...wd......wd......wd...方法:1利用Excel2000進(jìn)展主成分分析第一步，錄入數(shù)據(jù)，并對進(jìn)展標(biāo)準(zhǔn)化?！纠恳唤M古生物腕足動物貝殼標(biāo)本的兩個變量：長度和寬度。圖1原始數(shù)據(jù)和標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)及其均值、方差〔取自張超、楊秉庚《計量地理學(xué)根基》〕計算的詳細(xì)過程如下：=1\*GB2⑴將原始數(shù)據(jù)繪成散點(diǎn)圖〔圖2〕。主持分分析原則上要求數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢——如果數(shù)據(jù)之間不相關(guān)〔即正交〕，則沒有必要進(jìn)展主成分分析，因為主成分分析的目的就是用正交的變量代替原來非正交的變量；如果原始數(shù)據(jù)之間為非線性關(guān)系，則有必要對數(shù)據(jù)進(jìn)展線性轉(zhuǎn)換，否則效果不佳。從圖2可見，原始數(shù)據(jù)具有線性相關(guān)趨勢，且測定系數(shù)R2=0.4979，相應(yīng)地，相關(guān)系數(shù)R=0.7056。=2\*GB2⑵對數(shù)據(jù)進(jìn)展標(biāo)準(zhǔn)化。標(biāo)準(zhǔn)化的數(shù)學(xué)公式為這里假定按列標(biāo)準(zhǔn)化，式中，分別為第j列數(shù)據(jù)的均值和標(biāo)準(zhǔn)差，為第i行〔即第i個樣本〕、第j列〔即第j個變量〕的數(shù)據(jù)，為相應(yīng)于的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)，為樣本數(shù)目。圖2原始數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖圖3標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖對數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化的具體步驟如下：=1\*GB3①求出各列數(shù)據(jù)的均值，命令為average，語法為：average(起始單元格:終止單元格)。如圖1所示，在單元格B27中輸入“=AVERAGE(B1:B26)〞，確定或回車，即得第一列數(shù)據(jù)的均值；然后抓住單元格B27的右下角〔光標(biāo)的十字變細(xì)〕右拖至C27，便可自動生成第二列數(shù)據(jù)的均值。=2\*GB3②求各列數(shù)據(jù)的方差。命令為varp，語法同均值。如圖1所示，在單元格B28中輸入“=VARP(B2:B26)〞，確定或回車，可得第一列數(shù)據(jù)的方差，右拖至C28生成第二列數(shù)據(jù)的方差。=3\*GB3③求各列數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。將方差開方便得標(biāo)準(zhǔn)差。也可利用命令stdevp直接生成標(biāo)準(zhǔn)差，語法和操作方法同均值、方差，不贅述。=4\*GB3④標(biāo)準(zhǔn)化計算。如圖1所示，在單元格D2中輸入“=(B2-$B$27)/$B$29〞，回車可得第一列第一個數(shù)據(jù)“3〞的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值-1.786045，然后按住單元格D2的右下角下拖至D26，便會生成第一列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值；按照單元格D2的右下角右拖至E2，就能生成第二列第一個數(shù)據(jù)“2〞的標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)-1.806077，抓住單元格E2的右下角下拖至E26便會生成第二列數(shù)據(jù)的全部標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)值。=5\*GB3⑤作標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖〔圖3〕?？