./構(gòu)造法在初中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[摘要]構(gòu)造法是一種重要的數(shù)學(xué)解題方法,在解題中被廣泛應(yīng)用。構(gòu)造法是一種極其富有技巧性和創(chuàng)造性的解題方法,特別是有些問(wèn)題,用構(gòu)造法更簡(jiǎn)捷明了。本文簡(jiǎn)單闡述了構(gòu)造法的概念,重點(diǎn)論述了構(gòu)造在初中數(shù)學(xué)解題中的運(yùn)用。[關(guān)鍵詞]構(gòu)造法數(shù)學(xué)解題應(yīng)用波利亞說(shuō)過(guò)："解題的成功要靠正確思路的選擇,要靠從可以接近它的方向去攻擊堡壘。"解數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),常規(guī)的思考方法是由條件到結(jié)論的定向思考,但有些問(wèn)題用常規(guī)的思維方式來(lái)尋求解題途徑卻比較困難,甚至無(wú)從著手。在這種情況下,經(jīng)常要求我們改變思維方向,換一個(gè)角度去思考從而找到一條繞過(guò)障礙的新途徑。構(gòu)造法就是這樣的手段之一。本文將對(duì)構(gòu)造法及其在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用做簡(jiǎn)單探討,通過(guò)示例,不斷加深對(duì)構(gòu)造法的理解。一、對(duì)"構(gòu)造法"的概述與基本特征構(gòu)造法是根據(jù)題設(shè)的特點(diǎn),用已知條件中的元素作為"元件",用已知的關(guān)系式為"支架",通過(guò)觀(guān)察、聯(lián)想,采用新的設(shè)計(jì),構(gòu)造出一種新的問(wèn)題形式,從而繞過(guò)解題障礙,使問(wèn)題得到解決的一種方法。在運(yùn)用構(gòu)造法時(shí),一要明確構(gòu)造的目的,即為什么目的而構(gòu)造；二要弄清楚問(wèn)題的特點(diǎn),以便依據(jù)特點(diǎn)確定方案,實(shí)現(xiàn)構(gòu)造.構(gòu)造法的基本特征如下：1.對(duì)所要討論的問(wèn)題給出了較為直觀(guān)的描述；2.不但回答了提出的問(wèn)題,而且構(gòu)造出具體的結(jié)果。二、構(gòu)造法在解題中的應(yīng)用1．構(gòu)造函數(shù)在求解某些數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí),根據(jù)問(wèn)題的條件,構(gòu)想組合一種新的函數(shù)關(guān)系,使問(wèn)題在新的觀(guān)念下轉(zhuǎn)化并利用函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)解決原問(wèn)題是一種行之有效的解題手段。構(gòu)造函數(shù)證〔解問(wèn)題是一種創(chuàng)造性思維過(guò)程,具有較大的靈活性和技巧性。在運(yùn)用過(guò)程中,應(yīng)有目的、有意識(shí)地進(jìn)行構(gòu)造,始終"盯住"要證、要解的目標(biāo)。例1：〔八年下課本習(xí)題變式某工廠(chǎng)現(xiàn)有甲種原料360千克,乙種原料290千克,計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品,共50件。已知生產(chǎn)一件種產(chǎn)品,需用甲種原料9千克、乙種原料3千克,可獲利潤(rùn)700元；生產(chǎn)一件種產(chǎn)品,需用甲種原料4千克、乙種原料10千克,可獲利潤(rùn)1200元?！?按要求安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù),有哪幾種方案？