運用鏡像法求解靜電場問題

經(jīng)典的電磁學理論告訴我們，關于自然界中的各種靜電磁性和靜磁性現(xiàn)象，可以通過拉普拉斯方程或poison方程來描述。事實上，這些問題是基于相對于邊界條件的結(jié)果。在一般來說，邊界或電荷分布的情況下，這些問題不存在分析解算方法。在這種情況下，我們只能通過計算機進行數(shù)值響應。對于一些簡單的規(guī)則邊界形式，人們可以通過分離變量、積分變換和綠色函數(shù)獲得問題的分析解，但計算過程通常很復雜，由于缺乏直觀的物理場景，學生往往很難理解?？紤]到空間點電橋激發(fā)場的波束原理和電勢場疊加的原理非常簡單，因此，在一些簡單的邊界形狀和電荷分布的情況下，靜電場（或電勢）也可以通過顯微鏡法獲得。成像法的初衷是在不改變解塊區(qū)電橋分布、介質(zhì)電氣源性質(zhì)和邊界條件的前提下，將求解塊中的簡單電橋分布（通常稱為鏡像電氣法）視為圖形表面的應動電壓或介質(zhì)界面的極化電荷。由于其對解塊區(qū)電勢的貢獻，原電流和示范電勢的整體疊加在勢的表面上是一致的。因此，大問題的回答是非常簡單的。這種鏡法的準確性由靜電場的唯一變換來保證的。由于鏡法簡單直觀，學生易于理解，因此在課堂上可以達到一半的工作效果。特別是如果空間區(qū)域中有面積、柱面或平面限制等幾何對稱邊界，首先選擇鏡像法。1均勻介質(zhì)區(qū)域vi和v內(nèi)電場的確定鏡像法的理論基礎是靜電場的唯一性定理.其實質(zhì)是在所研究的場域外的適當?shù)胤?用實際上不存在的“像電荷”來代替真實的導體感應電荷或介質(zhì)的極化電荷對場點的作用.在代替之后,必須保證在研究區(qū)域內(nèi)原有的場方程和邊界條件都不變.像電荷的大小以及所處的位置則由代替之后全空間中所有電荷分布在邊界上激發(fā)的電勢和邊界條件共同決定.一般而言,非均勻介質(zhì)所占據(jù)的區(qū)域V總可以分為若干個均勻介質(zhì)區(qū)域Vi,設各均勻區(qū)域的介電常數(shù)為εi,那么電荷分布ρ(x)和電勢φ(x)在均勻區(qū)域Vi內(nèi)應滿足泊松方程▽2φ=-ρ/εi,在兩均勻區(qū)域Vi和Vj的分界面上應滿足邊值關系,這里的Poisson方程和邊值條件是電勢必須滿足的方程,因為它們實際上都是由Maxwell電磁方程組推導出的.此外,要完全確定V內(nèi)的電場,還必須給出V的邊界S上的一些條件.可以證明如下唯一性定理:若區(qū)域V內(nèi)給定自由電荷分布ρ(x),在V的邊界S上給定電勢φ|S或電勢的法向?qū)?shù),則V內(nèi)的電場唯一確定.對于包含有導體的復合介質(zhì),設總區(qū)域V內(nèi)有一些導體,把除去內(nèi)部導體以后的區(qū)域稱為V′,顯然它的邊界包括原來V的界面S以及每個導體的表面Si.為了確定唯一存在的靜電場,除了需要知道V′內(nèi)的電荷分布ρ及S上的φ|S或之值外,還需要附加兩類導體條件中的任意一個:一類是給定每個導體上的電勢φi,另一類是給定每個導體上的總電荷Qi.對于第1種類型,相當于給全了非導體介質(zhì)區(qū)域V′的所有邊界上的電勢,由上述的唯一性定理可知,V′內(nèi)的電場唯一被確定.