土體的動量守恒方程,即以總應(yīng)力表示的動量守恒方程代替固相的動量守恒方程,由式(12)與式(13)相加可以得到σij,j-(1-n)ρs??usi-nρw??uwi+ρbi=0(14)以上各式中,Rwi表示固相和液相之間的耦合作用,ρ=(1-n)ρs+nρw為土體的密度.利用Darcy定律可以得到kρwgRwi=˙wwi(15)式中:k為滲透系數(shù);˙wwi為液相的相對速度(相對于固相而言),定義如下:˙wwi=n(˙uwi-˙usi)(16)1.4美—飽和多孔介質(zhì)土動力學(xué)基本方程的建立飽和多孔介質(zhì)土動力學(xué)基本方程可以分別用us-uw-pw形式、us-uw形式、us-ww形式以及us-pw形式來描述.為了書寫方便,下面分別用u代替us,U代替uw,ρf代替ρw,pf代替pw以及w代替ww,并且不考慮重力的影響.1.4.1biol相對粘滯性和滲透系數(shù)由式(14),(5),(13),(15),(16)以及式(9)可以得到μΔ2u+(λ+μ)grad(divu)-αgradpf=(1-n)ρsu??+nρfU??(17)-ngradpf+b(u˙-U˙)=nρfU??(18)ndivU˙+(α-n)divu˙+p˙fΜ=0(19)式中:b=n2ρfgk=n2ηkp,其中η和kp分別為Biot定義的流體粘滯性和滲透系數(shù).1.4.2u+[++-n2grad質(zhì)量分?jǐn)?shù)的計算由式(12),(4),(13),(15),(16)以及式(9)可以得到μΔ2u+[λ+μ+(α-n)2Μ]grad(divu)+n(α-n)Μgrad(divU)=(1-n)ρsu??+b(u˙-U˙)(20)n(α-n)Μgrad(divu)+n2Μgrad(divU)=nρfU??-b(u˙-U˙)(21)1.4.3u+++22grad質(zhì)量分?jǐn)?shù)的計算將式(16)代入式(17)、(18)和(19)得出μΔ2u+(λ+μ+α2Μ)grad(divu)+αΜgrad(divw)=ρu??+ρfw??(22)αΜgrad(divu)+Μgrad(divw)=ρfu??+ρfnw??+ρfgkw˙(23)1.4.4pf的推導(dǎo)計算結(jié)果表明,對于像地震荷載這樣非高頻的情況,可以采用以固相的位移u和孔隙水壓力pf為基本變量的所謂u-pf形式,這種u-pf形式是由Zienkiewicz等首先提出的.具體的推導(dǎo)過程如下:將ρfw??和ρfnw??項略去不計,并消去w,則有μΔ2u+(λ+μ)grad(divu)-αgradpf=ρu??(24)αgrad(divu˙)-k—Δ2pf+p˙fΜ-k—ρfdivu??=0(25)式中:k—=k/ρfg.2表中彈性波的傳播特征2.1飽和土介質(zhì)中壓縮波種類的分析在文獻(xiàn)中,采用u-U形式推導(dǎo)了飽和土中的體波波速表達(dá)式,并假設(shè)土顆粒是不可壓縮的.這里采用更常用的u-w形式,并進一步考慮土顆粒的壓縮性.仿照文獻(xiàn)的推導(dǎo)方法,通過引入勢函數(shù),可以得到下列表達(dá)式1vΡ121vΡ22=ρ(ρfn-iρfgkω)-ρf2(λ+2μ)Μ(26)1vΡ12+1vΡ22=(λ+3μ+α2Μ)(ρfn-iρfgkω)-2αΜρf+ρΜ(λ+2μ)Μ(27)1vs2=1vs02+ibnρfμ(ib-nρfω)(28)式中:vS0=μ(1-n)ρs.由以上各式可知,飽和土介質(zhì)中存在2種壓縮波P1和P2(波速用vP1和vP2表示),以及一種剪切波S(波速用vS表示).3種體波均與振動頻率ω有關(guān),因此都具有彌散性.下面給出2種極限情況下的體波:2.1.1s不同體積的壓縮波此時k→∞,有b→0,由式(26)、(27)得1vΡ121vΡ22=ρρfn-ρf2(λ+2μ)Μ?1vΡ12+1vΡ22=(λ+3μ+α2Μ)ρfn-2αΜρf+ρΜ(λ+2μ)Μ(29)vS=μ(1-n)ρs(30)若不計土顆粒壓縮,取α=1,M=Kf/n.