請(qǐng)你設(shè)計(jì)出來(lái)；〔2設(shè)生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品獲總利潤(rùn)為〔元,生產(chǎn)種產(chǎn)品件,試寫(xiě)出與之間的函數(shù)關(guān)系式,并利用函數(shù)的性質(zhì)說(shuō)明〔1中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？解：〔1設(shè)需要生產(chǎn)種產(chǎn)品件,那么需要生產(chǎn)種產(chǎn)品件,由題意得：解得：,是正整數(shù),或31或32,有三種生產(chǎn)方案：①生產(chǎn)種產(chǎn)品30件,生產(chǎn)種產(chǎn)品20件；②生產(chǎn)種產(chǎn)品31件,生產(chǎn)種產(chǎn)品19件；③生產(chǎn)種產(chǎn)品32件,生產(chǎn)種產(chǎn)品18件；〔2由題意得：,隨的增大而減小,∴當(dāng)=30時(shí),有最大值,最大值為：=45000〔元,答：與之間的函數(shù)關(guān)系式為：,〔1中的方案①獲利最大,最大利潤(rùn)為45000元。例2：求函數(shù)的最大值.解：由根號(hào)下的式子看出且,故可聯(lián)想到三角函數(shù)關(guān)系式并構(gòu)造,所以,當(dāng)即時(shí),.2.構(gòu)造方程方程,作為中學(xué)數(shù)學(xué)的重要容之一,與數(shù)、式、函數(shù)等諸多知識(shí)密切相關(guān)。根據(jù)問(wèn)題條件中的數(shù)量關(guān)系和結(jié)構(gòu)特征,構(gòu)造出一個(gè)新的方程,然后依據(jù)方程的理論,往往能使問(wèn)題在新的關(guān)系下得以轉(zhuǎn)化而獲解。構(gòu)造方程是初等代數(shù)的基本方法之一。如列方程解應(yīng)用題,求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程等即屬此法.構(gòu)造方程解題體現(xiàn)了方程的觀(guān)點(diǎn),運(yùn)用方程觀(guān)點(diǎn)解題可歸結(jié)為3個(gè)步驟：.將所面臨的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為方程問(wèn)題；.解這個(gè)方程或討論這個(gè)方程的有關(guān)性質(zhì)〔常用判別式與韋達(dá)定理,得出相應(yīng)結(jié)論；.將方程的相應(yīng)結(jié)論再返回為原問(wèn)題的結(jié)論?！?某些題目根據(jù)條件、仔細(xì)觀(guān)察其特點(diǎn),構(gòu)造一個(gè)"一元一次方程"求解,從而獲得問(wèn)題解決.例3：設(shè)且,,求的圍.解：由得〔1將〔1的兩邊平方并將代入得〔2由〔1〔2可知,是方程的兩個(gè)不等的實(shí)根于是解得：即：〔2有些問(wèn)題,直接求解比較困難,但如果根據(jù)問(wèn)題的特征,通過(guò)轉(zhuǎn)化,構(gòu)造"一元二次方程",再用根與系數(shù)的關(guān)系求解,使問(wèn)題得到解決。此方法簡(jiǎn)明、功能獨(dú)特,應(yīng)用比較廣泛,特別在數(shù)學(xué)競(jìng)賽中的應(yīng)用。例4：已知實(shí)數(shù)、、滿(mǎn)足求的值。思考與分析：根據(jù)本題的題設(shè)可能使我們聯(lián)想到韋達(dá)定理,但仍需進(jìn)行合理的變形,才能構(gòu)造出方程組去求解。解：由已知可得：以、為兩實(shí)數(shù)根,構(gòu)造方程方程有實(shí)數(shù)根由此得到,且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根于是,,3.構(gòu)造幾何圖形〔1對(duì)于條件和結(jié)論之間聯(lián)系較隱蔽問(wèn)題,要善于發(fā)掘題設(shè)條件中的幾何意義,可以通過(guò)構(gòu)造適當(dāng)?shù)膱D形把其兩者聯(lián)系起來(lái),從而構(gòu)造出幾何圖形,把代數(shù)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為幾何問(wèn)題來(lái)解決。