第五章平面向量與復(fù)數(shù)第二講平面向量的基本定理及坐標(biāo)表示知識梳理·雙基自測名師講壇·素養(yǎng)提升考點突破·互動探究知識梳理·雙基自測知識點一平面向量的基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個__________向量，那么對這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2使a＝__________.知識點二平面向量的坐標(biāo)表示在直角坐標(biāo)系內(nèi)，分別取與________________________的兩個單位向量i，j作為基底，對任一向量a，有唯一一對實數(shù)x，y，使得：a＝xi＋yj，________叫做向量a的直角坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，顯然i＝_______，j＝(0,1)，0＝_______.不共線λ1e1＋λ2e2x軸，y軸正方向相同(x，y)(1,0)(0,0)知識點三平面向量的坐標(biāo)運算(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝__________________，a－b＝______________________，λa＝_____________a|＝________.(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點是坐標(biāo)原點，則終點坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)．(x1＋x2，y1＋y2)(x1－x2，y1－y2)(λx1，λy1)(x2－x1，y2－y1)x1y2－x2y1＝0兩個向量作為基底的條件：作為基底的兩個向量必須是不共線的．平面向量的基底可以有無窮多組．題組一走出誤區(qū)1．判斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任意兩個向量都可以作為一組基底．()(2)若a，b不共線，且λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.()×√×√√題組二走進教材2．(必修2P60T2(6)改編)下列各組向量中，可以作為基底的是()A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)B[解析]

A選項中，零向量與任意向量都共線，故其不可以作為基底；B選項中，不存在實數(shù)λ，使得e1＝λe2.故兩向量不共線，故其可以作為基底；C選項中，e2＝2e1，兩向量共線，故其不可以作為基底；D選項中，e1＝4e2，兩向量共線，故其不可以作為基底．故選B.A4．(多選題)(必修2P30T1改編)在平面上的點A(2,1)，B(0,2)，

C(－2,1)，O(0,0)，下面結(jié)論正確的是()BCB6．(2018·全國卷Ⅲ，13,5分)已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－2)，c＝(1，λ)．若c∥(2a＋b)，則λ＝______.A考點突破·互動探究例1考點一平面向量基本定理的應(yīng)用——師生共研C應(yīng)用平面向量基本定理的關(guān)鍵(1)基底必須是兩個不共線的向量．(2)選定基底后，通過構(gòu)造平行四邊形(或三角形)利用向量的加、減、數(shù)乘以及向量平行的充要條件，把相關(guān)向量用這一組基底表示出來．(3)注意幾何性質(zhì)在向量運算中的作用，用基底表示未知向量，常借助圖形的幾何性質(zhì)，如平行、相似等．易錯提醒：在基底未給出的情況下，合理地選取基底會給解題帶來方便．C6例2考點二平面向量坐標(biāo)的基本運算——自主練透(－4，－2)[解析]

(1)由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)．①3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．②因為mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，(2)設(shè)a＝(x，y)，x<0，y<0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)．平面向量坐標(biāo)運算的技巧(1)向量的坐標(biāo)運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)．(2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程思想的應(yīng)用．角度1利用向量共線求參數(shù)的值(2021·全國乙卷)已知向量a＝(2,5)，b＝(λ，4)，若a∥b，則λ＝______.例3考點三向量共線的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用——多維探究利用向量共線的坐標(biāo)表示求參數(shù)的一般步驟(1)根據(jù)已知條件求出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(2)利用向量共線的坐標(biāo)表示列出有關(guān)向量的方程或方程組；(3)根據(jù)方程或方程組求解得到參數(shù)的值．角度2利用向量共線求向量或點的坐標(biāo)

(2022·天津模擬)已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，O為坐標(biāo)原點，則AC與OB的交點P的坐標(biāo)為_____________.例4(3,3)兩平面向量共線的充要條件有兩種形式(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2－x2y1＝0；(2)若a∥b(b≠0)，則a＝λb.一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量．求點的坐標(biāo)時，可設(shè)要求點的坐標(biāo)為(x，y)，根據(jù)向量共線的條件列方程(組)，求出x，y的值．〔變式訓(xùn)練2〕(1)(角度1)(2022·太原聯(lián)考)已知向量e1＝(1,1)，e2＝(0,1)，若a＝e1＋