第三章扭轉(zhuǎn)材料力學(xué)1§3–1概述軸：工程中以扭轉(zhuǎn)為主要變形的構(gòu)件。如：機器中的傳動軸、石油鉆機中的鉆桿等。扭轉(zhuǎn)：外力的合力為一力偶，且力偶的作用面與直桿的軸線垂直，桿發(fā)生的變形為扭轉(zhuǎn)變形。ABOmm

OBA

2扭轉(zhuǎn)角（

）：任意兩截面繞軸線轉(zhuǎn)動而發(fā)生的角位移。剪應(yīng)變（

）：直角的改變量。mm

OBA

3§3–2傳動軸的外力偶矩·扭矩及扭矩圖一、傳動軸的外力偶矩

傳遞軸的傳遞功率、轉(zhuǎn)速與外力偶矩的關(guān)系：其中：P—功率，千瓦（kW）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）其中：P—功率，馬力（PS）n—轉(zhuǎn)速，轉(zhuǎn)/分（rpm）43扭矩的符號規(guī)定：“T”的轉(zhuǎn)向與截面外法線方向滿足右手螺旋規(guī)則為正，反之為負。二、扭矩及扭矩圖mmmTx1扭矩：構(gòu)件受扭時，橫截面上的內(nèi)力偶矩，記作“T”。

2截面法求扭矩54扭矩圖：表示沿桿件軸線各橫截面上扭矩變化規(guī)律的圖線。目的①扭矩變化規(guī)律；②|T|max值及其截面位置強度計算（危險截面）。xT

6[例1]已知：一傳動軸，n=300r/min，主動輪輸入P1=500kW，從動輪輸出P2=150kW，P3=150kW，P4=200kW，試繪制扭矩圖。nABCDm2

m3

m1

m4解：①計算外力偶矩7nABCDm2

m3

m1

m4112233②求扭矩（扭矩按正方向設(shè)）8③繪制扭矩圖BC段為危險截面。xTnABCDm2

m3

m1

m44.789.566.37

––9§3–3薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓筒：壁厚（r0：為平均半徑）一、實驗：1.實驗前：①繪縱向線，圓周線；②施加一對外力偶m。102.實驗后：①圓周線不變；②縱向線變成斜直線。3.結(jié)論：①圓筒表面的各圓周線的形狀、大小和間距均未改變，只是繞軸線作了相對轉(zhuǎn)動。

②各縱向線均傾斜了同一微小角度

。

③所有矩形網(wǎng)格均歪斜成同樣大小的平行四邊形。11

acddxbdy′′

①無正應(yīng)力②橫截面上各點處，只產(chǎn)生垂直于半徑的均勻分布的剪應(yīng)力

，沿周向大小不變，方向與該截面的扭矩方向一致。4.

與的關(guān)系：微小矩形單元體如圖所示：12二、薄壁圓筒剪應(yīng)力

大?。?/p>

A0：平均半徑所作圓的面積。13三、剪應(yīng)力互等定理：

上式稱為剪應(yīng)力互等定理。該定理表明：在單元體相互垂直的兩個平面上，剪應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且數(shù)值相等，兩者都垂直于兩平面的交線，其方向則共同指向或共同背離該交線。acddxb

dy′′tz

14四、剪切虎克定律：

單元體的四個側(cè)面上只有剪應(yīng)力而無正應(yīng)力作用，這種應(yīng)力狀態(tài)稱為純剪切應(yīng)力狀態(tài)。15

T=m

剪切虎克定律：當(dāng)剪應(yīng)力不超過材料的剪切比例極限時（τ≤τp)，剪應(yīng)力與剪應(yīng)變成正比關(guān)系。16式中：G是材料的一個彈性常數(shù)，稱為剪切彈性模量，因

無量綱，故G的量綱與

相同，不同材料的G值可通過實驗確定，鋼材的G值約為80GPa。剪切彈性模量、彈性模量和泊松比是表明材料彈性性質(zhì)的三個常數(shù)。對各向同性材料，這三個彈性常數(shù)之間存在下列關(guān)系：可見，在三個彈性常數(shù)中，只要知道任意兩個，第三個量就可以推算出來。17§3–4等直圓桿在扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力·強度條件等直圓桿橫截面應(yīng)力①變形幾何方面②物理關(guān)系方面③靜力學(xué)方面1.橫截面變形后仍為平面；2.軸向無伸縮；3.縱向線變形后仍為平行。一、等直圓桿扭轉(zhuǎn)實驗觀察：18二、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時橫截面上的應(yīng)力：1.變形幾何關(guān)系：距圓心為

任一點處的

與到圓心的距離

成正比?！まD(zhuǎn)角沿長度方向變化率。19Ttmaxtmax2.物理關(guān)系：虎克定律：代入上式得：203.靜力學(xué)關(guān)系：TOdA

令代入物理關(guān)系式得：21—橫截面上距圓心為

處任一點剪應(yīng)力計算公式。4.公式討論：①僅適用于各向同性、線彈性材料，在小變形時的等圓截面直桿。②式中：T—橫截面上的扭矩，由截面法通過外力偶矩求得。

—該點到圓心的距離。Ip—極慣性矩，純幾何量，無物理意義。22單位：mm4，m4。③盡管由實心圓截面桿推出，但同樣適用于空心圓截面桿，只是Ip值不同。對于實心圓截面：D

d

O23對于空心圓截面：dDO

d

24④應(yīng)力分布TtmaxtmaxtmaxtmaxT（實心截面）（空心截面）工程上采用空心截面構(gòu)件：提高強度，節(jié)約材料，重量輕，結(jié)構(gòu)輕便，應(yīng)用廣泛。25⑤確定最大剪應(yīng)力：由知：當(dāng)Wt—抗扭截面系數(shù)（抗扭截面模量），幾何量，單位：mm3或m3。對于實心圓截面：對于空心圓截面：26三、等直圓桿扭轉(zhuǎn)時斜截面上的應(yīng)力低碳鋼試件：沿橫截面斷開。鑄鐵試件：沿與軸線約成45

的螺旋線斷開。因此還需要研究斜截面上的應(yīng)力。鏈接至扭轉(zhuǎn)變形271.點M的應(yīng)力單元體如圖(b)：(a)M(b)tt′tt′(c)2.斜截面上的應(yīng)力；取分離體如圖(d)：(d)

t′t

tasax28(d)

t′t

tasaxnt轉(zhuǎn)角規(guī)定：軸正向轉(zhuǎn)至截面外法線逆時針：為“+”順時針：為“–”由平衡方程：解得：29分析：當(dāng)

=0時，當(dāng)

=45時，當(dāng)

=–45時，當(dāng)

=90時，tt′smaxsmin45°由此可見：圓軸扭轉(zhuǎn)時，在橫截面和縱截面上的剪應(yīng)力為最大值；在方向角

=

45

的斜截面上作用有最大壓應(yīng)力和最大拉應(yīng)力。根據(jù)這一結(jié)論，就可解釋前述的破壞現(xiàn)象。30四、圓軸扭轉(zhuǎn)時的強度計算強度條件：對于等截面圓軸：([

]

稱為許用剪應(yīng)力。)強度計算三方面：①校核強度：②設(shè)計截面尺寸：③計算許可載荷：31[例2]功率為150kW，轉(zhuǎn)速為15.4轉(zhuǎn)/秒的電動機轉(zhuǎn)子軸如圖，許用剪應(yīng)力[

]=30MPa,試校核其強度。Tm解：①求扭矩及扭矩圖②計算并校核剪應(yīng)力強度③此軸滿足強度要求。D3

=13