./導數(shù)與三角函數(shù)壓軸題歸納總結(jié)近幾年的高考數(shù)學試題中頻頻出現(xiàn)含導數(shù)與三角函數(shù)零點問題,容主要包括函數(shù)零點個數(shù)的確定、根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)圍、隱零點問題及零點存在性賦值理論.其形式逐漸多樣化、綜合化.零點存在定理例1.[2019全國Ⅰ理20]函數(shù),為的導數(shù)．證明：〔1在區(qū)間存在唯一極大值點；〔2有且僅有2個零點．[解析]〔1設,則.當時,單調(diào)遞減,而,可得在有唯一零點,設為.則當時,；當時,.所以在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,故在存在唯一極大值點,即在存在唯一極大值點.〔2的定義域為.〔i由〔1知,在單調(diào)遞增,而,所以當時,,故在單調(diào)遞減,又,從而是在的唯一零點.〔ii當時,由〔1知,在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,而,,所以存在,使得,且當時,；當時,.故在單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減.又,,所以當時,.從而在沒有零點.〔iii當時,,所以在單調(diào)遞減.而,所以在有唯一零點.〔iv當時,,所以<0,從而在沒有零點.綜上,有且僅有2個零點.[變式訓練1][2020·南開中學月考]已知函數(shù)且在上的最大值為,〔1求函數(shù)f<x>的解析式；<2>判斷函數(shù)f<x>在〔0,π的零點個數(shù),并加以證明[解析]<1>由已知得對于任意的x∈<0,>,有,當a=0時,f<x>=?,不合題意；當a<0時,x∈<0,>,f′<x><0,從而f<x>在<0,>單調(diào)遞減,又函數(shù)<a∈R>在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的,故函數(shù)在[0,]上的最大值為f<0>,不合題意；當a>0時,x∈<0,>,f′<x>>0,從而f<x>在<0,>單調(diào)遞增,又函數(shù)<a∈R>在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的,故函數(shù)在[0,]上上的最大值為f<>=a?=,解得a=1,綜上所述,得；<2>函數(shù)f<x>在<0,π>有且僅有兩個零點。證明如下：由<I>知,從而有f<0>=?<0,f<>=π?32>0,又函數(shù)在[0,]上圖象是連續(xù)不斷的,所以函數(shù)f<x>在<0,>至少存在一個零點,又由<I>知f<x>在<0,>單調(diào)遞增,故函數(shù)f<x>在<0,>僅有一個零點。當x∈[,π]時,令g<x>=f′<x>=sinx+xcosx,由g<>=1>0,g<π>=?π<0,且g<x>在[,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,故存在m∈,π>,使得g<m>=0.由g′<x>=2cosx?xsinx,知x∈<,π>時,有g(shù)′<x><0,從而g<x>在[,π]上單調(diào)遞減。當x∈,m>,g<x>>g<m>=0,即f′<x>>0,從而f<x>在<,m>單調(diào)遞增故當x∈<,m>時,f<x>>f<π2>=π?32>0,從而<x>在<,m>無零點；當x∈<m,π>時,有g(shù)<x><g<m>=0,即f′<x><0,從而f<x>在<,m>單調(diào)遞減。又f<m>>0,f<π><0且f<x>在[m,π]上的圖象是連續(xù)不斷的,從而f<x>在[m,π]有且僅有一個零點。綜上所述,函數(shù)f<x>在<0,π>有且僅有兩個零點。[變式訓練2][2020·棗莊期末]已知函數(shù),為的導函數(shù).<1>求證:在上存在唯一零點;<2>求證:有且僅有兩個不同的零點.[解析]<1>設,當時,,所以在上單調(diào)遞減,又因為,所以在上有唯一的零點,所以命題得證．<2>①由<1>知：當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,在上單調(diào)遞減;所以在上存在唯一的極大值點所以又因為,所以在上恰有一個零點．又因為,所以在上也恰有一個零點．②當時,,,設,所以在上單調(diào)遞減,所以所以當時,恒成立所以在上沒有零點．③當時,設,所以在上單調(diào)遞減,所以所以當時,恒成立所以在上沒有零點．綜上,有且僅有兩個零點．[變式訓練3]〔2020年3月市高三質(zhì)檢文〔1研究函數(shù)上的單調(diào)性；〔2求函數(shù)的最小值解析〔1略[變式訓練4]〔2020年3月市高三質(zhì)檢理〔1證明函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；〔2證明函數(shù)在上有且僅有一個極大值點,且[變式訓練5]〔2020年省九校高三第二次聯(lián)考理科數(shù)學[變式訓練6]〔2020年省八校高三第三次質(zhì)檢理科數(shù)學解析：二、零點存在性賦值理論例、〔2020年省一中模擬已知函數(shù)〔1當