增強(qiáng)問(wèn)題的直觀(guān)性,使問(wèn)題的解答事半功倍。例5：已知：,,求證：.分析：在求證條件不等式時(shí),可根據(jù)題設(shè)條件作出對(duì)應(yīng)的圖形,然后運(yùn)用圖形的幾何性質(zhì)或者平面幾何的定理、公理去建立不等式使結(jié)論獲證。證明：如圖1:作邊長(zhǎng)為1的正方形,在上取點(diǎn),使=；在上取點(diǎn),使=,過(guò)//交于；作//交于.設(shè)與交于點(diǎn),連接、、、、、.由題設(shè)及作圖知、、、均為直角三角形,因此且由于所以：當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),等號(hào)成立。2、在解幾何題時(shí),借助有關(guān)性質(zhì),巧妙構(gòu)造,可迅速找到解題途徑,不僅能使問(wèn)題化難為易,迎忍而解,而且有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和幾何證題能力。例6：如圖2：Rt中,直角∠的平分線(xiàn)與斜邊的中垂線(xiàn)線(xiàn)交于,求證：.思考與分析：由已知條件和圖形聯(lián)想到是Rt的外接圓⊙的直徑,只需作⊙,證明點(diǎn)在圓上即可。證明：作Rt的外接圓⊙,則為直徑,為圓心?！叽怪逼椒帧嗤ㄟ^(guò)弧的中點(diǎn)∴是∠的平分線(xiàn)∴也通過(guò)弧的中點(diǎn)∴、的交點(diǎn)必為弧的中心即點(diǎn)在⊙上,∴4、構(gòu)造特例、反例在解題中,我們可以考慮問(wèn)題中的特殊情形、極端情況、特例、反例,這也是我們解決問(wèn)題的一種方法,特別對(duì)于一些假命題的證明,經(jīng)常通過(guò)構(gòu)造一個(gè)符合命題條件但結(jié)論不成立的例子來(lái)證明即可。例7：,,都是實(shí)數(shù),考慮如下命題：〔1若,且,則；〔2若,且,則；〔3若,且,則；試判斷哪些命題正確,哪些命題不正確。對(duì)你認(rèn)為正確的命題給出證明；認(rèn)為不正確的命題,用反例予以否定。分析：命題〔1不正確,構(gòu)造反例如下：令,,此時(shí)且,滿(mǎn)足條件,但結(jié)論不成立。命題〔2成立：證明：,因?yàn)?所以且,,因此.即命題成立。命題〔3不成立：令,,此時(shí),且滿(mǎn)足條件,但結(jié)論不成立。例8：證明以下命題為假命題：若兩個(gè)三角形的三個(gè)角和三條邊六個(gè)元素中有五個(gè)元素分別相等,則這兩個(gè)三角形全等。思考與分析：只要構(gòu)造的一個(gè)符合命題的條件,但不滿(mǎn)足命題的結(jié)論的例子即可。證明：如圖3,和中,使,,,.∽∠=∠∠=∠∠=∠即和滿(mǎn)足五個(gè)元素分別相等,但它們不全等。故該命題是假命題。從以上各例不難看出,構(gòu)造法解題有著你意想不到的功效,問(wèn)題很快便可解決。構(gòu)造法解題重在"構(gòu)造",通過(guò)仔細(xì)地觀(guān)察、分析、去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題的各個(gè)環(huán)節(jié)以及其中的聯(lián)系,從而為尋求解法創(chuàng)造條件。因此,在解題時(shí),若能啟發(fā)學(xué)生從多角度,多渠道進(jìn)行廣泛的聯(lián)想,就會(huì)得到許多構(gòu)思巧妙,新穎獨(dú)特,簡(jiǎn)捷有效的解題方法,而且還能加強(qiáng)學(xué)生對(duì)知識(shí)的理解。運(yùn)用構(gòu)造法解題能培養(yǎng)學(xué)生思維的靈活性,提高學(xué)生分析問(wèn)題的創(chuàng)新能力,也可從中欣賞數(shù)學(xué)之美,感受解題樂(lè)趣。參考文獻(xiàn)[1]明振.數(shù)學(xué)