這里可以舉一個例子,取μ=2.61×107Pa,λ=2.61×107Pa,n=0.27,Kf=2.0×109Pa,ρs=2.65×103kg·m-3,ρf=1.0×103kg·m-3,求解方程(29)可以得到:vP1=2100.15m·s-1,vP2=135.84m·s-1,而只在水中傳播的速度vf=Κfρf=1414.21m·s-1,干燥條件下的壓縮波vΡ0=λ+2μ(1-n)ρs=201.19m·s-1,由此可見,第一壓縮波的傳播速度大于只在水中傳播的速度,而第二壓縮波的速度低于干燥條件下的壓縮波.總之,在孔隙流體可以自由流動的情況下,3種體波均與振動頻率ω?zé)o關(guān),不具有彌散性.2.1.2飽和土中彈性體波的散射性此時k→0,有b→∞,在這種條件下只存在一個P波和一個S波,它們的波速分別為vΡ1=λ+2μ+a2Μρ?vS1=μρ(31)文獻(xiàn)對飽和土中彈性體波的彌散性作了深入的探討,討論了波的頻率、飽和土的孔隙率以及滲透性對各種波的速度和波速衰減的影響.2.2飽和土中瑞利波的計算Jones和Chiang研究了飽和土中的瑞利波問題,但在建立特征方程時,在壓縮波勢函數(shù)中只考慮一種壓縮波,因而勢函數(shù)不是問題的通解,導(dǎo)致特征方程有誤.Tajuddin建立了考慮2種壓縮波的瑞利波特征方程,但算例中的結(jié)果是錯誤的.夏唐代等以及陳龍珠等基于文獻(xiàn)所提出的飽和土波動理論,推導(dǎo)出飽和土中瑞利波特征方程,并進一步討論了半空間飽和土中瑞利波的彌散特性,值得注意的是文獻(xiàn)所提出的飽和土波動理論與Biot理論是有所不同的.3zoikiefficir形式的數(shù)值分析方法地震反應(yīng)分析無疑是飽和多孔介質(zhì)土動力學(xué)理論研究的一個重要應(yīng)用.對飽和土體地震液化和變形分析常常采用時域有限單元法分析技術(shù),Biot動力方程的第一個時域有限元數(shù)值解法是Ghaboussi和Wilson提出的,當(dāng)時以固相的位移和相對于固相的液相w位移為基本變量.計算結(jié)果表明像地震荷載這樣非高頻的情況下可以采用以固相位移u和孔隙水壓力p為基本變量的所謂u-p形式.這種u-p形式由Zienkiewicz等首先提出,此后進一步推廣到非線性大變形問題的分析中.另一種比較常用的形式是Prevost以及Zienkiewicz和Shiomi所用的u-U形式(U為液相的絕對位移),另外Zienkiewicz和Shiomi還給出完整的u-U-p方程的有限元形式.由于u-p方程相對比較簡單,因此可以說是目前最常用的.從數(shù)值方法角度來看,主要有以下三方面的問題:其一,所謂的不可壓縮問題,由于孔隙流體的壓縮性通常是忽略不計的,當(dāng)滲透系數(shù)比較小時,u-p混合有限元形式將要求對于位移u的插值形函數(shù)至少比對于孔隙壓力p的插值形函數(shù)高一階,否則會造成嚴(yán)重的數(shù)值不穩(wěn)定,當(dāng)然這種不同階的插值勢必給有限單元法編程帶來麻煩,也使一些簡單而又實用的單元形式不能被采用,因此有必要尋找一種新的辦法使得任何單元形式都適應(yīng).其二,求解u-p形式的時域有限單元法往往采用完全隱式的時間積分格式,雖然這種積分格式是無條件穩(wěn)定的,但需要形成包含剛度矩陣、質(zhì)量矩陣、耦合矩陣、滲透矩陣以及孔隙水壓縮矩陣所組成的總體矩陣,這樣當(dāng)分析的問題復(fù)雜或自由度較多時,其計算工作量將很大,因而極大地限制了它的應(yīng)用與發(fā)展.為克服上述缺點,有必要尋找一種交替解法,這種新的解法將不需要形成總體矩陣,而且還必須是無條件穩(wěn)定的,否則,當(dāng)考慮材料非線性時,解法的穩(wěn)定性將很難得到保證.其三,飽和土工構(gòu)筑物在地震力作用下可能會發(fā)生液化而造成較大的位移,甚至導(dǎo)致構(gòu)筑物倒塌,1971年2月9日美國加州大地震中嚴(yán)重破壞的LowerSanFernando土壩就是一個最典型的例子.針對這種大位移的有限元分析技術(shù)不僅要采用大變形的分析方法,而且還要結(jié)合自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)來跟蹤變形的發(fā)展.從數(shù)值分析方法的驗證來看,驗證無非有2種途徑.