第20講導(dǎo)數(shù)與三角函數(shù)知識(shí)與方法常用的三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式有：，，．此外，解題時(shí)我們會(huì)經(jīng)常用到兩個(gè)重要的三角函數(shù)放縮不等式：①，；②，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．三角函數(shù)具有周期性，因此有關(guān)三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題所涉及的方法相對(duì)比較特殊，我們常常需要將函數(shù)限定在某一個(gè)周期范圍之內(nèi)進(jìn)行討論，在解題的過程中也會(huì)經(jīng)常用到三角函數(shù)的恒等變換，充分利用三角函數(shù)的這些性質(zhì)可以對(duì)函數(shù)模型進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)換，已達(dá)到所需要的目的．典型例題【例1】已知函數(shù)，則的最小值是______．【解析】【解法1】由題意可得是的一個(gè)周期，故只需考慮在上的值域，先來求該函數(shù)在上的極值點(diǎn)，求導(dǎo)可得，令可解得或，可得此時(shí)，或；∴的最小值只能在點(diǎn)，或和邊界點(diǎn)中取到，計(jì)算可得，，，，∴函數(shù)的最小值為，故答案為：．【解法2】運(yùn)用，與正切函數(shù)的關(guān)系，把轉(zhuǎn)化為關(guān)于的多項(xiàng)式函數(shù)．，令，設(shè)函數(shù)，則，令，得或，而可求得的最小值為，最大值為．【例2】已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．證明：（1）在區(qū)間存在唯一極大值點(diǎn)（2）有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）設(shè)，則，．當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，而，，可得在有唯一零點(diǎn)，設(shè)為．則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故在存在唯一極大值點(diǎn)，即在存在唯一極大值點(diǎn)．（2）的定義域?yàn)椋á。┊?dāng)時(shí)，由（1）知，在（-1，0）單調(diào)遞增，而，所以當(dāng)時(shí)，，故在（-1，0）單調(diào)遞減，又，從而是在的唯一零點(diǎn)．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（1）知，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，而，，所以存在，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．又，，所以當(dāng)時(shí)，．從而，在沒有零點(diǎn)．（ⅲ）當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞減．而，，所以在有唯一零點(diǎn)．（ⅳ）當(dāng)時(shí)，，所以，從而在沒有零點(diǎn)．綜上，有且僅有2個(gè)零點(diǎn)．【例3】已知函數(shù)．（1）討論在區(qū)間的單調(diào)性；（2）證明：；（3）設(shè)，證明：．【解析】（1），所以，令，解得，，或，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．證明：（2）因?yàn)?，由?）可知，，所以，，因?yàn)闉橹芷诤瘮?shù)且周期為，所以；（3）由，，．【例4】設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，證明；（3）設(shè)為函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的零點(diǎn)，其中，證明：．【解析】（1）由已知，有．因此，當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，有，得，則單調(diào)遞增所以，的單調(diào)遞增區(qū)間為，的單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）證明：記．依題意及（Ⅰ），有，從而．當(dāng)時(shí)，，故因此，在區(qū)間上單調(diào)遞減，進(jìn)而．所以，當(dāng)時(shí)，．（3）證明：依題意，，即．記，則，且由及（Ⅰ），得．由（Ⅱ）知，當(dāng)時(shí)，，所以在上為減函數(shù)，因此．又由（2）知，，故．所以，．【例5】已知函數(shù)，．（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若，求a．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，等價(jià)于，設(shè)，則，令，則，，，當(dāng)，，k=-1，1，3，…時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)或，，k=0，2，4，…時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，k=0，2，4，…為的極大值點(diǎn)，所以的極大值為，k=0，2，4，…，又．所以當(dāng)時(shí)，，即．（2）設(shè)，則，，當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，與矛盾，當(dāng)，即時(shí)，存在，使得，與矛盾，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，即，所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，所以時(shí)，單調(diào)遞增，時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，即．