梢钥闯觯c(diǎn)列的總體趨勢沒有變換，兩種數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)化以前完全一樣。但回歸模型的截距近似為0，即有，斜率等于相關(guān)系數(shù)，即有。=3\*GB2⑶求標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)矩陣或協(xié)方差矩陣。求相關(guān)系數(shù)矩陣的方法是：沿著“工具〔T〕〞→“數(shù)據(jù)分析〔D〕〞的路徑翻開“分析工具〔A〕〞選項框〔圖4〕，確定，彈出“相關(guān)系數(shù)〞對話框〔圖5〕，在“輸入?yún)^(qū)域〞的空白欄中輸入標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)范圍，并以單元格G1為輸出區(qū)域，具體操作方法類似于回歸分析。確定，即會在輸出區(qū)域給出相關(guān)圖4分析工具選項框圖5相關(guān)系數(shù)對話框系數(shù)矩陣的下三角即對角線局部，由于系對稱矩陣，上三角的數(shù)值與下三角相等，故未給出〔圖6〕，可以通過“拷貝——轉(zhuǎn)置——粘帖〞的方式補(bǔ)充空白局部。圖6標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)和協(xié)方差求協(xié)方差的方法是在“分析工具〞選項框中選擇“協(xié)方差〞〔圖7〕，彈出“協(xié)方差〞選項框〔圖8〕，具體設(shè)置與“相關(guān)系數(shù)〞類似，不贅述。結(jié)果見圖6，可以看出，對于標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)而言，協(xié)方差矩陣與相關(guān)系數(shù)矩陣完全一樣。因此，二者任取其一即可。圖7在分析工具選項框中選擇“協(xié)方差〞圖8協(xié)方差選項框=4\*GB2⑷計算特征根。我們已經(jīng)得到相關(guān)系數(shù)矩陣為，而二階單位矩陣為，于是根據(jù)公式，我們有按照行列式化為代數(shù)式的規(guī)則可得根據(jù)一元二次方程的求根公式，當(dāng)時，我們有據(jù)此解得，〔對于本例，顯然，〕。這便是相關(guān)系數(shù)矩陣的兩個特征根。=5\*GB2⑸求標(biāo)準(zhǔn)正交向量。將代入矩陣方程，得到在系數(shù)矩陣中，用第一行加第二行，化為由此得，令，則有，于是得根基解系，單位化為單位化的公式為〔〕。完全類似，將代入矩陣方程，得到用系數(shù)矩陣的第二行減去第一行，化為于是得到，取，則有，因此得根基解系為，單位化為這里、便是標(biāo)準(zhǔn)正交向量。=6\*GB2⑹求對角陣。首先建設(shè)標(biāo)準(zhǔn)正交矩陣P，即有該矩陣的一個特殊性質(zhì)便是，即矩陣的轉(zhuǎn)置等于矩陣的逆。根據(jù)，可知下面說明一下利用Excel進(jìn)展矩陣乘法運(yùn)算的方法。矩陣乘法的命令為mmult，語法是mmult(矩陣1的單元格范圍，矩陣2的單元格范圍)。例如，用矩陣與矩陣C相乘，首先選擇一個輸出區(qū)域如G1:H2，然后輸入“=mmult(A1:B2,C1:D2)〞，然后按下“Ctrl+Shift+Enter〞鍵〔圖9〕，即可給出1.2060441.2060440.20817-0.20817再用乘得的結(jié)果與P陣相乘，便得對角矩陣1.705603000.294397如果希望一步到位也不難，選定輸出區(qū)域如C3:D4，然后輸入“=mmult(mmult(A1:B2,C1:D2),E1:F2)〞〔圖10〕，同時按下“Ctrl+Shift+Enter〞鍵，立即得到結(jié)果〔圖11〕。顯然，對角矩陣對角線的數(shù)值恰是相關(guān)系數(shù)矩陣的特征值。圖9矩陣乘法例如圖10矩陣連乘的命令與語法至此，標(biāo)準(zhǔn)化的原始變量x與主成分之間z之間可以表作顯然與之間正交。圖11乘法結(jié)果：對角矩陣=7\*GB2⑺根據(jù)特征根計算累計方差奉獻(xiàn)率?，F(xiàn)已求得第一特征根為，第二特征根為，二者之和剛好就是矩陣的維數(shù)，即有，這里m=2為變量數(shù)目〔注意前面的n=25為樣本數(shù)目〕。比擬圖6或圖10中給出的相關(guān)系數(shù)矩陣C與圖11中給出的對角矩陣D可以看出，Tr.(C)=1+1=2，Tr.(D)=1.7056+0.2944=2，即有Tr.(C)=Tr.