對于第2種類型的附加條件,它給定每個導體上的總電荷Qi,結(jié)合導體是等勢體的事實,這相當于間接地給出導體界面上的電荷面密度或者法向電勢梯度之值,故V′內(nèi)電場仍舊唯一地被確定.2坐標系的選擇用鏡像法解題大致可按以下步驟進行:①正確寫出電勢應滿足的微分方程及給定的邊界條件(坐標系選擇仍然根據(jù)邊界形狀來定);②根據(jù)給定的邊界條件計算像電荷的電量和所在位置;③由已知電荷及像電荷寫出勢的解析形式;④根據(jù)需要從電勢求出場強、電荷分布以及電場作用力、電容等.下面分別就平面、球面和柱面3類介質(zhì)分界面的靜電場問題闡明鏡像法的特點.2.1導電平面上的感應荷與導電平面上的電勢分布平面類分界面應該是非均勻介質(zhì)中最簡單的邊界了,即便如此,如果直接求解Poisson方程來得到電勢函數(shù)仍舊頗費周折,此時選用鏡像法來計算空間電勢則比較簡單.如圖1所示,M為接地無限大導體平面,設一點電荷Q位于M右側(cè)距M為a處,求點電荷一側(cè)空間的電勢.從物理上分析,在點電荷Q的作用下,導體平面上出現(xiàn)感應電荷分布.若Q為正的,則感應電荷為負的.空間中的電場是由給定的點電荷Q以及導體平面的感應電荷共同激發(fā)的,而另一方面感應電荷的分布又是在總電場作用下達到靜電平衡的結(jié)果.平衡的條件就是導體是一等勢面.所以導體平面M右側(cè)空間中靜電勢uf06a應滿足如下定解問題:怎樣才能滿足這一問題的邊界條件呢?感應電荷對空間電場的作用能否用一個假想電荷來代替?設想在導體平面左側(cè)與電荷Q鏡面對稱的位置上放一個假想電荷Q′,然后把導體平面移走.只要Q′=-Q,在原導體平面上,假想電荷Q′與給定電荷Q激發(fā)的總電場線處處與它垂直,因而邊界條件得到滿足.由此可見,導體平面上的感應電荷確實可用導體左側(cè)的一個假想電荷Q′代替,所以導體平面右側(cè)空間電勢為:雖然鏡像法所解決的問題中最常見的是導體表面作為邊界的情況,但也可用于絕緣介質(zhì)分界面的靜電場問題.如圖2所示,設介電常數(shù)分別為ε1和ε2的兩種均勻介質(zhì)以無限大平面為界,在介質(zhì)1中有一點電荷Q,求空間電勢分布.首先考慮介質(zhì)1中的電勢φ1,設想將左半空間介質(zhì)換成與右半空間的一樣,并在x=-a處有Q的像電荷Q′來代替分界面上極化電荷對右半空間場的影響.則在x>0的區(qū)域,空間一點的電勢為:式中,.接下來再考慮介質(zhì)ε2中的電勢φ2,這時不能用上面的像電荷Q′來計算ε2介質(zhì)內(nèi)的電勢.這是因為,按照電像法,像電荷必須在所考慮的區(qū)域之外.所以,把在ε2介質(zhì)外的電荷Q引起的極化電荷合起來,用ε2介質(zhì)外的一個像電荷Q″來等效.設右半空間的介質(zhì)ε1全部換為與左邊的介質(zhì)ε2一樣,并在x=b處有一電荷Q″,則在x<0空間里任一點的電勢為:式中.最后由邊界條件確定Q′、Q″和b,選取界面法向由ε2指向ε1介質(zhì),即法向單位矢量n與x軸取向一致.由于界面上沒有自由的電荷和電流,所以兩介質(zhì)界面上電場邊界條件為:也可用電勢表示為:將式(3)、(4)代入式(6)并聯(lián)立解得:至此,Q之像Q′或者Q″的電量及位置均已確定.值得注意的是,在此例中像電荷不一定非得同原電荷異號:比如,①當e1>e2時,Q′與Q0電性相同;②當uf0651<uf0652時,Q′與Q0電性相反.在平面分界面的靜電問題中還有一類更復雜的情形,它們一般包含多個均勻介質(zhì)的交接面.現(xiàn)考慮兩無限大平行接地導體板中有一點電荷的靜電場問題,建立坐標系如圖3所示.