【例6】已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：．【解析】（1），設(shè)則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，在上存在，使得，所以當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)，．綜上所述，當(dāng)時(shí)，．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，，所以，即，當(dāng)時(shí)，，且，所以，即，所以當(dāng)時(shí)，．強(qiáng)化訓(xùn)練1．證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】證明：即為，當(dāng)時(shí)，，所以等價(jià)于，設(shè)，則，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，，故當(dāng)時(shí)，．2．已知函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求a，b；（2）求函數(shù)在上的最小值．【解析】（1）由切線方程知，當(dāng)時(shí)，，所以．因?yàn)?，所以由切線方程知，，所以，．（2）由（1）知，，所以函數(shù)，．設(shè)，則，故在上單調(diào)遞減．所以，所以在上單調(diào)遞減．所以函數(shù)在上的最小值為．3．設(shè)函數(shù)．（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求a，m；（2）關(guān)于x的方程能否有三個(gè)不同的實(shí)根？證明你的結(jié)論；（3）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【解析】（1），．（2）不可能有三個(gè)不同的實(shí)根，證明如下：令，如果有三個(gè)不同的實(shí)根，則至少要有三個(gè)單調(diào)區(qū)間，則至少兩個(gè)不等實(shí)根，所以只要證明在至多1個(gè)實(shí)根，，①當(dāng)時(shí)，，，所以，在單調(diào)遞增，所以在至多1個(gè)實(shí)根；②當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，，又因?yàn)闀r(shí)，，所以，在沒有實(shí)根，綜合①，②可知，在至多1個(gè)實(shí)根，所以得證．（3）因?yàn)閷?duì)任意恒成立，且，所以對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，令，則對(duì)任意恒成立，因?yàn)闀r(shí)，且，，所以在單調(diào)遞增，在恒成立，所以．4．已知函數(shù)．（1）若在上為增函數(shù)，求a的取值范圍；（2）當(dāng)時(shí)，證明：函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）因?yàn)?，由在上為增函?shù)，則在上恒成立，令，，，在上為增函數(shù)，時(shí)，，則，所以．（2）由，則，所以，是的兩個(gè)零點(diǎn)，因?yàn)?，由?）可知，在上為增函數(shù)，，無零點(diǎn)，所以下面證明在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．①當(dāng)時(shí)，，則，所以，無零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，在單調(diào)遞增，又因?yàn)?，，所以存在唯一，使得，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以在上僅有一個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)．5．已知函數(shù)．（1）若，求a的取值范圍；（2）證明：．【解析】（1）因?yàn)?，所以為偶函?shù)，只需考慮時(shí)的情況，當(dāng)時(shí)，，所以，可設(shè)，其中，則，當(dāng)0<a<1時(shí)，存在，使得，即，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，，綜上所述，若，則．（2）由（1）可知當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，，，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，，所以，在（-1，0）單調(diào)遞減，所以，即．6．已知函數(shù)，為的導(dǎo)數(shù)．（1）證明：在內(nèi)存在唯一零點(diǎn)；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍．【解析】（1）因?yàn)?，則，記，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，，，所以存在唯一，使得，即在?nèi)存在唯一零點(diǎn)．（2）由（1）可知，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，則至少滿足，，即，①時(shí)，，，滿足；②時(shí)，，而，滿足．即當(dāng)時(shí)，都有，又當(dāng)，時(shí)，，從而當(dāng)時(shí)，對(duì)于一切恒成立，故a的取值范圍為．7．知函數(shù)，．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：當(dāng)時(shí)，；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）當(dāng)，時(shí)，在單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，當(dāng)，時(shí)，在單調(diào)遞減，當(dāng)，時(shí)，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減．