(D)，可見將相關(guān)系數(shù)亦即協(xié)方差矩陣轉(zhuǎn)換為對角矩陣以后，矩陣的跡〔trace，即對角線元素之和〕沒有改變，這意味著將原始變量化為主成分以后，系統(tǒng)的信息量沒有減少?，F(xiàn)在問題是，如果我們只取一個主成分代表原來的兩個變量，能反映原始變量的多少信息這個問題可以借助相關(guān)系數(shù)矩陣的特征根來判斷。利用Excel容易算出，第一特征根占特征根總和即矩陣維數(shù)的85.28%〔見下表〕，即有特征根累計值百分比累計百分比1.7056031.70560385.28%85.28%0.294397214.72%100.00%也就是說：：1.7056，：0.2944，：2，這說明，如果僅取第一個主成分，可以反映原來數(shù)據(jù)85.28%的信息——換言之，舍棄第二個主成分，原來數(shù)據(jù)的信息僅僅損失14.72%，但分析變量的自由度卻減少一個，整個分析將會顯得更加簡明。=8\*GB2⑻計算主成分載荷。根據(jù)公式，容易算出=9\*GB2⑼計算公因子方差和方差奉獻(xiàn)。根據(jù)上述計算結(jié)果可以比擬公因子方差和方差奉獻(xiàn)。再考慮全部的兩個主成分的時候，對應(yīng)于和的公因子方差分別為對應(yīng)于第一主成分z1和第二主成分z2的方差奉獻(xiàn)分別為可以看出〔圖12〕：第一，方差奉獻(xiàn)等于對應(yīng)主成分的特征根，即有第二，公因子方差相等或彼此接近，即有第一，公因子方差之和等于方差奉獻(xiàn)之和，即有第一個規(guī)律是我們決定提取主成分?jǐn)?shù)目的判據(jù)與之一，第二個規(guī)律是我們判斷提取主成分?jǐn)?shù)目是否適宜的判據(jù)之一，第三個規(guī)律是我們判斷提取主成分后是否損失信息的判據(jù)之一。去掉次要的主成分以后，上述規(guī)律理當(dāng)仍然滿足。這時如果第二個規(guī)律不滿足，就意味著主成分的提取是不適宜的。此外，上述規(guī)律也是我們檢驗計算結(jié)果是否正確的判據(jù)之一。圖12公因子方差、方差奉獻(xiàn)的計算結(jié)果及其與特征根的奉獻(xiàn)=10\*GB2⑽計算主成分得分。根據(jù)主成分與原始變量的關(guān)系，應(yīng)有或者對于本例而言，式中，，這里，為前面計算的標(biāo)準(zhǔn)化特征向量。于是有化為代數(shù)形式便是式中的x均為標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)。對進(jìn)展轉(zhuǎn)置，可得圖13計算特征向量的公式及語法圖14計算主成分得分根據(jù)這個式子，利用Excel計算主成分得分的步驟如下：=1\*GB3①將特征向量復(fù)制到標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的附近；=2\*GB3②選中一個與標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)占據(jù)范圍一樣大小的數(shù)值區(qū)域〔如G2:H26〕；=3\*GB3③輸入如下計算公式“=mmult(標(biāo)準(zhǔn)化數(shù)據(jù)的范圍，特征向量的范圍)〞，在本例中就是“=MMULT(B2:C26,E2:F3)〞〔圖13〕；=4\*GB3④同時按下“Ctrl+Shift+Enter〞鍵。=5\*GB3⑤計算主成分得分的均值和方差，可以發(fā)現(xiàn)，均值為0〔由于誤差之故，約等于0〕，方差等于特征根。=6\*GB3⑥最后，可以對主成分得分進(jìn)展標(biāo)準(zhǔn)化。主成分得分的均值為0,我們不按總體方差進(jìn)展標(biāo)準(zhǔn)化，而按樣本方差進(jìn)展標(biāo)準(zhǔn)化。圖15主成分得分的標(biāo)準(zhǔn)化結(jié)果樣本方差的計算公式為相應(yīng)地，標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)化公式同前面給出的一樣。結(jié)果見表15。注意，這里之所以按樣本方差進(jìn)展標(biāo)準(zhǔn)化，主要目的是為了與SPSS的計算結(jié)果進(jìn)展比擬。分別以z1、z2為坐標(biāo)軸，將主成分得分〔包括標(biāo)準(zhǔn)化的得分〕點(diǎn)列標(biāo)繪于坐標(biāo)圖中，可以發(fā)現(xiàn)，點(diǎn)列分布沒有任何趨勢：回歸結(jié)果說明，回歸系數(shù)和相關(guān)系數(shù)均為