設Q0位于x0處,為了滿足導體板M1上的邊界條件,由鏡面對稱可以確定Q0對M1的鏡像電荷Q1,但此時電荷分布產(chǎn)生的電場在M2上還不滿足導體邊界條件,所以需要加進2個Q0和Q1的,關于M2對稱的像電荷Q2和Q3,這樣一來空間電荷產(chǎn)生的總疊加電場又不滿足M1上的邊界條件了,于是再加進2個像電荷Q4和Q5……如此循環(huán)下去,像電荷總是成對地加入,它們周期性地分布在x軸上.像電荷等量異號而且交錯排列,只不過離兩板越來越遠,因此這些后面生成的像電荷對兩板間電場的貢獻會越來越小.盡管像電荷的數(shù)目趁于無窮,但是它們的位置卻可以簡單地用公式表示出來,其中+Q電荷位于:而-Q電荷則位于:因此兩導體板間的電勢可寫成無窮級數(shù):2.2半導體球等電勢的模擬鏡像法同樣可能用于球形邊界問題.實際上原電荷對一平面分界面的像電荷也可以看作是對球面分界面的像電荷的一種特殊情形.如圖4所示,電荷Q0與半徑為R0的接地導體球球心相距為a,求空間電勢.假設可以用球內(nèi)一個假想點電荷Q′來代替球面上的感應電荷對空間電場的作用.有對稱性知,Q′應在OQ0連線上.關鍵是能否選擇Q′的大小和位置是的球面上電勢uf06a=0的條件得到滿足?顯然根據(jù)前面的假設,球外空間任意一點P的電勢應為原電荷和像電荷產(chǎn)生的電勢之和,即:式(11)中r0和r′分別是場點P到Q0和Q′的距離.若把P點取為球面上任意一點,則零電勢邊界條件要求Q/r+Q′/r′=0,也就是說對球面上任一點,應有:另外,從圖4可以看出,只要選Q′的位置使三角形△OQ′Ps和△OPQ0相似,則可得:由式(12)和(13)可解得:這一結(jié)果代入式(11)便得到滿足導體球邊界條件的電勢分布.以上針對接地球形導體電勢的討論生動地展示了鏡像法的精髓,它以巧妙的構(gòu)思大大地簡化了靜電場勢函數(shù)的計算.為了充分激發(fā)學生的興趣,培養(yǎng)舉一反三的思維方式,在教學設計中可將這一問題適度推廣,比如將導體球變?yōu)榍驓ぁ⒃姾梢频綄w殼內(nèi)、把接地線去掉或者給導體球充上電之后,靜電勢還可以用鏡像法求解嗎?如果能又將如何安排像電荷?下面討論兩帶電金屬球的靜電場問題.如圖5所示,有2個絕緣的金屬球,半徑均為a,球心相距為d,各自帶有電荷Q0.如何用鏡像法分析它們外部的電勢呢?為了滿足A,B兩球等電勢的邊界條件,作為初級近似,先在它們各自的球心放置一總電量為Q0的假想點電荷,來代替原來兩球上的電荷分布,再利用鏡像法來確定兩球上電荷的相互影響.根據(jù)鏡像法原理,球心OB上的假想點電荷Q0在兩個球心的連線上距A球球心OA為b1處產(chǎn)生一個像電荷Q1(1),同時在球心OA處增加另一個像電荷-Q1(1)來維持A球的總電量,這里:b1(28)a2d,Q1(1)(28)-(7)ad(8)Q0.(15)可是A球中這一對正負像電荷的出現(xiàn)破壞了B球表面上的等電勢邊界條件,所以應再次利用鏡像法,A球上的兩處電荷Q0-Q1(1)(在球心)和Q1(1)(離球心b1處)會在B球里映出4個像:Q1(2)(在距球心oB為b1處),Q2(1)(在距球心OB為b2(28)a2(d-b1)(29)b1處),同時在球心OB處應添加2個像電荷-Q1(2)和-Q2(1)以保持B球上的總電量仍為Q0,其中:同理,B球上的Q0-Q1(2)-Q2(1)、1Q(2)和Q2(1)三個點電荷又會在A球中再映出6個像……如此下去,每一次鏡像映射都會增加2個像電荷.