（2）設(shè)，則，因?yàn)?，則，在單調(diào)遞減，所以，得證．（3）因?yàn)?，時(shí)，，則，又所以8．已知函數(shù)．（1）求在區(qū)間的最大值；（2）討論在區(qū)間零點(diǎn)的個(gè)數(shù)．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，，所以，單調(diào)遞減，所以，當(dāng)時(shí)，的最大值是．（2）因?yàn)?，①?dāng)時(shí)，由（1）知單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以在有唯一零點(diǎn)．②當(dāng)時(shí)，令，則在時(shí)單調(diào)遞減，因?yàn)椋?，所以存在，使得，所以?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，所以，因?yàn)?，，所以存在，，存在，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，又，則，而，，所以在無零點(diǎn)，在有唯一零點(diǎn)，在無零點(diǎn)，綜上，在區(qū)間有兩個(gè)零點(diǎn)．9．已知點(diǎn)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，判斷在的單調(diào)性；（2）若時(shí)，，求m的取值范圍．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，所以，在單調(diào)遞減．（2）①當(dāng)時(shí)，成立．②當(dāng)時(shí)，，設(shè)，則，因?yàn)椋瑒t，在單調(diào)遞增，又，則，（?。┊?dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，因?yàn)?，則．（ⅱ）當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趩握{(diào)遞增，又當(dāng)時(shí)，，則存在，當(dāng)，，故在單調(diào)遞減，所以當(dāng)，，不合題意．綜上，．10．已知函數(shù)．（1）求曲線C：在處的切線方程；（2）當(dāng)時(shí)，設(shè)函數(shù)，若是在上的一個(gè)極值點(diǎn)，證明：是函數(shù)在上的唯一極大值點(diǎn)，且．【解析】（1），，，故所求切線方程為：．（2）證明：，，，，，時(shí)，，故在遞減，令，，，時(shí)，，故在遞減，，，，由零點(diǎn)存在性定理知：在上有唯一零點(diǎn)即在上有唯一零點(diǎn)，該零點(diǎn)即為，時(shí)，，即，時(shí)，，即，又時(shí)，，故在遞增，在遞減，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故是函?shù)在上的唯一的極大值點(diǎn)，且．11．設(shè)函數(shù)，其中．（1）若，證明：當(dāng)時(shí)，；（2）若在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求a的取值范圍．【解析】（1）證明：，由，得，，則，即在上為增函數(shù)．故，即．（2）由，得設(shè)函數(shù)，，則，令，得，隨著變化，與的變化情況如下表所示：+0-↗極大值↘所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．又因?yàn)?，，，所以?dāng)時(shí)，方程在區(qū)間內(nèi)有兩個(gè)不同解，且在區(qū)間與上各有一個(gè)解．即所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為．12．已知函數(shù)．（1）證明：在區(qū)間上單調(diào)遞減；（2）試比較，，的大小關(guān)系，并按從大到小的順序進(jìn)行排列．【解析】（1）證明：因?yàn)椋瑒t令，則，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，所以，即在上恒成立，故在區(qū)間上單調(diào)遞減．故（2）由（1）可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，則即，所以，又因?yàn)榧?，所以，綜上：這三個(gè)數(shù)的大小關(guān)系為：．13．已知．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求a的取值范圍；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．【解析】（1）因?yàn)?，令，解得：，所以時(shí)，，時(shí)，，所以在遞增，在遞減；（2）令，故，即恒成立，令，則恒成立，令，則下面證明，因?yàn)?，且時(shí)，所以，所以，遞減，所以，即a的范圍是；（3）由（2）可知：，時(shí)，，當(dāng)時(shí)，令，則，所以遞增，，即，又在遞增，故，故．14．已知函數(shù)，．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，，求m的取值范圍．【解析】（1），當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，，，函數(shù)單調(diào)遞減．（2）令，即恒成立，而，令，因?yàn)?，，所以在上單調(diào)遞增，，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，，符合題意；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，，與題意不合；當(dāng)時(shí)，為一個(gè)單調(diào)遞增的函數(shù)，而，，由零點(diǎn)存在性定理，以存在一個(gè)零點(diǎn)，使得，當(dāng)時(shí)，，從而在此區(qū)間上單調(diào)遞減，從而，與題意不合．