第一條途徑是采用離心機試驗結(jié)果;另外一條途徑則是采用歷史上受地震破壞的實例.3.1顯式—飽和土體動力學(xué)u-p方程的不可壓縮問題目前常用的求解飽和土動力學(xué)u-p方程的時域有限元解法主要采用無條件穩(wěn)定的完全隱式整體解法,但這種解法存在著一個明顯的缺陷,當(dāng)滲透系數(shù)較小時(一般來說孔隙流體的壓縮性可以忽略不計),聯(lián)合方程組的整體矩陣會出現(xiàn)一個數(shù)值接近于零的子矩陣,這樣的一個子矩陣的存在將要求對位移u和孔壓p采用非等價的形函數(shù),即要求位移u的形函數(shù)的價數(shù)比孔壓p的形函數(shù)至少高一價,這樣會帶來很多數(shù)值分析上的困難.克服這個困難的方法有2種:第一種方法是采用一種基于矢量分解的交替解法,交替解法可以通過顯示—隱式時間積分格式(半顯式格式)或者隱式—隱式時間積分格式來實現(xiàn),數(shù)值分析結(jié)果表明有效的方法必須是先對基本微分方程進行時間離散,然后再進行空間離散.值得一提的是這種新的顯式—隱式交替解法(半顯式解法)的穩(wěn)定性比Zienkiewicz等提出的半顯式解法有著很大的改善,其時間步長的控制與土的滲透系數(shù)以及孔隙水的壓縮系數(shù)無關(guān),這樣大大改善了數(shù)值解法的有效性;所提出的隱式—隱式交替解法已被證明是無條件穩(wěn)定的,使得數(shù)值計算的時間步長的選擇更加自由,解決了所謂的不可壓縮問題,同時大大提高了計算效率,計算結(jié)果尤其是孔壓值顯示出良好的穩(wěn)定性.上述交替解法對于線彈性問題是非常有效的,但當(dāng)用于彈塑性分析時,由于其時間積分的穩(wěn)定性無法得到嚴(yán)格的證明,可能會造成其穩(wěn)定性無法得到保證.為了解決這個問題,文獻(xiàn)又進一步提出了一種整體解法,這種新的整體解法是通過對有限單元法空間離散前的微分方程直接修正的方法來實現(xiàn),通過修改基本方程來有效解決u-p形式存在的不可壓縮問題;同時,其時間積分格式的穩(wěn)定性與目前常用的完全隱式整體解法完全一致.3.2交替方向乘子法正如前面已提到的,飽和土動力分析u-p形式通常采用時域有限元的直接解法求解,但當(dāng)涉及到自適應(yīng)網(wǎng)格或三維問題時直接解法太費時,因此交替解法是一種應(yīng)該考慮的選擇.交替解法存在的最大問題是時間積分的穩(wěn)定性.Zienkiewicz等曾提出一種無條件穩(wěn)定的交替解法,但只適用于對孔壓采用非連續(xù)形函數(shù)的情況,這樣就大大地限制了它的應(yīng)用.文獻(xiàn)所提出的一種能保證時間積分無條件穩(wěn)定的交替解法,不僅其穩(wěn)定性可以得到嚴(yán)格證明,而且適用于任何單元形式.通過對著名的美國LowerSanFernando土壩地震反應(yīng)的自適應(yīng)網(wǎng)格有限單元法分析,表明所提出的交替解法將大大減少計算的工作量.可以預(yù)見,對于自由度很多的三維分析所提出的交替解法將顯得更加有效.3.3基于自適應(yīng)網(wǎng)格的地震反應(yīng)1971年2月9日的美國加州大地震造成了LowerSanFernando土壩的嚴(yán)重破壞,上游邊坡面出現(xiàn)了大規(guī)模的滑坡.這一近于災(zāi)難性的破壞引發(fā)了對此壩廣泛的現(xiàn)場調(diào)查和理論分析.從現(xiàn)有的分析結(jié)果可以看出,常規(guī)的有限元技術(shù)已經(jīng)很難合理地描述這種由于動力應(yīng)變局部化引起的漸進破壞過程,因此有必要引入一種新的有限元技術(shù).文獻(xiàn)提出了一種基于類似位移梯度的誤差指示的自適應(yīng)網(wǎng)格有限元技術(shù),這種自適應(yīng)網(wǎng)格技術(shù)不僅可以對網(wǎng)格變形比較大的區(qū)域進行網(wǎng)格重新形成,而且還可以將單元沿剪切帶發(fā)展方向拉伸單元.通過對LowerSanFernando土壩的地震反應(yīng)分析,合理地解釋了地震以后由于大位移而造成的壩體滑坡現(xiàn)象,通過自適應(yīng)分析可以清楚地觀測到地震后位移的增量,證明了這種新的有限元技術(shù)是有效的,為解決飽和土體