結(jié)果是第n次鏡像映射共出現(xiàn)2n個像電荷,其中n個位于某一球心,而另外n個位于與該球心距離分別為:的地方,其中離球心最遠的像電荷電量為:因為式(18)中分式取值總小于1,所以隨著n增加,Qn(1)的絕對值趨向于0,這表明新增加的像電荷的影響越來越小,最終當n大到一定程度時可以忽略.盡管此例中推導球外電勢的解析表達式非常困難,但從原則上講,根據(jù)鏡像電荷位置及其電量的迭代關系,容易求得球外電勢的近似解.在教學實踐中,此類問題適宜作為課后的習題,并要求學生編寫一個計算近似解的小程序,使學生在加深對鏡像法理解的同時,還可提高利用計算機解決實際問題的能力,畢竟計算機輔助計算已經(jīng)廣泛滲入到科學和工程各領域.2.3接觸條件的確定第3類可能適用鏡像法的介質(zhì)分界面是圓柱面,其中最具代表性的靜電場問題如圖6所示,設一線電荷與理想圓柱導體軸線平行且相距為d,圓柱體半徑為a<d,電荷線密度為uf06c,線電荷與導體圓柱均為無限長,試用鏡像法求解空間電勢.由電荷分布沿圓柱軸向的均勻性可知,線電荷l在導體圓柱內(nèi)的鏡像必定也是與軸平行的線電荷,且應與圓柱軸和原線電荷l共面,設像電荷線密度為λ′,到圓柱軸心的距離為b.現(xiàn)在問題歸結(jié)為計算滿足圓柱導體邊界條件的未知數(shù)λ′和b.我們不妨設λ′=-λ,看是否可以找到問題的試探解.柱外空間任一點P的電勢為線電荷λ及其像電荷λ′產(chǎn)生的電勢之和,而任一線電荷λ激起的電勢可以通過計算電場強度的積分得到,即:其中r和r0分別為空間點和電勢參考點到該線電荷源的距離,利用此公式,柱外空間P點的電勢等于式中ρ和ρ′分別是場點P到l和l′的距離,ρ0和ρ′0分別是電勢參考點到λ和λ′之距離.為了方便起見,我們選取電勢參考點滿足ρ0=ρ′0,則上式中第二項即可消失,于是得到更加簡化的電勢函數(shù)把式(21)用于圓柱面上任意點M,由于φ(M)等于常數(shù),所以在圓柱表面上ρ′/ρ必須等于常數(shù).這一限制條件在兩三角形△OSM和△OMS相似時得到滿足:即,于是我們得到b=a2/d,這個結(jié)果與點電荷和導體球靜電作用的情況相似.由對稱性知道,當觀察點M位于圖6右邊虛設圓柱上時,M點的移動使ρ′和ρ都在變化但比值仍保持不變.只是此時ρ′/ρ=d/a>1.利用這一對稱性特點,可以計算軸心距離為D,半徑為a的平行雙圓柱導體單位長度上的電容.設兩個平行導體圓柱分別如圖6中虛線和實線圓圈所示,它們分別帶正負線電荷,密度為±λ.則由鏡像法知,此雙圓柱體可用距圓柱軸心為b、線電荷密度為±λ的兩線電荷代替.容易看出,左右兩個圓柱上的電勢分別為:所以單位長度上的電容量為:式中d(28)D-b(28)D-a2/d,把d作為未知量解出,從而最后得到:歸納上述內(nèi)容,我們得到一些正確理解和使用鏡像法的原則:a.在所研究電勢的區(qū)域,代表源的自由點電荷的位置和大小不能變,或者理解為泊松方程的非齊次項不能變.因此,假想電荷必須放在所求區(qū)域之外.b.通過邊界條件來確定假想電荷的大小和位置.c.由于象電荷代替了真實的感應電荷或極化電荷的作用,因此放置像電荷后,就認為原來的真實的導體或介質(zhì)界面不存在,并且其介電常數(shù)要換成所研究場域的介電常數(shù).也就是把整個空間看成是無界的均勻空間.d.象