綜上所述：m的取值范圍為．15．設(shè)函數(shù)．（1）求函數(shù)的極小值；（2）若關(guān)于x的不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；（3）已知，試比較與的大小，并說明理由．【解析】（1）函數(shù)，，所以在（0，1）上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，所以時(shí)，的極小值為0；（2）可化為，令，則，因?yàn)?，所以，在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，∴；（3）由（2）可知，．因?yàn)?，所以所以，所以，令，可得，，，，因?yàn)椋?，所以，，，，，，，?6．已知，，其中（與關(guān)于直線對(duì)稱）（1）若函數(shù)在區(qū)間（0，1）上遞增，求a的取值范圍；（2）證明：；（3）設(shè)，其中恒成立，求滿足條件的最小整數(shù)b的值．【解析】（1）由題意：，恒成立，則恒成立．又單調(diào)遞減，∴（2）由（1）知，當(dāng)時(shí)，在（0，1）單遞增所以，∴所以所以（3）由即：又，，因?yàn)?，則，所以，單調(diào)增，又，則必然存在，使得，所以在單減，單增，所以則，又，∴所以又，則所以，恒成立令，則，，所以在單調(diào)遞增，又所以，在單調(diào)遞增，所以，又b為整數(shù)．所以最小整數(shù)b的值為：2．17．已知函數(shù)，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時(shí)，討論的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，．．當(dāng)x在區(qū)間上變化時(shí)，，的變化如下表：x0+0-0+0--1↗極大值↘極小值1↗極大值↘所以的單調(diào)增區(qū)間為，；的單調(diào)減區(qū)間為，．（2）任取．，所以是偶函數(shù)．．當(dāng)時(shí)，在上恒成立，所以時(shí)，．所以在上單調(diào)遞增．又因?yàn)椋栽谏嫌?個(gè)零點(diǎn)．又因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以在上有0個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，令，得．由可知存在唯一使得．所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減．因?yàn)?，，．①?dāng)，即時(shí)，在上有0個(gè)零點(diǎn)．由是偶函數(shù)知在上有0個(gè)零點(diǎn)．②當(dāng)，即時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn)．由是偶函數(shù)知在上有2個(gè)零點(diǎn)．綜上，當(dāng)時(shí)，有2個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，有0個(gè)零點(diǎn)．18．已知函數(shù)，，．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）證明：有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．【解析】（1）解：依題意．令，，則．所以在區(qū)間上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，即，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，沒有單調(diào)遞增區(qū)間．（2）證明：由（Ⅰ）知，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，．當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)，即時(shí)，，即，在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，，，所以存在，使得．x，，的變化情況如下表：x+0-↗極大值↘所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，，且，所以，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．正負(fù)對(duì)結(jié)果無影響綜上所述，有且僅有一個(gè)零點(diǎn)．19．已知，函數(shù)．記為的從小到大的第個(gè)極值點(diǎn)．證明：（1）數(shù)列是等比數(shù)列；（2）若，則對(duì)一切，恒成立．【解析】（1）其中，．令，由得，即，．對(duì)，若，即，則；若，即，則．因此，在區(qū)間與上，的符號(hào)總相反，于是當(dāng)時(shí)，取得極值，所以．此時(shí)，．易知，而是常數(shù)，故數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）知，，于是對(duì)一切，恒成立，即恒成立，等價(jià)于（*）恒成立（因?yàn)椋?，設(shè)，則．令得，當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞增．從而當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值因此，要是（*）式恒成立，只需，即只需．而當(dāng)時(shí)，由且．于是，且當(dāng)時(shí)，．因此對(duì)一切，，所以．故（*）式亦恒成立．綜上所述，若，則對(duì)一切，恒成立．20．已知函數(shù)．（1）當(dāng)a=1時(shí)，求在上最值；（2）若對(duì)一切，，求a的取